高一数学空间直线、平面的平行讲义

8.5. 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
一、知识点
1.基本事实4：平行于同一条直线的两条直线 ，即a ∥b ，b ∥c ⇒
2.等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 证明：
3.等角定理的推论：如果空间中两个角的两边分别对应平行且方向相同，那么这两个角
二、典型例题
例1.如图，空间四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是DA CD BC AB ,,,的中点. 求证：四边形EFGH 是平行四边形
变式1.如图，空间四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是DA CD BC AB ,,,的中点，且BD AC =，则四边形EFGH 是
变式2.如图，空间四边形ABCD 中，F E ,分别是BC AB ,的中点，H G ,分别是DA CD , 的三等分点.则四边形EFGH 是
例 2.如图，F E ,分别是长方体1111D C B A ABCD -的棱C C A A 11,的中点，求证：四边形EDF B 1为平行四边形
小结：线线平行的判定方法：
（1）定义法：证明两直线 且 （ ）
（2）初中方法：① 相等，两直线平行；② 相等，两直线平行；③ 相等，两直线平行；④三角形、梯形的 与底边平行；⑤线段成 等
（3）平行公理： 于同一条直线的两直线平行（a ∥b ，b ∥⇒c a ∥c ）
8.5.1 直线与平面平行（一）
一、知识点
1.直线与平面的位置关系
（1）直线在平面内-----有个公共点
（2）直线与平面相交-----有个公共点
（3）直线与平面平行----- 公共点
2.直线与平面平行的判定定理：的一条直线与的一条直线，则该直线与此平面平行
已知：
求证：
证明：
注：（1）线面平行的判定定理包含三个条件：；；；三个条件缺一不可
（2）线面平行的判定定理告诉我们，要证线面平行，只需在平面内找一条直线与已知直线平行，即线线平行⇒线面平行
（3）证明线面平行的方法：
①定义法：证明直线与平面（）
②线面平行的判定定理：的一条直线与的一条直线，则该直线与此
⇒∥α）
平面平行（，，a
典型例题
类型一、利用中位线找线线平行
例1.如图，空间四边形ABCD 中，F E ,分别是AB ，AD 的中点，求证：EF ∥平面BCD
例2.如图，正四棱锥ABCD P -中，E 为PC 的中点，求证：PA //平面BDE
例3.已知四面体ABCD 中，M G F E ,,,分别是棱BC BD CD AD ,,,的中点，求证：AM //面EFG
例4.三棱柱111C B A ABC -中，D 是棱11B A 的中点，求证：C B 1∥面D AC 1
类型二、利用平行四边形找线线平行
例5.四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，N M ,分别为AB ，PC 的中点，求证：MN ∥面PAD
例6.正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为棱BC ，11D C 的中点，
求证：EF ∥面11B BDD
例7.正方体1111D C B A ABCD -中，P 为D A 1的中点，Q 为11D B 的中点，求证：PQ ∥面B B AA 11
例8.已知公共边为AB 的两个全等的矩形ABCD 与ABEF 不在同一平面内，P 、Q 分别是对角线AE 、BD 上的点，DQ AP =，求证：PQ ∥面CBE
8.5.1 直线与平面平行（二）
一、知识点
1.直线与直线的位置关系：
（1）直线与直线相交------ 内，公共点
（2）直线与直线平行------ 内，公共点
（3）直线与直线异面------ 一个平面内，公共点
2.直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行
已知：
求证：
证明：
3.线线平行的判定方法：
（1）定义法：证明两直线且（）
（2）初中方法：①相等，两直线平行；②相等，两直线平行；③相等，两直线平行；④三角形、梯形的与底边平行；⑤线段等
（3）平行公理：平行于同一条直线的两直线（，⇒a∥c）
（4）线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平
⇒∥b）
面相交，则这条直线与交线（，，a
练习：判断下列命题是否正确？
（1）若直线a与平面α平行，则a与α内任何直线平行
（2）若直线a、b都和平面α平行，则a与b平行
（3）若直线a和平面α，β都平行，则α与β平行
（4）若平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面
二、典型精讲
例1 如图所示的一块木料中， 棱BC 平行于面''C A ．
（1）要经过面内的一点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？
（2）所画的线与平面AC 是什么位置关系？
例2. 求证：若平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面
例3.如果一条直线和两个相交的平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行
例4.ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH
例 5.已知点P 是长方体1111D C B A ABCD -的棱1BB 上一点，PA 交B A 1于点M ，PC 交1BC 于点N ，求证：MN ∥面ABCD
例6.如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面,若截面为平行四边形.
（1）求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH
（2）若4=AB ，6=CD 求四边形EFGH 周长的取值范围
变式.如图,已知D C B A ,,,四点不共面，且AB ∥平面α，CD ∥平面α，AC ∩αE =，AD ∩α=F ，BD ∩αG =，BC ∩αH =
（1）求证：EFGH 是一个平行四边形
（2）若a CD AB ==，试求四边形EFGH 的周长
例7.已知异面直线CD AB ,都平行于平面α，且CD AB ,在α两侧，若BD AC ,与α分别交于N M ,两点，求证：ND BN MC AM =。