2019年山东省枣庄市高三上学期期末质量检测数学(文)试题(有答案)

山东省枣庄市高三上学期期末质量检测
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合{}{
}2
2|22,|log A x Z x B x y x
=∈-<<==，则A
B =（ ）
A ．{}1,1-
B ．{}1,0,1-
C ．{}1
D ．{}0,1 2. 已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，则p ⌝为（ ）
A ．,sin 1x R x ∃∈≤
B ．,sin 1x R x ∀∈>
C ．,sin 1x R x ∀∈≥
D ．,sin 1x R x ∃∈>
3. 已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()(
)2g x f x = ） A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]1,2 D ．[]1,3 4. 下列命题中的假命题是（ ）
A ．,30x
x R ∀∈> B ．00,lg 0x R x ∃∈=
C.0,
,sin 2x x x π⎛⎫
∀∈> ⎪⎝⎭
D
．000,sin cos x R x x ∃∈+= 5. 已知函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移3
π
个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为（ ）
A ．3
B ．6 C. 9 D ．12
6. 函数()12
12x
f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的零点个数为（ ）
A ．0
B ．1 C. 2 D ． 3 7.已知()33,,tan 224ππααπ⎛⎫
∈-=- ⎪
⎝
⎭
，则sin cos αα+的值是（ ）
A ．15±
B ．15 C. 15- D ． 7
5
-
8. 设,a b R ∈，函数()()01f x ax b x =+≤≤，则()0f x >恒成立是20a b +>成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件
9.过抛物线()240y ax a =>的焦点F 作斜率为1-的直线,l l 与离心率为e 的双曲线
()22
22
10x y b a b -=>的两条渐近线的交点分别为,B C .若,,B C F x x x 分别表示,,B C F 的横坐标，且2
F B C x x x =-，则e =（ ）
A ．6 B
C.3 D
10.《 九章九术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，若12A A AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的体积为（ ）
A ．83
B
C.2 D
．第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11. 已知等比数列{}n a 中，141,8a a ==，则其前4项之和为 ．
12.已知实数,x y 满足10
3020
x y x y --≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
，则24y x --的最大值为 ．
13. 函数()2sin cos cos f x x x x =+的减区间是 ．
14. 如图，格纸上每个小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 ．
15. 设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点
(),P x y ，则PA PB +的最大值是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16. （本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、
C 所对的边分别为a 、b 、c
，60,B b ==（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值.
17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和,232
n n n
S -=.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）设1
1n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对,4n n N t T *
∀∈≤恒成立，求实数t 的最大值.
18. （本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中，32BA BC =. （1）若BA 与BC 的夹角为30，求ABC ∆的面积ABC S ∆；
（2）若4,AC O =为AC 的中点，G 为ABC ∆的重心（三条中线的交点），且OG 与OD 互为相反向量，求
AD CD 的值.
19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，侧面PBC 是直角三角形，90PCB ∠=，点E 是PC 的中点，且平面PBC ⊥平面ABCD . 求证
（1）AP 平面BED ； （2）BD ⊥平面APC .
20. （本小题满分13分）设函数()()()()2
21ln ,12
f x x a x a R
g x x a x =-∈=-+. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当0a ≥时，讨论函数()f x 与()g x 的图象的交点个数.
21. （本小题满分14分）已知椭圆()22
22:10x y a b a b
Ω+=>>，直线12x y +=经过Ω的右顶点和上顶点.
（1）求椭圆Ω的方程；
（2）设椭圆Ω的右焦点为F ，过点()2,0G 作斜率不为0的直线交椭圆Ω于,M N 两点. 设直线FM 和FN 的斜率为12,k k . ①求证 12k k +为定值； ②求FMN ∆的面积S 的最大值.
山东省枣庄市高三上学期期末质量检测数学（文）
试题参考答案
一、选择题
1-5 ADADB 6-10BCADC
二、填空题
11.15 12.
67 13. 5,,88k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦
14.10
15.三、解答题
17. 解：(1) 由正弦定理，得34c a =,即34
c a =
.由余弦定理，得222
2cos b a c ac B =+-,即2
2331132442c c c c ⎛⎫
=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
，解得4c =.
(2) 由正弦定理，
得
,.sin sin sin a c b a A c C A C B ====∴==
)(
)sin sin sin sin sin sin 3a c A C A A B A A π⎤⎛
⎫∴+=
+=++=++⎤ ⎪⎥⎦⎝⎭⎦
111sin 30222ABC S BA BC ∆∴=
==
(2) 以O 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则
()()2,0,2,0A C -，设(),D x y ，则(),OD x y =，因为OG 与OD 互为相反向量，所以
(),OG x y =--.因为G 为ABC ∆的重心，所以()33,3OB OG x y ==--，即
()()()3,3,32,3,32,3B x y BA x y BC x y --∴=-=+,因此22949BA BC x y =-+.由题意，
2294932x y -+=,即224x y +=.()()222,2,40AD CD x y x y x y ∴=+-=+-=.
19. 解：(1)设AC
BD O =，连结OE .因为ABCD 是菱形，所以O 为AC 的中点．又因为
点E 是PC 的中点，所以OE 是APC ∆的中位线. 所以AP OE .又OE ⊂平面,BED AP ⊄平面BED ，所以AP 平面BED .
注： 不写条件OE ⊂平面,BED AP ⊄平面BED ,各扣 1 分.
(2) 因为平面PBC ⊥平面,ABCD PC ⊂平面PBC ,平面PBC
平面
,ABCD BC PC BC =⊥,所以PC ⊥平面ABCD ,所以PC BD ⊥.因为底面ABCD 是菱形,
所以BD AC ⊥.又AC
PC C =,所以BD ⊥平面APC .
20. 解：(1) 函数()f x 的定义域为()()20,,'x a
f x x
-+∞=.当0a ≤时，()'0f x >，所以
()f x 的增区间是()0,+∞，
无减区间；当0a >时，(
)(
'x x f x x
=.
当0x <<时，()'0f x <,函数()f x 单调递减；
当x >
()'0f x >,函数()f x 单调递增. 综上，
当0a ≤时，函数()f x 的增区间是()0,+∞,无减区间；当0a >时，()f x 的
增区间是
)+∞
，减区间是(.
(2)令()()()()2
11ln ,02
F x f x g x x a x a x x =-=-
++->，问题等价于求函数()F x 的零点个数．
①当0a =时，()()2
1,0,2
F x x x x F x =-
+>有唯一零点；当0a ≠时，()()()
1'x x a F x x
--=-
.
②当1a =时，()'0F x ≤,当且仅当1x =时取等号，所以()F x 为减函数．注意到
()()3
10,4ln 402
F F =
>=-<,所以()F x 在()1,4内有唯一零点； ③当1a >时，当01x <<，或x a >时，()'0;1F x x a <<<时，()'0F x >.所以()F x 在
()0,1和(),a +∞上单调递减，在()1,a 上单调递增．注意到
()()()1
10,22ln 2202
F a F a a a =+
>+=-+<，所以()F x 在()1,22a +内有唯一零点； ④当01a <<时，0x a <<，或1x >时，()'0;1F x a x <<<时，()'0F x >.所以()F x 在
()0,a 和()1,+∞上单调递减，在(),1a 上单调递增．注意到
()()()()()110,22ln 0,22ln 22022
a
F a F a a a F a a a =+
>=+->+=-+<，
所以()F x 在()1,22a +内有唯一零点. 综上，()F x 有唯一零点，即函数()f x 与()g x 的图象有且仅有
一个交点.
21. 解：(1)
在方程
12
x y +=中，令0x =，则1y =，所以上顶点的坐标为()0,1，所以1b =；令0y =
，则x =
)
，所以a =所以，椭圆Ω的
方程为2
212
x y +=. (2) ①设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠.代入椭圆方程得
()2
2
22128820k x
k x k +-+-=.设()()1122,,,M x y N x y ，则
2212121212
2212882
,,121211
y y k k x x x x k k k k x x -+==+=+++--()()()()2
2121222
12122
28222221220828111112121k k x k x x x k k k k k x x x x k k ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤--+-+=+=-=-=⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎣⎦-+⎢⎥++⎣
⎦， 所以120k k +=，为定值．
②因为MN 直线过点()2,0G ，设直线MN 的方程为()2y k x =-，即20kx y k --=代入椭
圆方程得(
)2
222128820k x k x k +-+-=.由判别式()()()2
2228421820
k k k ∆=--+->解得21
2
k <
.点()1,0F 到直线 MN 的距离为h
，则()
2
2
1212
2111422
1
k h S MN h k x x x x k =
=
=
=++-+()
(
)
222222
882421
121k k
k k k k -=-+++
12
==212t k =+，则
S ==所以2
16k =时，S 的最大值为4.。