2018版高中数学北师大版必修四学案：第三章3二倍角的三角函数(二)

【学习目标】1•能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法
2 了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法
3能利用三角恒等
变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用. IT 问题导学 --------------------------
知识点一半角公式
思考1我们知道倍角公式中，"倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用 2 a 替换 a,结果怎样？
思考2根据上述结果，试用 sin a, cos a 表示sin a cos 扌，tan 扌
思考3利用tan a cot !和倍角公式又能得到3 2与sin a ，cos 诂怎样的关系?
梳理正弦、余弦、正切的半角公式 a sin 2 = ____________ , a cos 2= ____________ a
ta n 2= ____________________________________ 第三章三角恒等变形 §3二倍角的三角函数（二）
知识点二辅助角公式 思考1 asin x + bcos x 化简的步骤有哪些?
思考2在上述化简过程中，如何确定 B 所在的象限?
梳理辅助角公式
类型一应用半角公式求值
已知 sin 9=4, 5n < 9v 3 n,求 5 2
反思与感悟 （1）若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论.
（2）由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：
① 先化简所求的式子；
② 观察已知条件与所求式子之间的联系 （从角和三角函数名称入手 ）.
跟踪训练 1 已知 sin a= — 17，且 n<o <32n ,求 sin 扌，cos 扌和tan 扌.
asin x + bcos x = ''a 2+ b 2sin （x + 9 .
（其中 tan 9=b ） a
类型二 三角恒等式的证明
例2求证： 1 + sin 4 0— cos 4 0_ 1 + sin 4 0+ cos 4
反思与感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一
或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边， 也可以用左右归一，变更论证等方法•常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、
“1 ”的 代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.
sin a+ 1 1 a 1
跟踪训练2证明：
=-tan -+ .
1 + sin a+ COS a
2 2 2 类型三利用辅助角公式研究函数性质
(1) 求函数f(x)的最小正周期；
(2) 求使函数f(x)取得最大值的x 的集合.
已知函数f(x) = -,3sin
2sin 2 芸(x € R )•
反思与感悟(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.
(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种
类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.
跟踪训练 3 已知函数f(x)= cos 扌+ x •os n-x , g(x) = |sin 2x — 4.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
⑵求函数h(x)= f(x) —g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合.
类型四三角函数在实际问题中的应用
例4如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地•一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上,
相邻两边CQ、CR正好落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值. 反思与感悟此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，有利于表示所需线段，其次要确定角的范围.
跟踪训练4
某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图).
±3
±3
2 .已知tan ^= 3，贝V cos B 等于（
4 4 4 3
A ・5
B . — 5
C 后
D . — 5 3 .函数 f(x)= sin 2x + . 3sin xcos x 在区间
A . 1
B . 2 C"3 D . 3
4 .函数 f(x)= sin x — cos x , x € 0, n 的最小值为
a a
—cos 二
2 2 ------------- .(180 < a <360 °
2+ 2cos a 规律与方法•
1 .学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式， 而忽视对思想方法的理解，要学会借助 前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.
2.辅助角公式asin x + bcosx=[ a 2 + b 2sin （x +妨，其中$满足：①$与点（a, b ）同象限；②tan
甌当堂训练 1 .若 cos a= 3,
a€ (0, n)则cos £的值为( 的最大值是（
(1 + sin a+ cos a ； (sin 5.化简：
b亠 b a $= a(或sin l'a2+ b2, cos kF + b」
3.研究形如f(x)= asin x + bcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式•因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高
例女口sin x±jos x=
考常考的考点之一•对一些特殊的系数a, b应熟练掌握,
问题导学
知识点一 思考1结果是COS a= Zcos 2^— 1 =1 — 2s in 2£= cos 2a — sin 2* 2 2 2
a ••• tan =
知识点二
思考1 (1)提常数，提出，a 2+ b 2得到
答案精析
思考3 tan a a sin a cos 2 a a sin? 2cos 2 a a cos^ 2cos 2 sin a
1 + cos a
a sin
a 2
tan 2= a a sin 22sin 2 1— cos a sin 2 ------ =± a cos 2 1
+ cos a 1 — cos a 梳理 ±
1 + cos a 1 — cos a sin a 1 — COS a 1 + cos a sin a
cos
a .
°= "a2+ b 2, sin
O= —
2 2(或sin
a2+ b2
a
°=" a2+ b2, cos—a2+ b2).一般°为特殊角
⑵定角
度，确
b
sin x+ —2 2cos x
a + b
3等，则得到，a2+ b2(cos Osin x+ sin
9cos x)(或.TT b2•sin Osin x+ cos 9cos x)).
(3)化简、逆用公式得 as in x + bcos x = a 2+ b 2si n(x + 0)( 或 asin x + bcos x = a 2+ b 2cos(x — 0)). 思考2 0所在的象限由a 和b 的符号确定. 题型探究 4 5 n 例 1 解■/ sin 0=，且片 v 0v 3n, 5 2 ••• cos 0=-寸 1 - si n 2 = — 3. 由 cos 0= 2cos 20— 1, sin 4 0+ (1 — cos 4 0) •••左边= T sin a=— 8, n«H • cos a=—垃 17 2 17' tan 门= =—4. 2 a cos 2 例2证明要证原式，可以证明 1 + sin 4 0— cos 4 0 2tan 0 = 2 . 1 + sin 4 0+ cos 4 0 1 — tan 0 …cos 得cos J5 5 . 5 n T v tan 0= = 2. 2 1+cos 0 跟踪训练1 解
sin 4 0+ (1 + cos 4 0)
2
2sin 2 0cos 2 0+ 2sin 2 0
2 2sin 2 Ocos 2 + 2cos 2 0
2sin 2 0 cos 2 0+ sin 2 0 = =ta n 2 0, 2cos 2 0 sin 2 0+ cos 2 0
2tan 0 丄
右边= 厂=tan 2 0,
1 — tan 0
•••左边=右边,
•••原式得证.
跟踪训练2证明•••左边
a
2ta n? ----------- + 1
2 a 1 + tan -
a 2 a 2tan 2
1 — tan
2 1 + + 2 a 2 a 1+ tan q 1 + tan
2 a - a 一
tan + 2tan ? + 1
2 a a 2 a
1 + tan + 2tan + 1 — tan
a o 抨3+1丿1
+1=
2si n ?!-n+1 =2sin 2x —
=2 厝sinM -
7t + 1 — cosgg —石丿 ；cos 2 & - 1 a A =1tan a+* 1 -n
12
• f(x)的最小正周期为T= 2T=n.
(2)当f(x)取得最大值时, sin 2x —3 = 1,
n n
有2x—3= 2k n+ ,
即x= k n+ (k€ Z),
•••所求x 的集合为{x|x= k n+ 1n，k€ Z}.
sin x '2cos x+ 2飞in x 跟踪训练3解(1)f(x)= *cos x—23sin x -1 2
1 2 3.2
=4cosx—4si nx
1 + cos 2x 3 1—cos 2x
8
1 1 =Q UOS 2x—4,
• f(x)的最小正周期为T = 22n= n.
(2)h(x) = f(x)- g(x)
2 1
=2cos 2x-2sin 2x
当2x + n = 2k d(€ Z )时，h(x)有最大值 n
=k n — 8， k €
所以 PQ = MB = 100-90cos 0,
PR = MR — MP _2
2(
cos 2x + n ,
例4解如图, 连接 AP ,设/ PAB = 00 ° 90°,延长
交AB 于M ,
则 AM = 90cos 0, MP = 90sin 0
于，此时x 的取值集合为
=100—90sin ft
所以S矩形PQCR= PQ PR
=(100 —90cos 0)(100 —90sin ft =10 000 —9 000(sin 0+ cos ft + 8 100sin Ocos ft
令t = sin 0+ cos ft1 w t w ,2),
t2—1
贝U sin 0cos 0= .
故当t= 1■时，S矩形PQCR 有最小值950 m2;当t= ,2时，S矩形PQCR有最大值(14 050 —9 000 . 2)
跟踪训练4 解连接OC,设/ COB = ft
-AB = OB —OA = cos ft—AD
=cos 0—sin ft
二S 矩形ABCD = AB BC
=(cos 0—sin ft sin ft
2
=—sin 0+ sin 0cos ft
2(1 —cos 2 0)+ ?sin 2 ft =1(sin 2 ft+ cos 2ft—*
=_22cos(2 ft—45 °—2.
当 2 ft—45°= 0°即ft= 22.5 时,
S max =.2—1 2 2 (m )•
所以S矩形PQCR= 10 000—9 000t + 8 100
则0°<0<45° OC = 1. 2
8 100
2
+ 950.
当堂训练 2.B 3.C 4•— 1 a
2 cos 2
—cos 2cos a
= a • cos 2
因为 180°a <360°
所以 90°0<180 °
所以cos 2<0 ,所以原式=cos a
2tan 扌 + 2 2
1 a 1 亠、斗
•••割出的长方形桌面的最大面积为
.2 — 1 2~
5.解
2cos
原式= cos
=^ta n + =右边, •原等式成立.
例 3 解⑴■/ f(x) = 3sin(2x —》+ 2sin2 x—。