《初等数论》复试大纲

贵州师范大学硕士研究生入学考试大纲（复试）
(科目：代码名称初等数论）
一、考查目标
本《考试大纲适用于贵州师范大学数学科学学院数学专业硕士研究生入学考试复试。

初等数论是大学数学系本科学生的一门重要课程。

要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有较强的抽象思维能力、逻辑推理能力、计算能力和综合分析解决问题能力。

1考试目的
《初等数论》是我校数学科学学院招收全日制硕士研究生而设置的具有选拔性质的复试科目，其目的是考察学生是否具备本学科各专业硕士研究生学习所要求的水平，为我校数学科学学院择优选拔硕士研究生提供依据。

2考试的基本要求
1）要求考生比较系统地掌握初等数论的基本概念和技巧，学会整除、同余式、不定方程、平方剩余、同余方程和原根及指数的计算与证明；2）掌握研究初等数论的一些基本思想和方法；3）要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、计算能力、综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

二、考试形式与试卷结构
（一）试卷成绩及考试时间
本试卷满分为100分。

考试时间为180分钟。

（二）答题方式
闭卷，笔试；所有题目全部为必答题。

（三）试卷内容结构
整数的可除性理论约占15%，不定方程理论约占15%，同余、同余式理论约占25%，二次同余式与平方剩余理论约占25%，原根与指标理论约占20%。

（四）试卷题型结构
所有题目为计算题与证明题。

三、考查范围
1、整数的可除性
整除的性质、带余数除法、辗转相除法，最大公因数和最小公倍数的基本理论，算术基本定理，函数［x ］、｛x ｝的基本理论。

2、不定方程
一次不定方程有解的充要条件，解一次不定方程的方法；不定方程222z y x =+的正整数解的表示方法；不定方程444z y x =+无正整数解的证明。

3、同余
同余的定义，同余与整除的关系，同余的基本性质及其在算术中的应用；剩余类与完全剩余系的定义和性质结构；欧拉函数与简化剩余系；费马、欧拉定理与威尔逊定理的推导和应用。

4、同余式
同余式及其解的定义，利用完全剩余系及费马小定理解同余式，同余式的常用变形，解一次同余式的两种方法；孙子定理的推导，利用孙子定理解一次同余式组；同余式的同解定理，一般同余式的解的形式；模为素数的高次同余式的等价定理，其有解的充要条件的定理和推论。

5、二次同余式与平方剩余
二次剩余与二次非剩余的定义，二次剩余与非剩余与同余式解的关系，欧拉判别法（判别a 是否是模p 的二次剩余的方法）；勒让德符号的定义，勒让德符号的性质及推导，几个基本勒让德符号的值，二次互反律，利用勒让德符号判断二次同余式有无解，雅可比符号的定义和性质，雅可比符号与勒让德符号的关系，利用雅可比符号判定二次同余式无解；二次同余式有解的充分条件和解数，有解时模两种情况的解的形式，模不太大时二次同余式的解法。

6、原根与指标
指数和原根的概念，指数的基本性质；模存在原根的条件，模的原根的相关性质，求模的全部原根；指标和指标组的概念、性质，会构造模的指标表，模m 的n 次剩余和非剩余的概念，模m 的n 次剩余的充要条件；模及合数模的指标组。

四、样 题
1. 求不定方程6x+93y=75的一切整数解。

2. 设a 为正整数，试证：
||()(),d a d a a d a d
φφ==∑∑
其中|d a ∑表示展布在a 的一切正因数上的和式。