高中数学北师大版必修2习题：第二章解析几何初步 2.1.5.2 Word版含解析

第2课时点到直线的距离公式
1.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是()
A. B. C. D.
解析:点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离
.
d=
-
答案:D
2.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为
() A.B.2C.3D.4
解析:设点M所在直线的方程为x+y+m=0,则由平行线间的距离公式得,即|m+7|=|m+5|,解得m=-6,即得x+y-6=0,由点到直线的距离公式可得,点M到原点的距离的最小值为-=3.
答案:C
3.已知点A(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a=()
A. B.2- C.-1 D.+1
解析:由点到直线的距离公式知,d=-=1,解得a=-1±.又a>0,则a=1.
答案:C
4.P(x,y)在直线x+y-4=0上,则(x-1)2+(y-1)2的最小值是()
A.2
B.2
C.
D.4
解析:(x-1)2+(y-1)2最小值即为(1,1)到直线x+y-4=0的距离的平方,所以(x-1)2+(y-1)2的最小值为=()2=2.
答案:A
5.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O是坐标原点,则|OP|的最小值是()
A.B.C.2D.
解析:当|OP|取得最小值时,OP⊥l,故|OP|min==2.
答案:C
6.若第二象限内的点P(m,1)到直线x+y+1=0的距离为,则m的值为.
解析:由,得m=-4或m=0,又m<0,所以m=-4.
答案:-4
7.过点M(-2,1)且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线的方程为.
解析:当直线斜率不存在时,直线为x=-2,它到A,B两点距离不相等.所以可设直线方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.
由,解得k=0或k=-.所求直线方程为y=1或x+2y=0.
答案:y=1或x+2y=0
8.已知点M(a,b)在直线3x+4y=15上,则的最小值为.
解析:的最小值即为原点O到直线3x+4y=15的距离d==3.
答案:3
9.若两条平行直线3x-2y-1=0与6x+ay+c=0之间的距离为,则的值为.
解析:由题意知,--,∴a=-4,c≠-2.
∴6x+ay+c=0可化为3x-2y+=0.
,解得c=2或c=-6,所以=±1.
由两条平行直线间的距离公式,得
-
答案:±1
10.已知直线l过点(0,-1),且点(1,-3)到l的距离为,求直线l的方程,并求出坐标原点到直线l的距离.解若直线l的斜率不存在,此时l的方程为x=0,点(1,-3)到l的距离为1,不满足题意,从而可知,直线l
的斜率一定存在.
设直线l的斜率为k,则其方程为y=kx-1.
由点到直线的距离公式,得,
解得k=1或k=,所以直线l的方程为y=x-1或y=x-1,即x-y-1=0或x-7y-7=0.
根据点到直线的距离公式可得,坐标原点到直线x-y-1=0的距离为,到直线x-7y-7=0的距离为.
★11.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是.
(1)求a的值.
(2)能否找到一点P同时满足下列三个条件:
①P是第一象限的点;
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.若能,求点P的坐标;若不能,请说明理由.
解(1)因为直线l1:-4x+2y-2a=0(a>0),l2:-4x+2y+1=0,且l1与l2的距离是,所以,解得a=3.
(2)设点P的坐标为(m,n),m>0,n>0,若P点满足条件②,则点P在与l1,l2平行的直线l:2x-y+C=0上,所以,解得C=或C=,故有2m-n+=0或2m-n+=0.若P点满足条件③,由题意
及点到直线的距离公式可得,-
-
,化简可得|2m-n+3|=|m+n-1|,故有2m-n+3=m+n-1或2m-
n+3=-(m+n-1),即m-2n+4=0或3m+2=0(舍去).联立2m-n+=0和m-2n+4=0,解得-
舍去.联
立2m-n+=0和m-2n+4=0,解得故点P的坐标为,故能找到一点P同时满足这三个
条件.
★12.证明:等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值.
证明设△ABC是边长为2a的等边三角形,以BC边所在的直线为x轴,过BC边的中点O且垂直于BC 的直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,
则点A(0,a),B(-a,0),C(a,0),直线AB的方程为x-y+a=0,直线AC的方程为x+y-a=0,直线BC的方程为y=0.
设P(x0,y0)是△ABC内任意一点,则点P到AB的距离|PD|=-,点P到BC 的距离|PE|=|y0|=y0,点P到AC的距离|PF|=--,
则---
+y0=a(定值).
因此,等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值.
给高中生的建议
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要自觉去“悟”，就要提高主动性，做好学习计划，合理安排时间，制定好自己的长期的短期的目标。