连续谱本征函数是不能归一化的-

p
x2dxC2

dx

3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化
量子力学教程(第二版)
在上例中, p 是不能归一化的. 连续谱的本征函数是不能归一化的.
当然,任何真实的波函数都不会是严格的平 面波, 而是某种形式的波包. 它只在空间某有 限区域不为零.
δx x 1 d p e ip x x / 1 d k e ik x x
2 π
2 π
3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化
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结论
在处理具体问题时,如要避免计算过程中出现的平面
波“归一化”困难, 则可以用箱归一化波函数 pn x
3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化
量子力学教程(第二版) 3.4.3 箱归一化
平面波的“归一化”问题, 还可以采用数学上传统的做法
即先让粒子局限于有限空间 L/2,L/2 中运动 (最
后才让 L ).
此时, 为了保证动量算符
pˆ x i
x
为厄米算符,就要
求波函数满足周期性边条件.
可以看出
只要 L , 动量的可能取值 p pn 就是不连续的.
3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化
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此时, 与 p n 相应的动量本征态取为
pn
x1eipnx/ L
1ei2nx/L L
利用正交归一化条件
dx x L/2
在量子态 之下, 力学量 A 的平均值由下式确定,
A,Aˆ
力学量之间的关系通过相应的算符之间的关系反 映出来. 例如两个力学量 A 与 B 可以同时具有确 定的观测值的必要条件, 在一般情况下,为 Aˆ , Bˆ 0. 反同之时测, 若定. Aˆ, Bˆ 0,则一般说来, 力学量 A 与 B 不能
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现在让 L , p n p n 1 p n h /L 0 ,
即动量的可能取值趋于连续变化.
此时, 可以把 h/Ldp , 而
pn
n
h


dp
L n
或 于是
L

dp
n
h
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注意 体系的一组力学量完全集中,力学量的个数 并不一定等于自由度的数目.一般说来,力学量完全集 中力学量的个数≥体系的自由度数目.
用一组力学量完全集的共同本征函数来展开体 系的任意波函数,在数学上涉及完备性这样一个颇 为复杂的问题.
3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化
fxδxx0dxfx0
(a)
由Fourier积分公式, 对于分段连续函数 f x
f
x0
1 d x d kf 2
xeikx x0
(b)
比较式(a)与(b), δ 函数也可表成
δxx0
1 dkeikxx0 2
在 H 不显含 t 的情况下,这种力学量完全集称为 守恒量完全集. 在量子力学中, 找寻体系的守恒量完全 集是一个极重要的问题.
3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化
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量子力学中的力学量用相应的线性厄米算符来 表达, 其含义如下:
实验上观测 A 的可能值, 必为算符 Aˆ 的某一本征值.
设给定 k 之后就能够确定体系的一个可能状态，
则称 Aˆ1, Aˆ2, 构成体系的一组力学量完全集.
3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化
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按照态叠加原理, 体系的任何一个状态 均可用 k 展
开 (这里假定 Aˆ 的本征值是离散的)
akk , k
δ 函数的定义
0,
δxx0
,
x x0
x x0
x x 0 0 δx x 0 d x δ x x 0d x 1( 0 )
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等价地表示为:
对于在 x x 0 领域连续的任何函数 f x
利用
k 的正交归一性
的归一化条件
ak k,
,ak 2 1
k
a k 2 表示在 下测量 A 得到 A
这是波函数统计诠释的一般表述.
k
值的概率.
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例如
一维谐振子, Hamilton 量本身就构成力学量完全 集(也是守恒量完全集).
对于一维粒子, 动量 pˆ x 就构成力学量完全集
与此类似, 坐标 xˆ 也可以构成力学量完全集.
对于一维自由粒子 H p2 /2m,由于能量本征态有简 并,并不构成力学量完全集.但把空间反射 P 考虑进去,
力学量完全集可以选为 H , P .
3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化
代替不能归一化的 p x .
在计算的最后结果才让 L .
三维情况
则 δ 函数可如下构成:
正交完备的归一化波函数为
p
r

1 L3/2
eipr/
δ r r δ x x δ y y δ z z

1 i2nxxlyymzz/
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经验
如力学量完全集中包含有体系的Hamilton量
H , 而 H 本征值又有下界, 则可以证明, 这一组
力学量完全集的共同本征态构成该体系的态空 间的一组完备的基矢, 即体系的任何一个态均 可用它们展开.
自然界中实际的物理体系的 H 的本征值都有
下界. 因此, 体系的任何态总可以用包含 H 在内的 一组力学量完全集的共同本征态来展开.
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由周期条件, 得 eipL/2 eipL/2 ,
即 eipL / 1, 或 s in p L / 0 ,c o sp L / 1 , 所以
pL/ 2n, n0,1,2,
或
ppn
2 nnh LL
(粒子波长 h/ pL/ n;即 n / L ).
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3.4.1 连续谱本征函数是不能归一化的
在量子力学中, 坐标和动量的取值是连续变化 的; 角动量的取值是离散的; 而能量的取值则视边条 件而定.
例如 一维粒子的动量本征值为 p 的本征函数(平面波)为
pxCeipx/
p 可以取 , 中连续变化的一切实数值.
不难看出，只要 C 0, 则
动量本征态为 px~eipx/ , 在周期条件下
pL/2pL/2
3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化
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因此, 若取动量本征态为
p
x
1 eipx/ 2
则
p ,
p
1 d x e ip p x / 2
*
L/2
pn
pm xδnm
利用这一组正交归一完备的函数 pn x ,可以构成
如下 δ 函数:
δx x 1e ip nx x / 1e i2 Байду номын сангаас n x x /L
L n
L n
3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化

上式表明, 相空间一个体积元 h 3 相当于有一个量子态.
3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化
量子力学教程(第二版) 3.4.4 力学量完全集
定义 设有一组彼此对易,且函数独立的厄米算符
Aˆ Aˆ1,Aˆ2, , 它们的共同本征函数记为 k , k 是
一组量子数的笼统记号.
δp p
这样,就用 δ 函数的形式把平面波的“归一化” 表示出来了.
同样, 不能归一化的坐标本征态也可类似处理.
x ,x δ x x δ x x d x δ x x
3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化
3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化
量子力学教程(第二版) 特别是, 在H 不显含t 的情况下,一个力学量 A
是否是守恒量,可以根据 Aˆ 与 Ηˆ 是否对易来判断. 具体详见 4.1 节!
3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化
e 3
Ln,l,m
3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化
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最后, 当 L 时
px , p y, pz 将连续变化
h3/L3dpxdpydpz
而

3
L3 h n,l,m

dpxdpydpz
δrr
h13
de 3 iprr/
如果此波包的广延比所讨论的问题中的特征长度 大得多, 而粒子在此空间区域中各点的概率密度变化 极微, 则不妨用平面波来近似描述其状态.
3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化
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3.4.2 δ 函数
为方便地处理连续谱本征函数的“归一化”, 我
们可以引用数学上的Dirac的 δ 函数.