初中数学解题中辅助圆的应用探析

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圆作为初中数学内容的重要组成部分，
加上自身具有的特殊性质，可帮助学生解决初中数学问题，尤其在线段长度、三角形、正多边形及求取点的个数等相关问题中应用此方法能够将复杂问题简单化，在解题中起着“搭桥铺路”的作用。

一、构辅助圆求线段长度
线段长度在初中数学解题中也较为常见，主要利用共同端点的几条线段相等，以该端点为圆心，并以等线段的长作为半径，进而构造出辅助圆，
最后利用圆形的性质求解。

例1.如图1所示，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=AC =AD =5，BC=19√，求取BD 的长度。

解析：以A 为圆心作圆A ，A 到B 、C 、D 三点的距离相等，
即圆A 的半径，且B 、C 、D 三点均在圆A 上。

延长BA 到E 点，使AE=AB ，连接ED 。

因为AB ∥CD ，圆周角所对应的弧相等，
所以ED 与BC 的弧长相等，可得到ED=BC =19√。

由图可知，EB 为圆A 的直径，
因此：∠EDB=90°，BE =2AB =10，可得：BD =BE 2-DE 2=102-（19√）2
√=9.
二、构辅助圆求三角形度数
求取三角形度数也是初中生在解决数学问题时遇到的问题，常以公共定点作为一个顶点，进而做三角形的外接圆，并且使等角与辅助圆中有关角之间建立起联系，
进而有效解决问题。

例2.如图2所示，已知△ABC ，AB=AC ，且∠ABC 的平分线交AC 于D 点，且BD+AD=BC ，求取∠A 的度数。

解析：因为BD 是∠ABC 的平分线，∠BAD=∠DBC 。

作△ABD 的外接圆，交BC 于E 点，连接DE 。

根据圆周角所对应的弧相等，可得：AD 与DE 的弧长相等，得AD=DE ，由于四边形ABED 是一个内接圆四边形，因此：∠ABC 、∠EDC 、∠C 三个角度都相等，所以2∠C=∠DEB ，且DE=EC 。

因为：BC=BD+AD =BE+EC ，且AD=DE =EC ，最终：BE=BD 。

因为∠DEB=∠BDE =2∠C 。

在△BDE 中，∠DEB+∠BDE+∠DBE=180°，即：4∠C +12
∠C =180°，
所以：∠C =40°，即∠ABC=∠C =40°。

在△ABC 中，∠ABC+∠C+∠A =180°，所以：∠A =100°
例3.如图3所示，圆O 1与圆O 2的半径分别为5、6，圆心距O 1O 2=13，O 1A 切圆O 2于A ，O 2B 切圆O 1于B ，连接AB ，
求tan ∠O 1AB 。

本道题看似较复杂，在两个圆之间求取三角形度数。

在教学
中教师可先引导学生利用“圆的切线定理”，连接O 2A 与O 1B ，由切
线定理可得到：∠O 1AO 2=∠O 1BO 2，再以O 1O 2为直径作一辅助圆，使O 1、O 2、A 、B 都在辅助圆上，得到∠O 1AB =∠O 1O 2B ，因为O 2B =O 1O 22-O 1B 2√=132-52√=12，所以，可得到tan ∠O 1AB =tan ∠O 1O 2B =O 1B O 2B =512，进而求取角度。

三、构辅助圆求正多边形面积
初中数学中正多变形计算的教学目标主要是让学生学会将正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长、面积等的计算问题转为解直角三角形的问题，解题中利用辅助圆，能够快速地将正多边形的问题转化为三角形的问题，
快速解答出来。

例4.如图4所示，已知在正八边形ABCDEFGH 中，最长的对角线等于a ，最短的对角线等于b ，求该正八边形的面积。

解析：解答此题时，可根据正八边形的性质，最长的对角线AE=a ，最短的对角线AG=b ，连接最短的对角线，将正八边形分为一个边长为b 的正方形和四个腰为八边形边长，底边长为b 的等腰三角形，分别计算正方形和四个等腰三角形的面积，相加后即
可得出答案。

除这一常规的方法外，
为进一步拓展学生的解题思路，还可引导学生利用圆的知识来解答。

连接AE 、CG 相交于O 点，以AO 为半径作圆O 。

由AE=a ，可知OA =12
a ，连接OB 交AC
于K ，由正八边形性质可得∠AOB=∠0AK=45°，求得△AOB 的面积后，进而求正八边形的面积。

C
图1图
2
C
图3
图4总之，圆作为基本的平面图形，在初中数学解题中有重要意义。

在初中数学解题中，常常遇到一些用常规方法无法解决的问题，看似与圆无关。

但是若能构造适当的圆形加以辅助，能够使复杂问题简单化，抽象问题形象化，进而快速解决问题。

参考文献：
［1］邓文忠.巧添辅助圆妙解几何题［J ］.数学大世界：初中版，
2012（12）：32-33.［2］刘清泉，杨一丽.“圆”形毕露［J ］.中学数学杂志：
初中版，2014（1）：57-59.
作者简介：周美丽，女，1982年10月出生，本科，就职学校：
江苏丹阳实验学校，研究方向：数学教育。

初中数学解题中辅助圆的应用探析
周美丽
（江苏丹阳实验学校）
摘
要：圆是特殊的平面曲线图形，学习圆的特殊性质是初中数学的重要内容。

在初中数学解题中，
若能构造适当的圆形加以辅助，可有效降低解题难度，提高解题效率。

关键词：辅助圆；初中数学；解题
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On the Application of the Auxiliary Circle of
Mathematics Problem Solving in Junior Middle School
Zhou Meili
Abstract ：The curve is a plane curve graphic special ，special propevties of the of learning circle is an important content in middle school.
In the junior middle school mathematics problems ，if the circular structure of the appropriate assistance ，can effectivelyreduce the difficulty of
solving ，improve the efficiency of solving the problems.
Key words ：auxiliary circle ；junior middle school mathematics ；problem solving
•编辑韩晓
How to Do Well the Work of Moral Education of Junior High School Teacher
Mo Huali
Abstract ：In the new period ，junior high school class teacher with the students only to com ，let the students open their hearts ，to do a
good job ，of moral education in junior high school teacher ，can promote the healthy development of students and progress.Therefore ，discusses the good junior high school teacher of moral education strategy.
Key words ：junior high school ；class teacher ；moral education
•编辑韩晓
摘
要：在新时期，初中班主任只有切实跟学生融为一体，让学生敞开心扉，搞好初中班主任的德育工作，
才能够促进学生的健康发展和进步。

为此，
论述了搞好初中班主任德育工作的策略。

关键词：初中；
班主任；德育一、理解和尊重学生，
拉近师生之间的情感在信息化和网络化的当今，
初中生的生活不再限于学校和学习，而是变得多彩多姿，
与此同时，他们会遇到不少的问题或疑惑。

针对初中生而言，
一些问题是他们自己较难处理的和面对的。

因此，初中班主任应当着眼于学生的性格特征，指导学生学习和生活中碰到的疑惑。

教师应切实尊重学生，
为学生所想，多多地支持和关爱学生，对于学生在生活和学习中的改变进行实时疏导，以使学生体会到班主任的关爱，
增强信任感。

并且班主任应理解和关心学生，尽最大可能地帮助学生解决问题。

这样，
学生会非常感激班主任，会越来越尊重教师，这拉近了师生之前的情感。

为
此，尊重学生、帮助学生解决难题有利于和谐师生关系的创建。

可
以说，初中班主任尊重和相信学生，可以增强学生的自尊心和自
信心，鼓励学生积极进取和奋发向上，
在生活与学习中获得更大的进步。

二、组织学生参加社会实践与实习
在大部分的时间，初中生都是在学校内，他们很少关注与了解社会。

为此，班主任需要组织学生参与社会实践与实习，让学生在社会活动中了解和体会社会，这有利于提高学生的道德素养和综合素质。

例如，
组织学生帮助环卫工人扫大街，或者是组织学生对一些楼道和墙面上的小广告进行清理，学生在参加这一系列社
会活动的过程中，
他们的思想道德素质、责任观念、劳动意识都得以提高，并且在劳动中明确了应当尊重他人的劳动成果，这些都是培养学生综合素质的前提和基础。

学校也需要在教学规划中纳
入社会实践活动与实习，且定期地由学校组织学生参观博物馆、扫墓等等，进而对学生实施爱国主义教育，使学生对国家和社会进行更加深入的了解。

与此同时，强化了品德教育，
提高了学生的综合素质，有利于学生的全面发展。

综上所述，在学校教育中，德育属于一项非常重要的内容，
也是学生将来发展要求加强的关键方面。

初中班主任接触学生的时
间比较长，强化学生的德育教育是班主任的一项主要工作。

班主
任应当根据学生的发展现状，
实施有效的策略，借助各种资源来提高学生的道德素质。

当然，
班主任也应当不断地提高自身的道德素质，从而更加有效地引导和启发学生，
促进学生的全面发展。

参考文献：傅廷柱.关于初中班主任德育工作的策略探讨［J ］.新课程：中学，2012（09）.
作者简介：莫华丽，女，1968年8月出生，本科，在广西壮族自治区梧州市蒙山县第二中学任教，研究方向：探讨班主任工作的方案。

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