数学思想在函数学习中的应用探索

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60教学管理与教育研究
数学思想在函数学习中的应用探索
赵静（山东省邹平县第一中学 256200）
摘要：文章作者根据多年教学经验,对高中数学函数的教学提出了几种常见的数学思想,仅供参考。

文章在阐述数学思想重要性的基础上，从函数与方程、数形结合、转化与划归、分类讨论等角度探讨数学思想在数学函数学习中的应用，更好地帮助学生提升数学应用能力。

关键词：高中数学　函数学习　数学思维
数学思想是了解数学知识和方法的基本条件,也是对数学知识结构整体的认识。

数学思想方法是解决数学问题的常见方式。

在高中数学函数教学过程中,渗透数学思想能够引导学生形成合理的认知结构,并且能够运用相关数学思想将知识转化为解决问题的能力。

教师应当不断更新自身的教学理念，传递相关数学思想，采取有针对性的教学策略，更好地帮助学生提升数学成绩。

一、数学思想的重要性
数学思想主要指在学生学习数学的过程中，学生应该具备并能够适应终身发展和社会发展需要的思维方法，数学思维不仅只是应用于数学的解题，而且应用到学生的生活之中。

在解决生活和学习中所遇到问题的时候，从数学的角度看待问题，用数学的思维来解决问题。

例如，人们在超市购物的时候，收银台有很多人在排队等候结账，不管买东西多少都在一起等待排队等候，其实，我们可根据消费者购买的数量多少进行分类排队，这样就可以大大缩短排队等候的时间。

在进行设计这个在不同队结账标准的时候，这就需要利用数学知识进行统计和计算出一个最优区分的数量。

因此，在日常的生活和学习中，数学思想的培养有利于人们在实际的情景中发现问题和解决问题。

二、在高中数学函数中对数学思想的探索1.函数与方程思想
在高中数学函数的学习过程中，不少数学题目按照常规的解题步骤很难进行下去，让学生陷入解题的困境之中。

这时候就需要学生巧妙地运用数学方法来进行解答。

根据题目所设的条件将所求的问题转化为对某一个函数性质的讨论，从而使问题能够得到解决，这个过程称之为构造函数解题。

通过构造函数，利用函数的单调性进行解题，首先学生通过分析问题，然后对相关问题构造函数，这种方法在解方程和证明不等式中应用最为广泛，解题思路也简洁明快。

例如在求解方程：6543x x
x x =++，这个方程如果按照常规的方程解法是很难解出来的，方程的形式比较特殊，不能进行合并和分解，但是我们在解题的过程中可以根据函数与方程之间的关联性，进而来构造一个函数，对原方程进行一个巧妙地转换来帮助我们解
题。

把原方程转化为1)6/5()6/4()6/3(−++x x
x
01)6=−
x
，在构建新的函数过程中，学生就可以构建新的函数f (x )，
设f (x )=1)6/5()6/4()6/3(x
x
−++x
01)6=−
x 。

所以f (1)=1，f (2)<1，f (3)=0，那么在这个过程中就可以知道原方程有一个根为x =3，根据函数单调性的性质很容易就知道f (x )是在定义域R 的情况下属于单调递减的，所以当x<3的定义域内，f (x )>f (3)=0；当x >3时，f (x )<f (3)=0，所以原方程有且只有一个解就是x =3。

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2018年第5期在把函数变成方程的过程中，学生必须要对函数的性质很熟悉。

例如上面这个题目，学生必须知道指数函数的性质，才能够对函数的单调性做出正确判断。

在对实际问题进行分析之后，把实际问题转化为数学问题，进而转化为代数问题，最终转化为方程问题来求解。

函数与方程的关系非常密切，在我们应用方程思想的时候，列方程和解方程并且研究方程的特性，这都是很有必要的。

2.数形结合的思想
在高中数学函数的学习过程中，学生可以通过函数图像对问题进行分析，通过图像可以对函数的性质一目了然，可以直接观察到函数的单调性、周期性和对称性等性质，通过图像可以对不等式的解集一目了然。

在解决不等式的时候，会经常运用到数形结合思想，这有助于加快学生解题的速度和提高正确性。

而且，在解决几何问题的时候，用方程研究曲线的问题，这就需要充分运用数形结合的思想，把几何语言转化为几何图形，然后通过这种图形的几何特征，用代数的语言表达出来。

数形结合就是把抽象的数学语言能够通过图形更直观更明了地表现出来，以形助教、以数解形。

这样就会使得抽象思维和形象思维能够更好地结合，进而来更好地解决数学问题。

例如在求解函数y =22
−x 322
−−
x x ，x ∈(-1，2]的值域，当看到所求的函数是二次函数的时候，由于函数不是单调的，所以并不能够通过代入端点值求出值域，
此时必须通过画出函数的图像，通过观察图像来了解函数的性质，通过图像就可以很直观地看出在定义域的范围内，所对应值域的范围，此函数的最小值是在对称抽取得的，而不是在端点值取得，学生在解答此问题的时候，很容易直接用端点值得出它的值域，这也是学生容易出错的地方，所以该函数的值域为：(0，-4]。

数形结合的思想不仅可运用到函数值域方面，而且还可运用到函数的单调性、奇偶性和求解析式等方面。

学生要想熟练地掌握数形结合的思想，就需要学生要有扎实的基础知识，熟练地掌握不同函数的性质和特点，才能够在数学解题中做到游刃有余。

3.分类讨论思想
在高中数学函数的学习中，我们对于数学问题往往是根据数学的相关概念进行分类的，在分类讨论中许多问题都是由于运算的需要。

这就需要我们针对不同的情况作出解释，对该问题进行分类讨论。

同时，在很多有参数的问题中，由于参数的取值不同会对最终结果也产生不同影响，这个时候就需要对参数的取值进行分类讨论。

例如，a =1/2是直线ax +2y -3与直线x +a (a -1)y +6垂直的什么条件？在解决直线平行的问题时，学生一般会采用两直线斜率K1*K2=-1，在题目涉及到斜率问题时就要讨论斜率是否存在。

这在实际题目中很容易忽视斜率不存在的情况，一种情况是斜率不存在，而另外一种情况是直线斜率为0，也是直线垂直的一种情况，在进行题目的解答时必须进行分类讨论。

分类讨论思想几乎会运用到数学问题的方方面面，在解决数学问题的过程中，只要多种不确定就成为该问题解决的障碍，在运用分类讨论思想时，可以很好地防止在解题中出现重复或者是答案有遗漏的地方。

4.转化与划归思想
转化与划归的思想就是通过具体问题进行具体分析，由抽象到具体，由特殊到一般，将复杂问题能够简单化，在看到抽象函数和抽象数列等问题时，把自己陌生的题目转化为自己比较熟悉的问题，然后可以通过借助熟悉的具体函数或熟悉的知识来进行解答。

例2.1设等比数列｛a n ｝的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1、S n 、S n +2成等差数列，求q 。

这个题目我们可以用特殊情况来求q 的值，如：S 2，S 1，S 3成等差，求q 的值。

这样就避免了一般性的复杂运算，解得q =-2。

通过由一般到特殊，让复杂的问题变得简单，将未知问题转化为已知问题，这样在很大程度上降低了问题的难度。

参考文献
[1]许诺.关于高中数学函数解题思路多元化的方法举例探索[ J ]. 科学大众:科学教育，2016(2).
[2]隋文哲.关于高中数学函数解题思路多元化的方法举例探索[ J ].学周刊，2017(5):214-215.。