FIR数字滤波器的原理与设计

1. 偶对称，N为奇数 z e j
N11 2
H(z) h n
z z n
N 1n

h
N

1

z

N 1 2
n0
2
N1
z h 2
N 11 2
n0
n
N 1n
z 2

N 1n
n
cosn
整体为实数
7.18
n0
将H (e j )表示成相位函数()和幅度函数H ()的形式,即
H (e j ) H ()e j()
N 1
则：
H
()

2

a(n)
cosn
n0
() ( N 1)
2
图7.5 偶对称，N为奇数
N 1
H () a(n) cosn n0
n0
n0
n N
2
N 1
N 1
2
h
n
z n
2
h
N
1 n
z N 1n
n0
n0
N 1
h n z z 2
n
N 1n
n0
7.14
b. N为奇数时，利用对称性可作如下化简
N 1
H (z) h(n)zn n0
N 1
N 1
h(i)zi h n zn
X z
i0
n
7.4
H z h(0)zN1 h1zN2 hN 2z h(N -1)
z N1
可见，FIR滤波器的系统函数的极点都位于z=0处，为N-1阶极点，与系数h(n) 无关，因此FIR滤波器总是稳定的；而N-1个零点由冲激响应h(n)决定，可以位 于有限z平面的任何位置。
0
1
N 1
7.2
可见这个系统的冲激响应是有限长度的，即有限冲激响应（FIR）滤波器。
将 a h(i) i
(i 0,1,N 1) 代人（7.1）式得
N 1
y(n) h(i)x(n i)
7.3
i0
上式两边进行Z变换后，可得FIR滤波器的系统函数
H (z) Y z
7.2 线性相移FIR数字滤波器
7.2.1 线性相移FIR数字滤波器条件
所谓线性相移滤波器，也就是指其相移特性或频率响应的幅角是 频率的线性函数，FIR数字滤波器频率响应为
H e h n e H e e N1 j
jn
j
j
7.5
n0
其中有
()
所谓时延是指信号通过 传输通道所需要的传输
时间
1. 恒时延滤波
相延时 群延时

p

它是滤波器某一频率延 迟的一个度量
d
g
d
它是滤波器平均延迟的 一个度量
所谓恒延时滤波就是要求相延时与群延时都是不随频率变化的常量。
2.要求恒相延时与恒群延时同时成立


0
n0
2

0
2
图7.3 相移特性曲线
其充要条件为
0 / 2
N 1
2
h(n) h(N 1 n) 0 n N 1
如下图可见冲激响应关于中心点奇对称，无论N为奇数还是
偶数，对称中心都位于（N-1）/2；当N为奇数时有
h
N 2
1

如图7.1，θ(ω)的图像是一条经过原点的直线

N1
H e j h n e jn n0

N 1

hn
cos
n

j sinn
n0

O
图7.1 () 时的图像
式中 H(ω)是正或负的实函数。等式中间和等式右边的实部与虚部应当各 自相等，同样实部与虚部的比值应当相等:
两种滤波器的比较
一、IIR DF的特点 1、DF的设计依托AF的设计，有图表可查，方便简单。 2、相位的非线性
H（Z）的频响：H(ej) H(Z) Zej H(ej) ej(),
其中，H(ej) 是幅度函数，() 是相位函数。
通常，() 与 不是呈线性的，这是IIR filter
N 1
H z
2
h n
z z n
N 1n
n0
b. 当N为奇数时
N 11
H z
2
hn
z z n
N 1n
n0
可见，以其奇对称性作这样的简化可以使FIR滤波器比一般的直接型结构的 乘法器减少近一半。
7.2.3 线性相移FIR滤波器的频率响应

=
-1时为，零co点s[，且(m由于12)c]os[0，(m故H1()])对 0，
2
呈奇对称，因而 H () 对 也呈奇对称。
因此这种情况不适合做在 处不等于零的滤波
器，如高通滤波器。
3. 奇对称，N为奇数
推导方法与前面类似，可得：
H e j
n0
N 1n 2
N 1n 2
其频率响应为
H (e ) e 2h j
j N 1
N 1 2
2
n0
n
cos
N
2
1

n



令n

N 2

n，且bn

2h
N 2

n , 则
H (e j )

e j N 1 2
N11 2
h
n
z n

h
N

1

z

N 1 2

N 1
h
n
z n
n0
2
n N 1
2

N 11 2
h
n
z n
h N

1

z

N 1 2
N 11 2
h
N
1 n
z N 1n
n0
2
n0
0
总之，线性相移FIR滤波器的必要条件是其冲激响应为偶对 称或奇对称。
图7.4 h(n)为奇对称的情形
7.1.2 线性相移FIR滤波器的网络结构
1. 偶对称的情形
偶对称时 h(n) hN 1 n
a. N为偶数时，利用对称性可作如下化简
N1
N 1 2
N 1
H (z) h(n)zn h n zn h n zn
上述条件下，就有 () 即
N 1
p
g
2
为一常数，恒相延时与恒群延时同时成立。
如上所述，冲激相应h(n)关于中心点偶对称，由图7.2 可见无论N是偶数还是奇数，对称中心都位于(N-1)/2，只是 当N为偶数时， (N-1)/2不是整数。
图7.2 h(n)为偶对称的情形
（2 ）可得到多带幅频特性； （3 ）极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题； （4 ）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一 定的延时，转变为因 果序列， 所以因果性总是满足；
（5）无反馈运算，运算误差小。
缺点：（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较 高的阶数
为代价；
（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计 公式， 要借助计算机辅助设计程序完成。
∴这种情况不适合做在 0, ,2 处为偶对称的
2
2
其幅频特性为
( N 1) / 2
H () c(n)sin(n) n1
图7.7 奇对称，N为奇数
特点：当 0, ,2时，H () 0，相当于 H (z)在 z
=1和z = -1有两个零点，并且由于sin( n)对 0, ,2
呈奇对称，因而 H () 对 0, ,2也呈奇对称。
3、h（n）为有限长，可以用FFT实现FIRDF。
4、FIR的系统函数是Z-1的多项式，故IIR的方法不适用。
5、FIR的相位特性可以是线性的，因此，它有更广泛的 应用，非线性的FIR一般不作研究。
FIR与IIR数字滤波器比较：
优点 ：（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号 产生相位
失真，这一特点在 宽频带信号处理、阵 列信号处理、数据传输等系统中 非常重要；
令n N 1 n，且 2
a(n)

2hhNN2211
n

n0 n0
H
(e
j
)

e
j
N 1 2
1 n N 1
2
h
N 2
1

n
2
cos
n

h
N 2
1

N 1
e a j N1 2 2
N
2

2h
n1
N 2

n
cos
n

1 2



N
e b j N1 2 2 n1
n
cos n
1 2

H
()

N
/
2
b(n)
cos[(n

1 )]
n1
2
图7.6 偶对称，N为偶数
特点：当
即H (z) 在 z
特点：cos n 对 0,，2 皆为偶对称，所以幅度 H () 函数对 0,，2 也是偶对称。
∴ 该类滤波器适合于设计任何关于 0,，2 为偶对称
特性频率的滤波器。
2. 偶对称，N为偶数
N 1
2
n
N 1n
N 1
N 1 2
2
H (z) h(n)z z z hnz z n0
N11 2
hn
z z n
N 1n

h
N

1

z

N 1 2
n0
2
7.15
可见，以其偶对称性作这样的简化可以使FIR滤波器比一般的直接型结构的 乘法器减少一半。
2. 奇对称的情形
奇对称时
h(n) hN 1 n
a. 当N为偶数时
3 只要求恒群延时成立
相移特性为一条不经过原点的直线
7.10 0

tg ctg 0
cos
N 1

hn
sin
n


sin

n0
N 1

hn

cosn

n0

N 1

hn
cos

n
tg

sin cos

N 1

hn
sinn

n0
N 1

hn
cosn

n0
由上式交叉相乘后利用三角函数恒等公式得
N 1

hn
sin

n
0
7.6
n0
满足上式的条件是
N 1

2
7.8
hn hN 1 n ,0 n N 1
7.1 FIR数字滤波器的差分方程、冲激响应、系统函数及其 零极点
FIR数字滤波器是非递归n)


a i
x(n

i)
i0
系统的冲激响应为
7.1
N 1
h(n)


a i
(n

i)
i0
a n a n 1 a n (N 1)
（无限长响应滤波器）的一大缺点。因此限制了 它的应用，如图象处理，数据传输都要求信道 具有线性相位特性。
3、用全通网络进行相位校正，可以得线性特性。
二、FIR DF的特点
1、单位抽样响应h（n）是有限长的，因此FIR DF一定 是稳定的。
2、经延时，h（n）总可变成因果序列，所以FIR DF总 可以由因果系统实现。
第七章 FIR数字滤波器的 原理与设计
宜春学院理工学院
内容提要
7.1 线性相移FIR数字滤波器的特性 7.2 窗口法 7.3 频率取样法 7.4 FIR数字滤波器的优化设计 7.5 IIR数字滤波器与FIR数字滤波器的比较 习题及作业
学习目标
掌握线性相位FIR数字滤波器的特点 掌握窗函数设计法 理解频率抽样设计法 了解设计FIR滤波器的最优化方法 理解IIR与FIR数字滤波器的比较

j N 1
e 2 2
N 1
2

2h
N
1
nsin n
2 n1

N 1
j N1 2
e 2 2 c n sin n n1
c(n) 2h( N 1 n), n 1,2,, N 1
z 2

h
N21
cos e e ;sin e e
2
2j
则其频率响应为
H (e j )

e j N 1 2
N 11 2
h n0
n
2 cos
N 1 2
n


h
N21