天津学大教育信息咨询有限公司高三数学 模拟试卷复习

天津学大教育信息咨询有限公司高三数学复习：模拟试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1、答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回。

第一部分 选择题（共60分）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2
{|,}B x x n n A ==∈,则A B =（ ）
（A ）｛0｝ （B ）｛-1，,0｝ （C ）{0，1}
（D ）｛-1，,0，
1}
2. 计算：2
(1)i i +=（ ）
A ．2i
B ．-2i C.
2 D. -2
3. 已知)(x f 是奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则1()2
f -=（ ）
A. 2
B. 1
C. 1-
D. 2- 4. 已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=,则a b ⊥的充要条件是（ ）
A ．0x =
B ．5x =
C ．1x =-
D ．12
x =-
5. 若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为1
2
，则该几何体的俯视图可以是（ ）
6. 已知函数x x y cos sin +=，则下列结论正确的是（ ）xK b1 .Com A. 此函数的图象关于直线4
π
-=x 对称 B. 此函数的最大值为1
C. 此函数在区间(,)44
ππ
-
上是增函数 D. 此函数的最小正周期为π
7.某程序框图如图所示，该程序运行后， 输出的x 值为31，则a 等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8．已知函数
()
f x 对任意x R ∈，有
()()0
f x f x +-=，
且当0x >时，()()
ln 1f x x =+，则函数()
f x 的大致
图象为（ ）
9．设复数
2
1z i =+
(其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 等于( ) A ．1+2i B ．12i - C ．2i - D ．2i
10．已知条件p ：1>x ，条件q ：1
1<x ，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
11．公差不为零的等差数列第2，3，6项构成等比数列，则这三项的公比为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
12．已知||2,a b =是单位向量，且a b 与夹角为60°，则()a a b ⋅-等于（ ）
A ．1 B
．2．3 D
．4-
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

13. 已知等比数列}{n a 的公比q 为正数，且2
3952a a a ⋅=，则q = . 14. 计算
.
15. 已知双曲线2
2
1x ky -=
）
，则其渐近线方程为
.
16. 若
n
的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 . 17. 已知1234212,21334,2135456,213575678,⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯…
依此类推，第n 个等式为 .
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的只算前一题得分。

18. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩ (θ为参数)，则曲
线C 上的点到直线3x -4y +4=0的距离的最大值为
X k B 1 . c o m
19.（几何证明选讲选做题）如图，⊙O 的直径AB ＝6cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ， 若∠CPA ＝30°，PC ＝_____________
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

20.（本小题满分12分）
如图，角A 为钝角，且5
3sin =A ，点P 、Q 分别是在角A 的 两边上不同于点A 的动点.
（1）若AP =5，PQ =，求AQ 的长； （2）设)2sin(,13
12
cos ,,βααβα+==∠=∠求且AQP APQ 的值. 17.（本小题满分12分）
某连锁超市有A 、B 两家分店，对该超市某种商品一个月30天的销售量进行统计：A 分店的销售量为200件和300件的天数各有15天；B 分店的统计结果如下表：
（1）根据上面统计结果，求出B 分店销售量为200件、300件、400件的频率； （2）已知每件该商品的销售利润为1元，ξ表示超市A 、B 两分店某天销售该商品的
利润之和，若以频率作为概率，且A 、B 两分店的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望.
18.（本小题满分14分）
如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ^平面ABCD ，
90BAD ADC ∠=∠=︒
，
1
,2
AB AD CD a PD ====.
（1）若M 为PA 中点，求证：AC ∥平面MDE ； （2）求平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小．
19.（本小题满分14分）
已知数列{},{}n n a b 中，111a b ==，且当2n ≥时，10n n a na --=，1122n n n b b --=-. 记n 的阶乘(1)(2)
321n n n n --⋅⋅=！
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：数列{}2
n
n b 为等差数列； （3）若2
2n n
n n n a c b a +=
+-，求{}n c 的前n 项和.
20.（本小题满分14分）
已知椭圆1C ：22221x y
b += （0a b >>）的离心率为3
，连接椭圆的四个顶点得到
的四边形的面积为（1）求椭圆1C 的方程；
（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直
线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程； （3）设O 为坐标原点，取2C 上不同于O 的点S ，以OS 为直径作圆与2C 相交另外一点R ，
求该圆面积的最小值时点S 的坐标．
21.（本小题满分14分）
已知函数3
21()223
g x ax x x =
+-，函数()f x 是函数()g x 的导函数. （1）若1a =，求()g x 的单调减区间；
（2）若对任意1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()
()22
x x f x f x f ++<，求实数a 的取值范围；
（3）在第（2）问求出的实数a 的范围内，若存在一个与a 有关的负数M
，使得对任意
[,0]x M ∈时4f x ≤|()|恒成立，求M 的最小值及相应的a 值.
）
参考答案及评分标准
一、选择题(每小题5分，共40分)
二、填空题（每小题5分，共30分）
9.2； 10. 2
e ； 11. 2y x =±； 12. 160-； 13. )()3()2()1()12(5312n n n n n n n
+⨯⨯+⨯+⨯+=-⨯⨯⨯⨯⨯ ； 14. 3； 15. 3 3. 三、解答题（共80分）
16. 解：（1）A ∠ 是钝角，3sin 5A =，4cos 5
A ∴=- (1)
分
在APQ ∆中，由余弦定理得：2222cos PQ AP AQ AP AQ A =+-⋅ 所以28200AQ AQ +-=
(4)
分
解得2AQ = 或10-（舍去负值），所以2AQ = …………………………6分
（2）由13
5
sin ,1312cos ==αα得 (7)
分
在三角形APQ 中，A αβπ++= 又3
sin()sin()sin ,5
A A αβπ+=-==
(8)
分
4cos()cos 5
A αβ+=-=
(9)
分
sin(2)sin[()]αβααβ∴+=++sin cos()cos sin()ααβααβ=+++ (11)
分
65
5653131254135=⋅+⋅=
(12)
分
17. 解：（1）B 分店销售量为200件、300件、400件的频率分别为13，12和1
6
………3分
（2）A 分店销售量为200件、300件的频率均为
1
2
， ...............4分 ξ的可能值为400，500，600，700，且 (5)
分
P （ξ=400）=111236⨯=， P （ξ=500）=11115
223212
⨯+⨯=， P （ξ=600）=1111126223⨯
+⨯=， P （ξ=700）=111
2612
⨯=， ………9分 ξ的分布列为
(10)
分
E ξ=400⨯
16+500⨯512+600⨯13+700⨯112=16003
（元） …………………12分 18.（1）证明：连结PC ,交DE 与N ,连结MN ，
PAC ∆中，,M N 分别为两腰,PA PC 的中点 ∴//MN AC (2)
分
因为MN ⊂面MDE ,又AC ⊄面MDE ，所以//AC 平面MDE ………………4分
（2）解法一：设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ，以D 为空间坐标系的原
点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则
),(,,0),(0,2,0)P B a a C a (,,2),(,,0)PB a a a BC a a =-=- (6)
分
设平面PAD 的单位法向量为1n ，则可设1(0,1,0)n = ……………………………7分
设面PBC 的法向量2(,,1)n x y =，应有
22(,,1)(,,)0
(,,1)(,,0)0
n PB x y a a n BC x y a a ⎧⋅=⋅=⎪⎨
⋅=⋅-=⎪⎩
即：0
ax ay ax ay ⎧+-=⎪⎨
-+=⎪⎩
解得：2
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
，所以2
2(n = (12)
分
∴12121
2cos 2
1n n n n θ⋅===⨯⋅ (13)
分
所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角为60°………………………………………14分
解法二：延长CB 、DA 相交于G ，连接PG ，过点D 作DH ⊥PG ，垂足为H ，连结HC ……………………6分 ∵矩形PDCE 中PD ⊥DC ，而AD ⊥DC ，PD ∩AD =D ∴CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥PG ，又CD ∩DH =D ∴PG ⊥平面CDH ，从而PG ⊥HC ………………8分 ∴∠DHC 为平面PAD 与平面PBC
所成的锐二面角的平面角 ………………………………………………10分 在Rt =△PDG 中， 2
2DG AD a ==，PD = 可以计算DH
=
…12分
在Rt △CDH 中，2tan 2CD a
DHC DH ∠=
== (13)
分
所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角为60°………………………………………14分
19. 解：（1） 10n n a na --=, 2n ≥，11=a
∴123(1)(1)(2)n n n n a na n n a n n n a ---==-=--=⋅⋅⋅
1(1)(2)
32n n n a n =--⋅⋅=
！ (2)
分
又!111==a ，n a n ∴=！ ………………………………………………………3分
（2）由1122n n n b b --=-两边同时除以2n
得
111222n n n n b b --=-即111
222
n n n n b b ---=-…4分 ∴数列{
}2n n b 是以12为首项，公差为1
2
-的等差数列 …………………………5分
11(1)()12222
n n
b n n =+--=-，故2(1)2n
n n b =- ……………………………6分
（3）因为
12111
,22(1)(2)12n n n n n a b n a n n n n -+==--=-⋅++++ ………………8分
记n A =
3
123452
n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+ 1111111111
()()()()2334451222
n A n n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-=-+++ (10)
分
记{2}n n b -的前n 项和为n B
则01211222322n n B n -=-⋅-⋅-⋅-⋅⋅⋅-⋅ ① ∴12121222(1)22n n n B n n -=-⋅-⋅-⋅⋅⋅--⋅-⋅ ② 由
②-①
得
：
12222
n n
n B n -
=+
++⋅⋅⋅+
-⋅
122(1)2112
n
n n n n -=-⋅=-⋅-- (13)
分
∴123n n S c c c c =+++⋅⋅⋅+=11(1)222
n
n n A B n n +=-⋅-
-+……………14分
20. 解：（1
）解：由3e =223a c =，再由222
c a b =-
，解得2a = …………1分
由题意可知
1
222
a b ⋅⋅=
，即a b ⋅= …………………………………2分
解方程
组a ab ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
得a b (3)
分
所以椭圆C 1的方程是22
132
x y += (3)
分
（2）因为2MP MF =，所以动点M 到定直线1:1l x =-的距离等于它到定点2F （1，0）的距离，所以动点M 的轨迹2C 是以1l 为准线，2F 为焦点的抛物线，…6分
所以点M 的轨迹2C 的方程为24y x = (7)
分
（3）因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ，所以∠ORS = 90°，即0OR SR ⋅=
(8)
分
设S （1x ，1y ），R （2x ，2y ），SR ＝（2x -1x ，2y -1y ），OR =（2x ，2y ）
所以222221*********()
()()()016
y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=
+-= 因为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫
=-+
⎪⎝⎭
……………………………10分
所以2
2
1222256323264y y y =++≥=， 当且仅当2
222
256y y =
即2
2y ＝16， y 2＝±4时等号成立. ………………………12分
圆的直径|OS
===因为21y ≥64，所以当21y ＝64即1y =±8
时，min OS =， (13)
分
所以所求圆的面积的最小时，点S 的坐标为（16，±8） (14)
分
21. 解：（1）当1a =时，3
21()223
g x x x x =
+-，2'()42g x x x =+- …………………1分
由'()0g x <
解得22x -<<- (2)
分
∴当1a =时函数()g x
的单调减区间为(22--； (3)
分
（2）易知2
()'()42f x g x ax x ==+- X k B 1 . c o m
依题意知 1212()()
(
)22
x x f x f x f ++- 22
2121211224242()4()2222
x x x x ax x ax x a +++-++-=+-- X k B 1 . c o
m
212()04
a
x x =--< (5)
分
因为12x x ≠，所以0a >，即实数a 的取值范围是(0,)+∞ ； (6)
分
（3）解法一：易知2
2
24
()42()2f x ax x a x a
a
=+-=+--
，0a >. 显然(0)2f =-，由（2）知抛物线的对称轴2
0x a
=-
< ………………7分
①当424a --
<-即02a <<时，2
(,0)M a
∈-且()4f M =-
令2
424ax x +-=-解得x =
(8)
分
此时M 取较大的根，即2
M a -=
=
…………………9分
02a <<， ∴1
M =
>- (10)
分
②当424a
--
≥-即2a ≥时，2
M a <-且()4f M = X k B 1 . c o m
令2
424ax x +-=解得x =
(11)
分
此时M 取较小的根，即
M =
=
………………12分
2a ≥， ∴3
M =
≥-当且仅当2a =时取等号 (13)
分
由于31-<-，所以当2a =时，M 取得最小值3- ……………………14分 解法二：对任意[,0]x M ∈时，“4f x ≤|()|恒成立”等价于“4f x ≤max ()且
4f x ≥-min ()”
由（2）可知实数a 的取值范围是(0,)+∞
故2
()42f x ax x =+-的图象是开口向上，对称轴2
0x a
=-<的抛物线……7分
①当20M
a
-≤<时，()f x 在区间[,0]M 上单调递增， ∴f x =max ()(0)24f =-<，
要使M 最小，只需要
2424f x f M aM M ==+-=-min ()()………8分
若1680a ∆=-<即2a >时，无解
若1680a ∆=-≥即02a <≤时，………………9分
解得2M a =
<-（舍去） 或1M =≥- 故1M ≥-（当且仅当2a =时取等号）…………10分 ②当2M
a <-
时，()f x 在区间2[,]M a -上单调递减，在2(,0]a
-递增，(0)24,f =-< 24()24f a a
-=--≥-则2a ≥，…………………11分 要使M 最小，则2
424f M aM M =+-=()即 2460
aM M +-= ……………………………………………………………12分
解得2M a =
>-（舍去）
或3
M =
=≥-（当且仅当2a =时取等号）……13分 综上所述，当2a =时，M 的最小值为3-. …………………………………14分。