8.八年级第二学期期中考试复习

第9 讲 期中考试复习
二次根式具有如下性质：
（1）()
()02≥=a a a ； （2）⎩⎨
⎧<-≥==时；，当时，，当002a a a a a a （3）()00≥≥⋅=b a b a ab ，；
（4）
()00>≥=b a b
a b a ，。

【例1】已知254245222+-----=x
x x x y ，则=+22y x ___________________。

练习1.若m 适合关系y x y x m y x m y x --⋅+-=-++--+19919932253，求m 的值。

【例2】多重二次根式的化简：
（1）324324-++； （2）223810++。

练习1化简：（1）=+21027______________________；
（2=______________________；
练习2.化简111119911993199419951996++++⨯。

【知识梳理】
有条件的二次根式化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点，这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式或图形等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形；有时需把待求式化简或变形；有时需把已知条件和待求式同时变形。

【例1】设55+=
x ，55-=y ，求66y x +的值。

练习1、设12121212-+=+-=
y x ，，求2
2y xy x +-的值。

【例2】已知21
=+x x ，那么1
91322++-++x x x x x x 的值等于______________。

练习1.已知 ，求
1
122+--++x x x x x x 的值。

1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
2、命题与原命题：勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

3、逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。

【例1】.已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状.
【例2】在△ABC中，∠B=120°，三边分别为a，b，c．求证：b2=a2＋c2＋ac．
练习1.若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为________．
练习2.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.
【例3】如图，等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12，
求△ABC的周长。

练习1.已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.
求：四边形ABCD的面积.
练习2.如图所示，等边三角形内部有一点O，已知OA=4，OB=3，OC=5，求∠AOB的度数。

练习3.已知：如图，DE=m,BC=n,∠EBC与∠DCB互余，求BD2+CD2.
【例4】如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)并在AD上平行移动：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2㎝？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.
B E
C
D
【例1】如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，AD=9cm，P、Q
分别A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，
_ _秒时直线QP将四边形截出一个平行四边形．
练习1.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、
DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点
时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，
CM=3xcm，DN=x2cm，
（1）当x为何值时，点P、N重合；
（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
【例2】如图1，图2，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC边上的两个动点（与点A、B、C不重合），始终保持BD=CE．
（1）当点D、E运动到如图1所示的位置时，求证：CD=AE．
（2）把图1中的△ACE绕着A点顺时针旋转60°到△ABF
的位置（如图2），分别连接DF、EF．
①找出图中所有的等边三角形（△ABC除外），并对其中一个给予证明；
②试判断四边形CDFE的形状，并说明理由．
【例3】等边三角形ABC的边长为a，P为△ABC内一点，且PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，那么，PD+PE+PF
的值为一个定值.这个定值是多少?请你说出这个定值的来历.
【例4】如下图，已知BE 、CD 分别是△ABC 的角平分线，并且AE ⊥BE 于E 点，AD ⊥DC 于D 点．求证：
（1）DE ∥BC ；（2）．
【例5】如图，已知四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，BD AC =，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，M 、N 分别交BD 、AC 于E 、F 。

求证：OEF ∆是等腰三角形。

A
D
C B
M
N O
F
E。