贵州省遵义市红花岗区2020-2021学年高二上学期期末考试数学(文理合卷)试题(含答案)

5
分
∴ kMN
=
y1 − y2 x1 − x2
=
2(x1 + x2 ) y1 + y2
=2
………………………………………… 7 分
故直线 MN：y −1 = 2(x −1)
………………………………………… 9 分
y −1 = 2(x −1)
由
x
2
−
y2 2
=1
………………………………………… 10 分
所以 BC // DE
……………………3 分
因为点 E 为 AC 的中点，
所以 D 为 AB 中点．
……………………5 分
2）由 1）知 D 是 AB 的中点．
因为 AC = BC ，所以 AB ⊥ CD ，……………………7 分
因为 AB ⊥ PC ， CD, PC ⊂ 平面 PCD ， CD PC = C ，
∵圆 C 经过点 A(2,−1) 和 B(0,−3) ，
∴
(2 − a)2 + (2a
a
2
+
(2a
−
3)2
−1)2 = r2
=
r2
，则
a
= 1, r 2
=
2．
……………………4
分
即圆 C 的方程为 (x −1)2 + ( y + 2)2 = 2 ． ……………………5 分
2）当斜率存在时，设直线 l 的斜率为 k ，则 l 方程为 y = k(x − 2) ．…6 分
又 PC ⊂ 平面 PAC ， ∴ PC ⊥ BD ．
………………………………………6 分
（2）（理）由（1）知 BO ⊥ 平面 PAC ，则 OB ⊥ PC ，过 O 作 OF ⊥ PC 于 F ，连 BF ，
由OB OF = O ，则 PC ⊥ 平面OBF ，得 BF ⊥ PC ，故 ∠OFB 为二面角 B − PC − E 的
综上，满足题意的直线 l 的方程为 x = 2 或 3x − 4 y − 6 = 0 ．……………12 分
21. 证明：（1）连接 AC 交 BD 于 O 点， ……………………1 分 ∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AC ⊥ BD ， O 是 BD 的中点，………………2 分 ∵ PB = PD ，∴ PO ⊥ BD ， …………………………………………3 分 又 AC OP = O, AC ⊂ 平面 PAC,OP ⊂ 平面 PAC ， ∴ BD ⊥ 平面 PAC ， …………………………………………5 分
分
2m + 8 > 0
解得 − 4 < m < −2 或 m > 4 . ………………………………………… 4 分 若 q 为真，则 (m − t)(m − t −1) < 0 ，……………………………………… 5 分
即 t < m < t +1. ………………………………………………… 6 分 ∵ p 是 q 的必要不充分条件，
则 x1 + x2 = 2, y1 + y2 = 2 ，
由x12 x22来自− −y12 2 y22 2
= 1① = 1②
……………………………………………… 2 分 ……………………………………………… 3 分
①
−
②得
( x1
+
x2
)(
x1
−
x2
)
−
1 2
(
y1
+
y2
)(
y1
−
y2
)
=
0
．………………………
则 AB ⊥ 平面 PCD
……………………10 分
因为 AB ⊂ 平面 PAB ，
…………………… 11 分
所以平面 PAB ⊥ 平面 PCD
……………………12 分
20. （1）由题意设圆心为 (a,−2a) ， ……………………1 分
则圆 C 为： (x − a)2 + ( y + 2a)2 = r 2 ， ……………………2 分
…………………………3 分
解得 a = 2,b = 3
…………………………4 分
x2 + y2 =1
∴椭圆 E 的方程为 4 3
…………………………5 分
y = kx + m
x2 （2）由 4
+
y2 3
=1
消去
y 得 (4k 2
+ 3)x2
+ 8kmx + 4m2
−12 = 0
.…………6 分
因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0 , y0 ) ，所以 m ≠ 0 ，且 ∆ = 0 ，即
∴ S∆PCE
=
1 2
S∆PAC
=
S∆POA
=
1× 2
3×
3=3 2
……………………………10 分
∴又 OB ⊥ 平面 PAC ，
∴ VP−BCE
= VB−PCE
=
1 3 S∆PCE
⋅ OB
=
1× 3
3 ×1 = 2
1 2
…………………………12 分
4a = 8
c
a
=
1 2
22. （1）由题意得 a2 = b2 + c2
又圆 C 的圆心为 (1,−2) ，
由 | k + 2 − 2k | = 1，解得 k = 3 ．
k2 +1
4
……………………8 分
所以直线方程为 y = 3 (x − 2) ，即 3x − 4 y − 6 = 0 ； ……………9 分 4
当 l 的斜率不存在时， l 的方程为 x = 2 ，经验证 x = 2 也满足条件；……11 分
遵义市红花岗区 2020—2021 学年度第一学期期末考试
高二数学参考答案及评分意见
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A B C B D C A B D B C
13. 4 2
14. 8
23
15.
3
16.②③④
17.
若
p
为真：则
m2
>
2m + 8
，………………………………………… 2
64k 2m2 − 4(4k 2 + 3)(4m2 −12) = 0 ，化简得 4k 2 − m2 + 3 = 0 .…………7 分
此时
x0
=
−
4km 4k 2 + 3
=
−
4k m
,
y0
=
kx0
+
m
=
3 m
，所以
P(−
4k m
,
3) m
…………8 分
x = 4
由
y
=
kx
+
m
得
Q(4,4k
+
m)
，
…………………………………………9 分
从而以线段 PQ 为直径的圆的方程为
(x + 4k )(x − 4) + ( y − 3 )( y − 4k − m) = 0
m
m
， …………………………………10 分
令
y
=
0得
x2
+
4( k m
−1)x + 3 −
4k m
=
0
解得 x = 1，故定点坐标为 M (1,0)
…………………………………11 分 . …………………………………12 分
5
（文）∵四边形 ABCD 是菱形， ∠BAD = 60 ，
∴ BD = AB = AD = 2 ，∴ OB = 1,OA = 3 ， ………………………………7 分
∴ OP = PB2 − OB2 = 3 ，
∴ OA2 + OP2 = PA2 ，即 OA ⊥ OP ． ………………………………………9 分
∴{m | t < m < t +1}是{m | −4 < m < −2 或 m > 4}的真子集，…………… 7 分 ∴ − 4 ≤ t ≤ t +1 ≤ −2 或 t ≥ 4 ……………………………………………… 9 分
解得或． ……………………………………………… 10 分
18. 假设存在满足条件的直线 l ．设 M (x1, y1), N (x2 , y2 )
平面角
………………………………………9 分
又 OF = PO ⋅OC =
3×
3=
6 ， BF =
BO2 + OF 2 =
10
…………10 分
PC
6
2
2
故 cos ∠OFB = OF = 6 = 15 BF 10 5
即二面角 B − PC − E 的余弦值是
15
． ………………………………………12 分
消去 y 得， 2x2 − 4x + 3 = 0 ， ∆ = −8 < 0 ． ………………………… 11 分
所以直线 MN 与双曲线不相交，即不存在满足条件的直线 l． ………… 12 分
19. 证明：1）因为 BC // 平面 PDE ，BC ⊂ 平面 ABC ，平面 PDE 平面 ABC = DE ，