福建省福州市鼓楼区2025届高三3月份模拟考试数学试题含解析

福建省福州市鼓楼区2025届高三3月份模拟考试数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点2F 为双曲线22
2:1(0)4x y C a a -=>的右焦点，直线y kx =与双曲线交于A ，B 两点，若223AF B π∠=
，则2AF B 的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2．3
4
8
1
(3)(2)x x x
+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280
B ．4864
C ．－4864
D ．1280
3．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中
积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1
()3
V S S h =+下上•）. A ．2寸
B ．3寸
C ．4寸
D ．5寸
4．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线
的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）．
A ．
3
B ．
2
C D 5．已知函数3sin ()(1)()x x x x
f x x m x e e
-+=+-++为奇函数，则
m =（ ） A ．
12
B ．1
C ．2
D ．3
6．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '
，当0x ≥时，恒有
())03
(x
f f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）．
A ．{|31}x x -<<-
B ．1{|1}3
x x -<<- C ．{|3x x <-或1}x >-
D ．{|1x x <-或1}3
x >-
7．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2
A π
=，BC =M 为ABC ∆所在平面内一点，且11
42
CM CB CA =
+，则MB MA ⋅=（ ）
A ．4
B ．7
2
-
C ．52
-
D ．12
-
8．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移
1
8
个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．
8
π B ．
34π C ．
2
π D ．
4
π 9．已知曲线1
1(0x y a
a -=+>且1)a ≠过定点(),k
b ，若m n b +=且0,0m n >>，则
41
m n
+的最小值为（ ）. A ．
92 B ．9
C ．5
D ．
52
10．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3
π
的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
ω
倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( )
A ．2935,2424⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ B ．2935,2424⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦ C ．2935,2424⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．2935,2424⎛⎤
⎥⎝⎦
11．已知函数()(0x
f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则||a f =，
384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，|(0)|c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<
D ．b a c <<
12．如图，已知直线:l ()()10y k x k =+>与抛物线2
:4C y x =相交于A ，B 两点，且A 、B 两点在抛物线准线上的
投影分别是M ，N ，若2AM BN =，则k 的值是（ ）
A．1
3
B ．
2
3
C．
22
3
D．22
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．
1
2
3
2e2
(){
log(1)2
x x
f x
x x
，
，
-<
=
-≥
，则f（f（2））的值为____________．
14．若
4
cos()
45
π
α
-=，则sin2α=__________．
15．若复数Z满足
1
(12)(2)
2
i Z i
-=-+，其中i为虚数单位，则Z的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____．
16．设x、y满足约束条件
20
20
x y
x y
y m
+-≤
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪+≥
⎩
，若2
z x y
=+的最小值是1
-，则m的值为__________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了120人，其中女性70人，男性50人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示：
（1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由；
（2）根据统计数据建立一个22
⨯列联表；
（3）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系.
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
20()P K k ≥
0.10 0.05 0.010 0.005
0k
2.706
3.841
6.635
7.879
18．（12分）设数列
的前项和为，且，数列满足，点在上，
（1）求数列，
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前项和．
19．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦距为2，且过点(2,0)P ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设F 为C 的左焦点，点M 为直线4x =-上任意一点，过点F 作MF 的垂线交C 于两点A ，B （ⅰ）证明：OM 平分线段AB （其中O 为坐标原点）；
（ⅱ）当||
||
MF AB 取最小值时，求点M 的坐标．
20．（12分）已知函数2
()()2ln f x x a x x =--，其导函数为()f x '
， （1）若0a =，求不等式()1f x >的解集；
（2）证明：对任意的02s t <<<，恒有()()1f s f t s t
''-<-.
21．（12分）已知椭圆C ()222210,0y x a b a b +=>>的长轴长为4，离心率3
e =
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设,A B 分别为椭圆与x 轴正半轴和y 轴正半轴的交点，P 是椭圆C 上在第一象限的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问PMN ∆与PAB ∆面积之差是否为定值？说明理由.
22．（10分）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n ，n *∈N ，λ，R μ∈. ⑴若0λ=，4μ=，+12n n n b a a =-（n *∈N ），求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求λ，μ的值；
⑶若23a =，且3
2
λμ+=
，求证：数列{}n a 是等差数列. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形，
设1122,AF r AF r ==，得222
121242cos
3
c r r r r π
=+-，求出12r r 的值，即得解.
【详解】
设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ， 由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形， 所以12
2AF F AF B S
S
=，123
F AF π
∠=
.
设1122,AF r AF r ==，则222
221212121242cos 3
c r r r r r r r r π
=+-=+-，
又122r r a -=.故212416r
r b ==，
所以12
121sin 23
AF F S
r r π
=
=故选：D 【点睛】
本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2、A 【解析】
根据二项式展开式的公式得到具体为：()2
3
174268811322x C x C x x ⎡⎤
⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦
化简求值即可.
【详解】
根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出33x 项，第二个括号里出
1
x
项，或者第一个括号里出4x ，第二个括号里出21x ，具体为：()
2
3174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛
⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦
化简得到-1280 x 2 故得到答案为：A. 【点睛】
求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 3、B 【解析】
试题分析：根据题意可得平地降雨量2221
9(106)
33
14πππ
⨯⨯+==，故选B.
考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积. 4、A 【解析】
直线l 的方程为b
x y c a
=-，令1a =和双曲线方程联立，再由2AF FB =得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可. 【详解】
由题意可知直线l 的方程为b
x y c a
=-,不妨设1a =. 则x by c =-，且221b c =-
将x by c =-代入双曲线方程22
21y x b
-=中，得到()
4234
120b y b cy b +--=
设()()1122,,,A x y B x y
则34
121244
2,11
b c b y y y y b b +=⋅=--
由2AF FB =，可得122y y =-，故3244
22
421
21b c y b b
y b ⎧-=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩
则22481b c b =-，解得2
19
=b
则c ==
所以双曲线离心率c e a ==
故选：A 【点睛】
此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目. 5、B 【解析】
根据()f x 整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出m 的值. 【详解】
依题意()f x 是奇函数.而3sin y x x =+为奇函数，x x
y e e -=+为偶函数，所以()()()1g
x x m x =+-为偶函数，故
()()0g x g x --=，也即()()()()110x m x x m x +---+=，化简得()220m x -=，所以1m =.
故选：B 【点睛】
本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题. 6、D 【解析】
先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33
x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可. 【详解】
构造函数()()33
x f x g x =，
则()()()()()32
2'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33
x f x g x =在0x ≥时为增函数； 由3
x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33
x f x g x =为偶函数；
又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33
()(12)(12)x f x x f x <++ 即()()12g x g x <+ 又()g x 为开口向上的偶函数
所以|||12|x x <+，解得1x <-或13
x >- 故选：D 【点睛】
此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目. 7、D 【解析】
以AB,AC 分别为x 轴和y 轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点M 的坐标，进而求得,MB MA ，由平面向量的数量积可得答案. 【详解】
如图建系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，
由1142CM CB CA =+，易得11,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则
31111,,22222MB MA ⎛⎫⎛⎫
⋅=-⋅--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 8、D 【解析】
由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于ϕ的方程，对k 赋值即可求解. 【详解】
由题意知，函数()sin(2)f x x ϕ=-的最小正周期为22T π
π=
=,即88
T π=, 由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式可得， 将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移
1
8
个周期后的解析式为 ()sin 2sin 284g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
因为函数()g x 的图象关于y 轴对称， 所以,4
2
k k z π
π
ϕπ-
-=
+∈，即3,4
k k z π
ϕπ=-
+∈， 所以当1k =时，ϕ有最小正值为4
π. 故选：D 【点睛】
本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 9、A 【解析】
根据指数型函数所过的定点，确定1,2k b ==，再根据条件2m n +=，利用基本不等式求41
m n
+的最小值. 【详解】 定点为(1,2),
1,2k b ∴==，
2m n ∴+=
41141()()2m n m n m n +=++∴
149(5+)22
m n n m =+ 当且仅当4m n
n m =时等号成立，
即42
,33m n =
=时取得最小值92
. 故选：A 【点睛】
本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.
10、A 【解析】 根据题意，2cos sin 33π
πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，求出6π=ϕ，所以()sin 26g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出ω
的取值范围. 【详解】
已知()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3
π
的交点， 则2cos
sin 33π
πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
， 225,333πππϕ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
， 2536ππϕ∴
+=，6
πϕ∴=， ()sin 26g x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭，
若函数()g x 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
ω倍， 则sin 26y x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
所以当[0,2]x π时，2,4666x π
π
πωπω⎡⎤+
∈+⎢⎥⎣⎦
， ()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，
5466
π
ππωπ∴+
<，
29352424
ω∴<. 故选：A. 【点睛】
本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力. 11、C 【解析】
根据题意，得01m <<，(1)0f =，则()f x 为减函数，从而得出函数|()|f x 的单调性，可比较a 和b ，而
|(0)|1c f m ==-，比较()()0,2f f ，即可比较,,a b c .
【详解】
因为()(0x f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，
所以01m <<，(1)0f =，
所以函数()f x 为减函数，函数|()|f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 又因为31
3
824
12422<=<=<， 所以a b <，
又|(0)|1c f m ==-，2|(2)|f m m =-，
则|2|(2)||(0)|10f f m -=-<，
即|(2)||(0)|f f <，
所以a b c <<.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.
12、C
【解析】
直线()()10y k x k =+>恒过定点()10P -，，由此推导出12
OB AF =
，由此能求出点B 的坐标，从而能求出k 的值． 【详解】
设抛物线2:4C y x =的准线为:1l x =-， 直线()()10y k x k =+>恒过定点()10
P -，， 如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ， 由2AM BN =，则2FA FB =，
点B 为AP 的中点、连接OB ，则12OB AF =
， ∴OB BF =，点B 的横坐标为12
，
∴点B 的坐标为12B ⎛ ⎝，把12B ⎛ ⎝代入直线()()10y k x k =+>，
解得k =
故选：C．
【点睛】
本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1
【解析】
先求f（1），再根据f（1）值所在区间求f（f（1））.
【详解】
由题意，f（1）=log3（11–1）=1，故f（f（1））=f（1）=1×e1–1=1，故答案为：1．
【点睛】
本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.
14、7 25
【解析】
因为
4
cos
45
π
α
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
，由二倍角公式得到2
1cos(2)
2
cos()
2
4
π
α
π
α
+-
-=
1sin216
225
a
+
==，故得到7
sin2
25
α=．
故答案为
7 sin2
25
α=．
15、
1 0,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z得答案．【详解】
()()1112i z 2i 1i 22-=-+=--，()()()
111i 12i 1i 122z i 12i 12i 12i 2⎛⎫--+-- ⎪⎝⎭∴===---+， 则1z i 2=，z ∴的共轭复数在复平面内对应点的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 故答案为10,
.2⎛
⎫ ⎪⎝⎭ 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键，是基础题．
16、1-
【解析】
画出满足条件的平面区域，求出交点的坐标，由2z x y =+得2y x z =-+，显然直线过()2,A m m ---时，z 最小，代入求出m 的值即可．
【详解】
作出不等式组20200x y x y y m +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩
所表示的可行域如下图所示：
联立200
x y y m -+=⎧⎨+=⎩，解得2x m y m =--⎧⎨=-⎩，则点()2,A m m ---. 由2z x y =+得2y x z =-+，显然当直线2y x z =-+过()2,A m m ---时，该直线y 轴上的截距最小，此时z 最小，
241m m ∴---=-，解得1m =-.
故答案为：1-．
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）图形见解析，理由见解析；（2）见解析；（3）犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系
【解析】
（1）利用等高条形图中两个深颜色条的高比较得出性别与雾霾天外出戴口罩有关系；
（2）填写22
⨯列联表即可；
（3）由表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论．
【详解】
解：（1）在等高条形图中，两个深色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，比较图中两个深色条的高可以发现，女性中雾霾天外出带口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出带口罩的频率，因此可以认为性别与雾霾天外出带口罩有关系.
（2）22
⨯列联表如下：
戴口罩不戴口罩合计
女性422870
男性203050
合计6258120
（3）由（2）中数据可得：
2
120(42302028)
4.672 3.841
62585070
k
⨯-⨯
=≈>
⨯⨯⨯
.
所以，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系.
【点睛】
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了登高条形图的应用问题，属于基础题．
18、（1），
（2）.
【解析】
（1）利用与的递推关系可以的通项公式；点代入直线方程得，可知数列是等差数列，用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和.
由可得， 两式相减得，． 又，所以．故是首项为1，公比为3的等比数列．所以． 由点在直线上，所以． 则数列
是首项为1，公差为2的等差数列．则 因为，所以
． 则， 两式相减得：
． 所以
． 【点睛】 用递推关系求通项公式时注意的取值范围，所求结果要注意检验的情况；由一个等差数列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.
19、（1）22
143
x y +=（2）（ⅰ）见解析（ⅱ）点M 的坐标为(4,0)-． 【解析】
（1）由题意得1,2c a ==，再由,,a b c 的关系求出b ，即可得椭圆的标准方程；
（2）（i ）设1122(4,3),(,),(,)M m A x y B x y -，AB 的中点为00(,)N x y ，MF k m =-，设直线AB 的方程为1x my =-，代入椭圆方程中，运用根与系数的关系和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证；
（ii ）利用两点间的距离公式及弦长公式将||||MF AB 表示出来，由换元法的对勾函数的单调性，可||||
MF AB 得取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点M 的坐标.
【详解】
解：（1）由题意得， 22,2c a ==，所以2221,413c b a c ==-=-=，
所以椭圆方程为22
143
x y += （2）设1122(4,3),(,),(,)M m A x y B x y -， AB 的中点为00(,)N x y ，MF k m =-
（ⅰ）证明：由(0,1)F -，可设直线AB 的方程为1x my =-， 代入椭圆方程22
143
x y +=，得22(34)690m y my +--=， 所以12122269,4343+==-++m y y y y m m
， 所以2243,4343m N m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
，则直线ON 的斜率为34ON m k =-， 因为34
OM m k =-，所以OM ON k k =， 所以,,O M N 三点共线，所以OM 平分线段AB ；
（ii
）由两点间的距离公式得MF ==
由弦长公式得12AB y y =-=
2212(1)43m m +==+
所以2
MF AB =
令1)t t ≥，则23111(3)44MF t t AB t t +==+，由1()3g t t t
=+在[1,)+∞上递增，可得1t =，即0m =时，()g t 取得最小值4， 所以当||||
MF AB 取最小值时，点M 的坐标为(4,0)- 【点睛】
此题考那可是椭圆方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，运用根与系数的关系和中点坐标公式，同时考查弦长公式，属于较难题.
20、（1）{}|1x x > （2）证明见解析
【解析】
（1）求出()f x 的导数，根据导函数的性质判断函数()f x 的单调性，再利用函数单调性解函数型不等式； （2）构造函数()()x f x x ϕ'
=-，利用导数判断()x ϕ在区间(0,2)上单调递减，结合02s t <<<可得结果. 【详解】
（1）若0a =，则2()2ln ,()22(1ln )f x x x x f x x x '=-=-+.
设()22(1ln )h x x x =-+，则2()2h x x
'=-， 所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.
又当0x →时，()h x →+∞；当1x =时，()0h x =；当x →+∞时，()h x →+∞，
所以()0h x ≥
所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，
又(1)1f =，所以不等式()1f x >的解集为{}|1x x >.
（2）设()()g x f x '=，再令()()22ln 2x g x x x x a ϕ=-=---，
2222()1x x x x ϕ'
-∴=-=， ()x ϕ在(0,2)上单调递减，
又02s t <<<，
()()s t ϕϕ∴<，
()()g s s g t t ∴->-，
()()g s g t s t ∴->-，
0s t ∴-<，
()()1g s g t s t
-∴<-. 即()()1f s f t s t
''-<- 【点睛】
本题考查利用函数的导数来判断函数的单调性，再利用函数的单调性来解决不等式问题，属于较难题.
21、（1）2
214
y x +=（2）是定值，详见解析
【解析】
（1）根据长轴长为4
，离心率2e =
，则有222
2a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩
求解. （2）设()()0000,0,0P x y x y >>，则220044x y +=，直线()00:11y PA y x x =--，令0x =得，001M y y x -=-，则2=-M BM y ，直线022:2y PB y x x -=+，令0y =，得0022
N x x y -=-，则1=-N AN x ，再根据()()∆∆∆∆∆∆∆∆-=---=-PMN PAB MAN PAN BAN PAN MAN BAN S S S S S S S S 求解.
【详解】
（1
）依题意得222
2a c a
a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩
，
解得21a b =⎧⎨=⎩
， 则椭圆C 的方程2
214
y x +=. （2）设()()0000,0,0P x y x y >>，则220044x y +=， 直线()00:11
y PA y x x =--， 令0x =得，001M y y x -=
-， 则00221
M y BM y x =-=+-， 直线02
2:2y PB y x x -=+， 令0y =，得0022N x x y -=
-，
则002112
=-=+-N x AN x y ， ()()PMN PAB MAN PAN BAN PAN MAN BAN S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∴-=---=-
00002112122212
=⋅=++=--y x AN BM x y . 【点睛】
本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，还考查了平面几何知识和运算求解的能力，属于中档题.
22、（1）见解析（2）10 ==，
λμ（3）见解析 【解析】
试题分析：（1）14n n S a -=(2n ≥), 所以12n n b b -=，故数列{}n b 是等比数列；（2）利用特殊值法，得1,1q λ==，
故10λμ==，；（3）得112λμ=
=，，所以12
n n n n S a a -=+，得()()111220n n n n a n a a +-----=，可证数列{}n a 是等差数列.
试题解析： （1）证明：若0,4λμ==，则当14n n S a -=(2n ≥),
所以()1114n n n n n a S S a a ++-=-=-，
即()11222n n n n a a a a +--=-，
所以12n n b b -=，
又由12a =，1214a a a +=，
得2136a a ==，21220a a -=≠，即0n b ≠， 所以1
2n n b b -=， 故数列{}n b 是等比数列．
（2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ≠ ），
当2n =时，2212S a a λμ=+，即12212a a a a λμ+=+，得
12q q λμ+=+， ①
当3n =时，3323S a a λμ=+，即123323a a a a a λμ++=+，得
2213q q q q λμ++=+， ② 当4n =时，4434S a a λμ=+，即1234434a a a a a a λμ+++=+，得
23321+4q q q q q λμ++=+， ③
②-①⨯q ，得21q λ= ，
③-②⨯q ，得31q λ= ，
解得1,1q λ==．
代入①式，得0μ=．
此时n n S na =(2n ≥)，
所以12n a a ==，{}n a 是公比为１的等比数列，
故1
0λμ==，． （3）证明：若23a =，由12212a a a a λμ+=+，得562λμ=+， 又32λμ+=，解得112
λμ==，． 由12a =，23a =， 12
λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =， 所以1a ，2a ，3a 成等差数列， 由12n n n n S a a -=
+，得1112
n n n n S a a +++=+， 两式相减得：111122n n n n n n n a a a a a ++-+=-+- 即()()111220n n n n a n a a +-----=
所以()21120n n n na n a a ++---=
相减得：()()211212220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以()()21112220n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=
所以()()()
()221111-2222221n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- ()()()13212212n a a a n n --==-+-，
因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=， 即数列{}n a 是等差数列.。