(完整word版)导数大题题型全面

一、 分类讨论：
分类讨论复杂影响定义域， 导是否有根，最高次项系数(开口方向) 例1.(大兴19)已知函数f(x) (22 m)X .
x m
(I)当m 1时，求曲线f (x)在点(1, f (1))处的切线方程； (n)求函数f(x)的单调区间.
(2 m)(x 2
m) (2 m)x 2x fW
--- K (1 )当 m 0时，f(x)-.
x
因为f '(x)
当 f'(x) 0 时，x 0,或x 0.
所以函数f (x)的单调减区间为(，0),(0,)，无单调增区间
(2) 当m 0时，f (x)的定义域为{xx
m}.
当 f'(x) 0时，x 、、 m 或
.m x . m 或x 、. m ,
所以函数f (x) 的单调减区间为(,j m ),( —, —),(
~m, 单调增区间•
(3) 当 m 0时，f'(x) (m 2)(x 2 而2x 扁).
(x 2 m)2
①当0 m 2时，
若 f '(x) 0，则 x
. m 或x . m ，
(13分)解：(I)当 m 1 时，f(x)
x x 2 1.
因为f '(x)
x 2 1 2
2-
(x 1)
所以k 所以函数f (x)在点
1 1
(訐(2))
处的切线方程为12x 25y
4
(m 2)(x 2
m) 2 2
(x m)
)，无
f'
12
1 25 .因为f (2
若f '(x) 0 ,贝y m x 、、m ,
所以函数f(x)的单调减区间为(,,m),C，m,),
函数f(X)的单调增区间为(、、m,、、m).
②当m 2时，f (x) 0 ,为常数函数，无单调区间•
③当m 2时，
若f '(x) 0，贝U 、、m x .. m，若f '(x) 0 ,则x 、、m或x m ,
所以函数f(x)的单调减区间为(,
函数f(x)的单调增区间为(，.m),( . m,).
综上所述，
当m 0时，函数f (x)的单调减区间为(,0),(0,)，无单调增区间；
当m 0时，函数f(x)的单调减区间为(
，■-m),(、._m,, _m),(、~~m,)无单调增区间；
当m 0时，
①当0 m 2时，函数f (x)的单调减区间为(,x m),^ m,),
函数f (x)的单调增区间为(•、一 m, •、_ m)；
②当m 2时，f(x) 0 ,为常数函数，无单调区间；
③当m 2时，函数f (x)的单调减区间为(、、m,-、m)，
函数f(x)的单调增区间为(，吊),(、m, ) —13
根与定义域，最值处需要比较
例2. (2012年北京理科)已知函数f(x) ax2 1(a 0)，g(x) x3 bx -
(i)若曲线y f (x)与曲线y g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a, b的值;
2
(n )当a 4b时，求函数f(x) g(x)的单调区间，并求其在区间(-上的最大值
解：(1 )由1, c为公共切点可得：
2
f (x) ax 1(a 0)，贝U f (x) 2 ax, K 2a ,
3 2
g(x) x bx，贝U f (x)=3x b , k2 3 b,
2a 3 b ①
又 f(1) a 1 , g(1) 1 b ,
a 1
1 b ，即a b ，代入①式可得:
(2) Q a 2
4b ,
设 h(x) f(x)
g(x) x 3
2
1 2 ax a
x
4
1 则 h (x) 3x 2
2ax 1 2
a ，令 h (x)
0，解得 a :x 1
x ?
a —;
4
2
6
Q a 0 ,
a
a
2
6，
原函数在
a
单调递增，在
a
-单调递减， 在
a 上单调递增
2
2， 6
6，
①若1< a
，即a < 2时，最大值为 h(1) a 2
a
” ,•
2
4
②若a 1 a 即2 a 6时， 最大值为 h -
1
2 6
2
③若1> 6时，即a >6时，最大值为h
综上所述:
当a 0,2时，最大值为h(1)
2
a t
a
；当 a 2 ,
4
时，最大值为h ?
1
•
二、恒成立问题
例3( 2014海淀一模)已知函数 f (x) xln x .
(I )求 f(x)的单调区间；
(n )当k 1时，求证：f (x) kx 1恒成立.
(I )定义域为0,
---------------------------------- 1
分 f '(x) In x 1
---------------------------------- 2
分
1
令 f '(x) 0 ,得 x -
---------------------------------- 3
分
f '(x)与f (x)的情况如下:
分
1 1
所以f(X)的单调减区间为(0,—)，单调增区间为(―，)--------------------------- 6分
e e
(n )分离参数，
证明1:
1
设g(x) ln x , x 0 ----------------------------- 7分
X
八1 1 X 1
g(X) 2 2 ------------------------------------------- 8分X X X
g'(x)与g(X)的情况如下：
所以g(x) g(1) 1，即
1
ln x 1在x 0时恒成立， ------------- 10 分
x
, 1 ,
所以，当k 1时，ln x k，
x
所以xlnx 1 kx，即xlnx kx 1，X|k | B| 1 . c|O |m
所以，当k 1时，有f (x) kx 1. -------------------- 13 分
证明2：直接作差构造新函数
令g(x) f (x) (kx 1) xlnx kx 1 ----------------------------- 7分g'(x) In x 1 k ----------------------------- 8分令g '(x) 0 ,得x e k 1------------------------------ 9 分
g'(x)与g(x)的情况如下:
2x)
x
证明：设g （x ）
f(x)
x
e ^(x
x
X
( 2
0)，则 g '(x)
4
x
------------------- 10分
g(x)的最小值为g(e k1) 1 e k 1
--------------- 11分
当 k 1 时，e k1 1，所以 1 e k1 0 故 g(x) 0
----------------------- 12 分 即当 k 1 时，f(x) kx 1. ------------------------------ 13 分
x
e 例4.（ 2015海淀期末文科20题）
已知函数f （x ） .
x
（I ）若曲线y f （x ）在点（x 。

，f （x 。

））处的切线方程为 ax y 0,求x 。

的值;
当x 0时，求证：f （x ）
（n ）分离变量
(出) 问集合｛x R f (x) bx
0} （ b R 且为常数） 的元素有多少个？（只需写出结论）
解:
f'(x)
因为 切线ax y
0过原点 (0,0), 所以
e x °x 0 e"
2
解得: X 。

2.
e x
x
x 在(0,)上变化时，g'(x), g(x)的变化情况如下表
e 2 所以当x 0时，g(x) ?
1
即f (x) x .
4
另解：还可以转化为，二次求导。

(川)分离参数
数形结合
解：当b 0时，集合｛x R f (x) bx 0｝的元素个数为0;
2
e
当0 b 一时，集合｛x R f(x) bx 0｝的元素个数为1；
4
2
e 当b —时，集合｛x R
f (x) bx 0｝的元素个数为2；
4
2
r e
当b 一时，集合｛x R f (x) bx 0｝的元素个数为3.
................... 13分
4
ln x
在点(1, 0)处的切线.(I)求I 的方程；(II)证明：除切点
x
(1, 0)之外，曲线C 在直线l 的下方(答案在考试说明上)
In x
1— ln x
解：(1)设 f (x ) = ，贝U f '(x ) = —x^ —.
z\. z\.
令 g '(X)
e X (x 2 2x)
4
X
0 ,解得x 2.
4
分
6.(2013北京理)设I 为曲线C: y
2
e
所以当x 2时，g(x)取得最小值 •
所以f' (1) = 1. 所以L的方程为y= x— 1.
⑵令g(x)= x— 1 —f (x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于
x
2 / .
g (x )>0( x >0, x M 1).
g (x )满足 g (1) — 0，且 g (x ) — 1 f (x) — —-
z\.
2 ..
当 0<x <1 时，x - 1<0, ln x <0，所以 g '(x )<0,故 g (x )单调递减; 当 x >1 时，x 2- 1>0, In x >0,所以 g '(x )>0,故 g (x )单调递增. 所以 g (x )>g (1) = 0( x >0, X M 1). 所以除切点之外，曲线 C 在直线L 的下方. 另解：等价转化------化成新函数的最值问题
例7. (2012山东)(与2013北京高考题类似)导数等于 0的根不好求
已知函数f (x) lnx x k
( k 为常数，e 2.71828...),曲线y f(x)在点(1, f(1))处的 e
切线与x 轴平行.
(i)求k 的值；(n)求函数f (x)的最大值及零点。

1
In x k
解：(i) f'(x)
——x ——，依题意，f'(1) 二 0 k 1为所求.
e e 1 lnx 1
(n) f '(x)
x
e‘
<—(x 0)
记 h(x) 1 ln x 1 , h'(x) -1 1 2 _ 0 , 所以h(x)在(0 , )单减,
x
x x
又 h(1) 0,
所以，当
0 x 1 时，h(x) 0 ,
f '(x) 0 , f(x)单增；
当
x 1 时，h(x) 0 , f '(x) 0, f (x)单减.
所以，当 x= 1
时
函数f(x)取最大值
f(1)= ;
例8,与上类似，根不好求
a 2014西城文18.(已知函数f (x) ln x ，其中a R . x
(i)当a 2时，求函数f(x)的图象在点(1,f (1))处的切线方程;
(n)如果对于任意 x (1,
)，都有f (x) x 2，求a 的取值范围. 本小题满分 13分)
(i) 解:
, 2
1 2
由 f(x) lnx
，得
f (x)- 2 , • 2分
x
x x
所以 f (1) 3,
又因为 f (1)
2 ,
所以函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为3x y 5 0. ............................ 4分
(n)解：由 f (x) x 2，得 ln x a
x 2 ,
2
8
(12东城一模文)
即 a x In x x 2x .
则 g (x) In x 2x
因为x (1,
所以a w 1.
根不好求时 转化为两个基本初等函数可以猜出根，二次求导 恒成立存在性问题二
(14 东城二模 理)已知 a 0，函数 f(x)
：
x
2a , g(x) al nx x a .
x 1
(1)求函数f (x)的单调区间;
(2)求证：对于任意的
x,,x 2 (0,e)，都有f(x 1) g(x 2).
#2 2 #2 2 (x +1) (x +1)
2
F(x) = - ax +a;a>0,F(x) = 0,x ! = 1,X 2 = - 1;G(x) = - x+a,x o = a,]
gmin
>9区爲
设函数g(x) xlnx
x 2 2x ,
所以In x 0 , 2x
所以当 x (1,
)时, g (x) In x 2x 1
0 , 10
故函数 g(x)在 x (1,
)上单调递增,
所以当 x (1,
)时, g(x) g(1) 1.
11
因为对于任意x (1, )，都有f (x) x 2成立, 所以对于任意x
(1,
)，都有a g(x)成立.
13分
2 2 2
a(x +1)- 2ax - ax + a 〃、 a 彳-x+a f'(x) =
2
2
= 2 2：g (x)= — -1= — x x
2
已知x 1是函数f(x) (ax 2)e x的一个极值点.
8 (12东城一模文)
f (X
i )max - f (X 2)min
(2010山东理)
1 a
已知函数 f (x) In x ax
1 (a R).
x
1
(i)当a 2时，讨论f (x)的单调性；
(n)设g(x) x 2 2bx 4•当a -时，若对任意 为(0,2)，存在 他 1,2，使
4
f(xj g(x 2)，求实数b 取值范围.
例9.设函数
(1)若时，取得极值，求的值； 易错点 ⑵若
(3)若分类讨论，分离参数，存在性问题，找补集 (1)；
(2)
二、零点问题(方程的根的问题)：函数的单调性端点值的正负。

零点问题：直接研究原函数，或者等价转化为新函数，分离参数，或者数形结合
ax a
10.已知关于x 的函数f(x) x (a 0)
e
(i)当a 1时，求函数f (x)的极值；
(n)若函数F(x) f(x) 1没有零点，求实数a 取值范围.
当a 1时，f (x), f '(x)的情况如下表:
(i)求实数a 的值;
(U)当 x 1 , x 2
0,2 时，证明：f (xj f (X 2) e .
解： ( i) f '(x)
ae x (x 2) (e x )2
a(x 2) x
e
R .
---------------------------------------- 2
所以，当 时，函数 的极小值为 e
-------------------------------------- 6 分
----------------- 7分
因为F(1)
1 0 ------------------------- 8分
若使函数F(x)没有零点，需且仅需F(2)為1
0，解得
e
2
八
a e , ----------------------- 9 分
所以此时 e 2 a 0 ；
------------------------------ 10分
②当a 0时，F(x), F'(x)的情况如下表：
11分
F(2)
F(1) 0
所以此时函数 F(x)总存在零点.
---------------------------- 13分
综上所述，所求实数 a 的取值范围是 e 2 a 0.
例11.转化为新函数零点的问题
2014(西城18期末)已知函数f(x) (x a)e x ，其中e 是自然对数的底数，
a R .
(I)求函数f (x)的单调区间；
x
e ①当a 0时，F(x), F'(x)的情况如下表:
a(x 2)
(n) F'(x) f '(x)
F(1
a
1 10
e a 10 e a
」0
,10 U , 1 -
e a
12分
(n)当a 1时，试确定函数g(x) f(x a) x2的零点个数，并说明理由
(I)解：因为f(x) (x a)e x, x R ,
所以f (x) (x a 1)e x. .......... 2 分
令f (x) 0 ,得x a 1. .................... 3 分
当x变化时，
故f (x)的单调减区间为(，a 1)；单调增区间为(a 1,).……6分
(n)解：结论：函数g(x)有且仅有一个零点. ..... 7分
理由如下：
由g(x) f (x a) x2 0 ,得方程xe x a x2,显然x 0为此方程的一个实数解
所以x 0是函数g(x)的一个零点. .............. 9分
当x 0时，方程可化简为e x a x.
设函数F(x) e x a x，则F (x) e x a 1，令F (x) 0，得x a .
F(x)和F (x)的变化情况如下：
当x变化时，
即F(x)的单调增区间为(a, )；单调减区间为(，a).
11 分
所以F(x)的最小值F(x)min F(a) 1 a.
因为a 1，所以F(x)min F(a) 1 a 0，
所以对于任意x R , F(x) 0，因此方程e x a x无实数解.
所以当x 0时，函数g(x) 不存在零点.
综上，函数g(x)有且仅有一个零点. ....... 13分
(2014文科)已知函数f (x) 2x33x.
(1 )求f(x)在区间［2,1］上的最大值；
(2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y f (x)相切，求t的取值范围；
(3)问过点A( 1,2),B(2,10), C(0, 2)分别存在几条直线与曲线y f(x) 相切？(只需写出结论)
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i)i n t n j 2 V T
导函数也是函数-----函数的性质
12. (2015海淀期末理科)
n n
13. 已知函数f(x) acosx xsinx , x [ ,].
2 2
(I)判断函数f (x)的奇偶性，并证明你的结论；
(n)求集合A {x| f(x) 0}中元素的个数;
(川)当1 a 2时，问函数f(x)有多少个极值点？(只需写出结论)
0 时，令 f(x) xsi nx 0,由 x [
得x 0.
综上所述，当 a 0时，集合 A {x|f(x)
0}中元素的个数为 0;当a 0时，集合
A {x| f(x)
0}中元素的个数为1；当a 0时，集合A {x| f (x) 0}中元素的个数为
2.
(川)函数f (x)有3个极值点. .......... 13分
分离参数或者继续求导
解: (I)函数
f (x)是偶函数, 证明如下:
对于
n n [，则
因为 f( x) acos( x) xsin( x) a cosx xsi nx f (x),
所以
f (x)是偶函数•
0时，因为 f (x)
a cosx xsinx 0, x
n n , [,]恒成立,
2 2
所以 集合A
{x| f (x) 0}中元素的个数为
0.
所以 集合A {x| f (x)
0}中元素的个数为 1.
0 时，
因为 f '(x) as in x si nx
n
xcosx (1 a)sin x xcosx 0, x (0,—), 2
所以
因为
所以
函数f (x)是[0, n 上的增函数.
2
n n
f(0) a 0, f(；) ； 0,
2 2 n f (x)在(0, n )上只有一个零点.
由f (x)是偶函数可知，集合 A {x| f (x)
0}中元素的个数为2.
10分
X e
13.设函数f x 2
X k(- ln x) ( k为常数，e 2.71828L是自然对数的底数) X (I)当k 0时，求函数f x的单调区间;
(II)若函数f x在0,2内存在两个极值点，求k的取值范围。

解：(1) f'(X)e匚环k( 22 1)
X X X
(x 2)(e x kx)/ c、
-------- 3 (x 0)
x
当k 0时，kx 0, e x kx 0
令f'(x) 0,则x 2
当x (0,2)时，f(x)单调递减；
当x (2,)时，f(x)单调递增。

⑵令g x e x kx
则g (x) e x k
e x k,x Ink
g'(0) 1 k 0,g(0) 1 0
2
g'⑵ e2k 0, g 2 e22k 0 k e
g Ink e lnk klnk 0 Ink 1 k e
2
综上：k的取值范围为(e,e)。

2
14..2015延庆文科.(本小题满分13分)
已知函数f (x) In x .
(I)求过点(0,0)，曲线y f(x)的切线方程；
(n)设函数g(x) f (x) e x，求证：函数g(x)有且只有一个极值点;
(川)若f(x) a(x 1)恒成立，求a的值.
先猜后证直接构造数形结合
(I)设切点为(x0,ln x0),
1 1
-f (X) , f (X g)
X g
1
• ••切线方程为y ln x0(X x0) ........................ 2分
X0
•••切线过(0,0) , • In x01, x0 e, ........................ 3 分
1 1
•切线方程为y 1 (x e)，即：y x. ........................... 4分
e e
1 x
(n) g (x) e ...................... 5 分x
当x (0,)时，1是减函数，e x也是减函数,
x
g (x) 1 e x在(0,)上是减函数，.............. 6分
x
当x 1 时，g (x) 1 e 0 , ....................... 7 分1
当x 2 时，g (x) 2 、e 0, ........................ 8 分•g (x)在(0,)上有且只有一个变号零点，
•g(x)在定义域(0,)上有且只有一个极值点• ...................... 9分
1
(川)令h(x) ln x a(x 1)，则h(x) 0恒成立，h (x) a ,
x
①若0,则h(x) 0恒成立，• h(x)在(0,)上是增函数,
...当e时, h(e) 1 a(e 1) 0 ,•题设不成立.10分
②若h(x) 1 ax x
令h(x) 0, 令h(x) 0,则0 x 1；
a
令h(x) 0,
• a 1=ln a 恒成立,
16. 零点的范围明确：零点存在性定理
In x
1
(a 为常数)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 一， a 2
(I)求实数a 的值;
h(x)在x 1处达到极大值h a
(丄)
a
1 1
In — a(— 1) a a In a a 1
In a a 1
0恒成立，即： a 1 In a 恒成立.
............ 11分
令 F(x) (x 1) In x ,则 F
(x)
1」, x
当 x 1 时，F (x)
0 ；当 0 x 1 时，F (x)
0 ；
当 x 1 时，F (x)
；
F(x)在(0,1)上是减函数；在 (1, )上是增函数；在 x 1处达到最小值.
••• F(a) F(1 恒成立，
•••
1 0,即：a 1 In a 恒成立•…12分
In a a
13分
2015延庆一模理科已知函数
f (X )
(n)若函数 f (x)在区间［t.
)(t Z)上有极值，求t 的取值范围•
18.(本小题满分 13 分)
解：(I ) f (x)
x a
In x
x _____
2 ‘
(x a)
f (1)
1 a (1 a)2
In x (n 「f(x)—
f (X)
1 . In x _x ____
(x 1)2 1
1 In x
x ____ 2 ‘ (x 1) .••令 f (x) 0, 令 f (x)
0,
则1 -
x
1
-In X ,令 f (x) x
In x ,
1
0, 则 1
- x
In x ,
1
令 g(x) 1 - x
In x ,
则 g(x)在(0,
)上为减函数,
、构造新函数
17. ( 2007年陕西高考题)是定义在上的非负可导函数，且满足 -■
'，对任意正数"LJ
，若二-■，则必有()
止妙何茎幼®
D.VW</W
18.
设f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当
x v 0时，f '(x)g(x) + f(x)g'(x)>0
且g( — 3) = 0,则不等式f(x)g(x)v 0的解集为 _________ .
19. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，f(1)=0, (x>0), 则不等式f(x)>0 的解集是
20. 已知「的导函数为，且…，则下面在三上恒成立的是()
A ./«>O
B ./W <0
cm k m
讥
21. (2015西城期末理科
22. 已知函数f (x) ax 2 bx(a 0)和g(x) In x 的图象 有公共点P ,且在点P 处的切线相同.
(I)若点P 的坐标为(-,1)，求a, b 的值;
e
(n)已知a b ，求切点P 的坐标.
§ x 2时, g(x) 1 1
In 2 2
§ x 3时, g(x)
4 3
In 3 ,
4
e 62 36 27
33,
g(3)
§ x 4时, g(x)
5 4 In 4 ,
• 5
e 35 243 256 44,
•
■-
g(4)
■.存
在
X 。

(3,4), 使得g(x 。

)0 ，即: 并且当0 x X 0 时
，
f (x) 0, 当X •.当
x
X ° 时，f (x) 取 Z 得极大值•…
••…
8
f (X o ) 0,
13分
X o 时，f (x)
0,
{1,2,3}
分
t 的取值范围是
(I)解：由题意，得f($弓b1,
e e e
1 且 f (x) 2ax b , g (x)
，
(3)
x
分
由已知，得f (1) g(-)，即
2a
b e ,
2
解得 a 2e , b 3e .
................... 5 分
-
(n)解：若 a b ，则 f (x)
2ax a , g (x)-,
设切点坐标为(s,t)，其中S 0,
x
由题意，得 as 2 as l
n s ，
①
2as a
1
②
....................... 6分
s
由②，得a
1
其中 s 1
—?
s(2s 1)
2
代入①，得
s 1 In s .
(*) ....................... 7分
2s 1
1 0， 且s 0，
a
s(2s 1)
所以sb
...................... 8分
2
x 设函数F (x)
1 ln x ， x
)，
2x 1
2
则 F (x ) (4x 1)(x
1)
....................... 9分
则 厂(x)
x(2x 1)
2
令 F (x)
0 ，解得 x 1或x 1 (舍).
...................... 10分
4
当x 变化时，F (x)与
....................... 12分
1 所以当错误！未指定书签。

时，F(x)取到最大值F
(1) 0
，且当x (?,1)U(1,)
时
F(x) 0.
因此，当且仅当x 1时F(x) 0. 所以方程(*)有且仅有一解s 1.
e e e
则对任意的x-i ,x2(0,
F(X2)F(X1)
X1 等价于G (x)F(x) ax在(0,)是增函数.
1 2
G(x) x
2
2a In x 2x ,
可得G'(x)
2
2a 小x 2x 2a x 2 X X
于是t In s 0,
因此切点P的坐标为(1,0) . ...................... 13分
1 3 1 2
22.已知a R，函数f(x) x3 (a 2)x b, g(x) 2alnx.
6 2
(i)若曲线y f (x)与曲线y g(x)在它们的交点(1,c)处的切线互相垂直，求a , b 的值；
(n )设F (x) f '(x) g(x)，若对任意的x.|,x2 (0,)，且x-i x2，都有
F(X2)F(X J ag xj，求a的取值范围.
解: (i) f '(x) 1x2(a 2)x , f '(1) a |. g'(x)空,g'(1) 2a.
x
依题意有f'(1)g'(1) 1,
3 1
可得2a(a ) 1，解得a 1，或a . ............. 6分
2 2
1 2
(n) F(x) x (a 2)x 2aInx.
2
不妨设x-i x2,
则F(
X2)F
(x
1)a等价于F(x2) F(x1) a(x2 x1),
x2 x-1
即F (x2) ax2 F (x1) ax1.
设G(x) F(x) ax,
)，且X1X2，都有依题意有，对任意x 0，有x22x 2a 0 .
由 2a x 2 2x (x 1)2 1,可得 a - . .............................. 13 分
2
(3 m)x 3mlnx , m R . ( I )求函数f (x)的单调递增区间;
两点的直线l 的斜率恒大于 3，求m 的取值范围
解：(I )依题意,
f (x)的定义域为 0,
,
f (x) x
(3 、3m
m)
x
2
x (3 m)x 3m
(x 3)(x m)
x
x
(i)若 m
0,
当x
3时, f (x) 0 , f (x)为增函数•
(ii )若 m 3,
f (x)
(x 3)2 0恒成立，故当x 0时，
x
f (x)为增函数•
(iii)若 0 m 3,
当0 x m 时，f (x) 0 , f (x)为增函数; 当x 3时，f (x) 0, f (x)为增函数•
(iv )若 m 3,
当0 x 3时，f (x) 0 , f (x)为增函数； 当x m 时，f (x)
0 , f (x)为增函数•
综上所述，
当m 0时，函数f (x)的单调递增区间是
3, ;当0 m 3时，函数f (x)的单调递
增区间是 0,m , 3, ；当m 3时，函数f(x)的单调递增区间是 0, ；当m 3时, 函数f(x)的单调递增区间是
0,3 , m,
(n )依题意，若过 A,B 两点的直线l 的斜率恒大于 3，则有f(x 1) f(x 2)
3 ,
x 1 x 2
23.已知函数f(x) -X 2 2 (n )设 A(x 1， f(x -)) , B(X 2, f(X 2))为函数f(x)的图象上任意不同两点,
若过A , B
X2 0 时，f(xj f
(X2)
3(X i X2)，即 f (x-i) 3x1 f (x2) 3X2；当0 x1 x2时，f (x1) f(X2)3(X1 X2)，即 f (x-i) 3x1 f (x2) 3X2.
设函数g(x) f (x) 3x,若对于两个不相等的正数x-,X2,f(X1) f(X2)
X1 X2
3恒成立,
则函数g(x) 1 2
x mx
2
3mln x 在0, 恒为增函数,
即在0, 上，g (x) 3m
m -
x
0恒成立.
解法一:
(1)当
m
0时，当x 0 g (x) ，说明此时g(x) 0不恒成立;
或g( 3m m 1
g(x) 0不恒成立;
(2)当
m
0 时，g (x) 0,
(3)当m 0时，若g (x)
3m
(当且仅当x .3m时取等号) 综上所述,
解法二：
x 0,
(i)当
(ii)当
2m
m 1
上恒成立;
2m
m 1
2 0，说明此时
0恒成立，而
当
x 0 时，x 削2、3m ,
x
即2.3m m 0成立，即,m(2、,3 .m) 0 ,解得
2.3，即0 m 12，显然m 12符合题意.
0 m 12时，过A,B两点的直线l的斜率恒大于在0, 上，g (x) x m舸0恒成立,
成立，即m(1 3) x在x
x 0,
3时，上式显然满足;
x 3时，上式等价于
3.
等价于
成立. h(x) ,0，只需m 0; m (- 1) x，在x
，设h(x) x 3，此时h(x)为减函数,
2
X
(iii)当X 3时，上式等价于 m
，设h(x)
x 3
则此时m 12.
在0, 上，当0 m 12时，g (x) x m
0成立.过A, B 两点的直线I 的斜率
x
恒大于 3. 解法三：
3m
2
在0, 上，g (x) x m
0恒成立，等价于h(x) x mx 3m 0在
x
x (0,)恒成立，则有
(1) 0 时，即 m 2 12m 0，所以 0 m 12
综上所述，0 m 12.
问法上不常见的
24 (石景山18)已知函数f(x) e x ax ( e 为自然对数的底数).
(I)当a 2时，求曲线f (x)在点(0,f(0))处的切线方程； (n)求函数f (x)的单调区间；
(川)已知函数
f (x)在x 0处取得极小值，不等式
f(x) mx 的解集为 P ，若
1
M {x|— x 2}，且M I P
，求实数m 的取值范围.
2
5 (石景山 18)解：(I)当 a 2 时，f(x) e x 2x , f (x) e x 2,
得 f(0)
1 , f (0) 1，…
2 分
所以曲线f (x)在点(0 , f(0))处的切线方程为y x 1.
……3分
(n) f (x) e x a .
当a 0时，f (x)
0恒成立，此时f (x)的单调递增区间为(
6，当x 3 时，h(x)
12 (当且仅当x 6时等号成立)
—,则 h(x) x
3
(x 3)2 6(x 3) 9
T~3
或( 2)
时，需7
且
h(x)
3m ，即 3m 0显然不成立
14分
)，无单调递减
区间;
当 a 0时，x ( , In a)时，f (x) 0 , x (Ina , )时，f (x) 0 ,
此时 f (x)的单调递增区间为(
ln a ，)，单调递减区间为 (出) 由题意知 f (0) 0得a 1，经检验此时f (x)在x 0处取得极小值•……8分 因为 1
，所以f(x) mx 在［-，
2］
上有解，即
x [£ ,2]使 f(x) mx 成
立，…9分 [1，2] 使 m x
e x »
成立, x
10分 所以m
x (^^) i i x min ・ 令 g(x) x
1，g(x) (x 2)e
，所以g(x)在［丄，1］上单调递减，在［1,2］上单调 x 2
递增，则g(x)min g(1) 12分 所以m (e ). 13分
25.设函数f x In ax ， x e x ax ，其中a 为实数•
(1)
1, 上是单调减函数，且 g x 在 1,
上有最小值，求a 的范围;
1,
上是单调增函数，试求
的零点个数，并证明你的结论
解: (1)
f(x)'
x 1
g(x) 由题意：f (x) 1, 恒成立 1,
恒成立
x 在1,
上有最小值
0时，g(x) 0恒成立，g(x)在 1, 无最值
a 0时，由题意Ina 1
综上：a 的范围是：a e
(2) Q g x 在
1,
上是单调增函数 g(x) 0对x
1, 恒成立
即a e x 对x
1,
恒成立
a e
1
令 f (x)
0，则a
In x
x
则有f (x)的零点个数即为y a 与y
令 h(x) 则 h(x) In x
x 1 In x 2
x
易知h(x)在0,e 上单调递增，在
e,
上单调递减
在x e 时取到最大值h(e)
In x
当 x
时，h(x)
x
h(x)图像如下
所以由图可知：
a 0时，f (x)有1个零点
1
0 a
时，f (x)有2个零点
e
In x x
图像交点的个数
0 时，h(x)
In x
x
分
1
a -时，f(x)有1个零点 e
1
综上所述：a 0或a -时，f(x)有1个零点
e
1
0 a -时，f (x)有2个零点
e
(i)若a 1 ,求函数f (x)的单调递减区间; (n)若a 0,求函数f(x)在区间［1,)上的最大值;
(川)若f(x) 0在区间［1,)上恒成立，求a 的最大值. (18)(共 14 分)
所以 函数f(x)在区间［1,)上的最大值为f(1) 0 ；
26.2014海淀期中)已知函数
f (x) 2a ln x x 2 1.
解: (i)当 a 1 时，f(x) 2ln x x 2
f (X 、2
2x
2(x 2
1)
)-
,x 0.
x
x
分
令f (x)
2(x 2 1)
0.
x
因为 x 0 ,
所以 x 1 .
分
所以 函数 f (x)的 单调递减区间是
(1, 分
2a
2(x 2 a)
x 0
(n) f
(x) 2x
x
x
令1 「(x) 0 ,由a
0,解得x 1
a ,
分
1.
(2)
(3)
).
4
x
- a (舍去). 5
[1,)上f'(x) 0,函数f (x)是减函数.
①当a 1，即0 a 1时，在区间
3
分
所以L 的方程为y
丄
12
24
(x 1)
，即
1 1 x 24 24
所以f ( 1)丄
24
② 当.a 1，即a 1时，x 在［1,)上变化时，f '(x), f (x)的变化情况如下表
所以函数f(x)在区间［1,)上的最大值为f(、,a ) alna a 1.
10
综上所述：当0 a 1时，函数f(x)在区间［1, )上的最大值为f(1) 0 ；
当a 1时，函数f(x)在区间［1,)上的最大值为f(、a) al na a 1. (川)由(n)可知：当
0 a 1时，f(x) f (1) 0在区间［1,)上恒成立;
.................... 11分
当a 1时，由于f(x)在区间［1, ...a ］上是增函数， 所以f(-.a) f(1)
0,即在区间［1,)上存在x -.a 使得f(x) 0.
13分
综上所述，a 的最大值为1.
与第二问有联系抓住特殊点或者二次求导
1
27. ( 2014海淀期中理科)设函数f(x) — 1
,L 为曲线C : y f (x)在点(1,一)处
5x 16x 23
12
的切线•
(I)求L 的方程；
1
(n)当x 时，证明：除切点
5
1
(
咗)之外，曲线C 在直线L 的下方;
(川)设X 1, X 2, x a R ，且满足x
X 2 x 3
求f(xj f(X 2)f (x a )的最大值.
解: (I) f (x)
__ 10x 2
(5x 16
2・
16x 23)
11
1
(n)要证除切点(i,占)之外，曲线C 在直线L 的下方，只需证明
x ( , 1)U( 1,
1
,
1
丄x 丄恒成立.
24 24
5x 2 16x 23
5 因为 5x 2
16x 23
0 ,
所以只需证明 x
(,
1)U( 1, 1)， 3 2
5x 11x 7x 1 0恒成立即可
5
(5)
分
3
2
1
设 g(x) 5x 11x 7x 1 (x < -). 5
则 g (x) 15x 2 22x 7 (x 1)(15x 7).
令 g (x) 0 ,解得 ％
1 , X 2
—
.
.................... 6 分
15
当x 在(,丄］上变化时，g'(x),g x 的变化情况如下表
5
1
3
2
1)U( 1,
) , 5x 11x 7x 1 0恒成立.
(川)(i)当冷
】，X 2 1,且X 3
-时,
5
5
5
(n) 可知：
f (X 1) 2
1 ——w
1
X 1 丄
5x 1
16x 1 23 24 24
f (X 2)
2
1
w 1 X 2 丄 f (X 3)
1 1 1 w
X 3 5X 2
16x 2
23 24 24 5X 32
16X 3 23
24
24
因为 X 1 X 2 X 3 3,
1
所以f(xj f (X 2) f (X 3) < ，且当X X 2 X 3
1时取等号.
4
1
所以
三式相加，得 f(X 1) f (x ?) f(x 3)
1 (
刃
(x 1 x 2
X 3)
(ii)当X1, X2, X3中至少有一个大于等于-时,
5
11
不妨设
X 1
> 5,则
5x
： 16x 23 5(X 1
5
)2
|》5(「)2
20
,
所以 f(x) f(X 2)
f 区疋不
5
5 1
20 51
5
4
综上所述,当 X 1 X 2 X 3
1 时 f(X 1) f (X 2)
1
f (X 3)取到最大值： .. ..........
........ 14分
与第二问有联系抓住特殊点或者二次求导 例 28. ( 2014?北京)已知函数 f (x ) =2x 3- 3x .
(I)求f (x )在区间［-2, 1］上的最大值；
(H)若过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切，求t 的取值范围； (2014 北京文).解：(1)
由 f (x ) = 2x -3x 得 f '(x ) = 6x -3.
令f '(x ) = 0,得x =—孑或
因为 f ( — 2) =— 10, f -彳=2, f -2 =— 2, f (1) =— 1,
所以f (x )在区间［—2, 1］上的最大值为f —# =
2.
(2)设过点P (1 , t )的直线与曲线y = f (x )相切于点(x o , y o ), 则y o = 2x 0 — 3x o ,且切线斜率为 k = 6x 0 — 3, 所以切线方程为y — y ° = (6x 0— 3)( x —X 。

), 因此 t — y °= (6 X 0— 3)(1 — x °), 整理得 4x 0 — 6x 0 + t + 3 = 0, 设 g (x ) = 4x 3— 6x 2 +1 + 3 ,
则“过点P (1 , t )存在3条直线与曲线y =f (x )相切”等价于“ g (x )有3个不同零点”. g ' (x ) = 12x — 12x = 12x (x — 1).
当X 变化时，g (x )与g '(x )的变化情况如下：
X (—m
, 0) 0 (0 , 1) 1 (1 , +m
) g '(x )
+
—
+
g (x )
t + 3
t +1
所以，(0) = + 3是()的极大值,(1) = + 1是()的极小值.
g (0)= t + 3>0,
结合图像知，当g (x )有3个不同零点时，有
/、丄 解得一3<t < — 1.
g (1)= t + 1 — 0,
故当过点P (1 , t )存在3条直线与曲线y =f (x )相切时，t 的取值范围是(一3 , — 1). ⑶ 过点
A — 1, 2)存在3条直线与曲线 y = f (x )相切；
过点耳2, 10)存在2条直线与曲线y = f (x )相切； 过点qo , 2)存在1条直线与曲线y = f (x )相切.
51 51
> 一
5 5 5X 32
I6X 3 23 5(X 3
51 51
> 一
3
5。