引例分析函数零点个数的判定方法

引例分析函数零点个数的判定方法
王兆彦
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2017(000)003
【总页数】2页(P22-23)
【作者】王兆彦
【作者单位】山东省临沂第七中学
【正文语种】中文
函数的零点个数不但能充分体现出函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归的数学思想方法,而且涉及知识面广,综合性强,对学生的思维能力要求较高,因此成为高考考查的重点内容．
例已知函数f(x)=x2-1,g(x)=2tln x,其中t≤1. 如果曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有1个公共点,求t的取值范围.
函数的零点即y=0时的x值,也即函数图象与x轴交点的横坐标．本题中曲线
y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点,即函数f(x)-g(x)只有1个零点．
零点的个数问题,可转化为判断函数图象与x 轴交点个数处理．解答此类问题,首先要明确常规函数零点问题的求解,如二次函数可利用判别式法,对数函数的零点为
x=1等．另外常需借助零点的存在定理,应用中首先要明确函数的变化趋势,即函数的单调性、极值、最值等,进而可利用导数法求解．
对于复杂的函数问题,也可考虑将其分离为2个常规函数,再判断2函数的交点数．借助导数法判断函数函数的变化趋势,判断函数与x轴的交点数．
解法1 设函数h(x)=f(x)-g(x)=x2-1-2tln x,x∈(0,+∞).
“曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点”等价于“函数y=h(x)有且仅有1个零点”.求导,得.
1) 当t≤0时,由x∈(0,+∞),得h′(x)>0,所以h(x)在(0,+∞)单调递增.
又因为h(1)=0,所以y=h(x)有且仅有一个零点1,符合题意.
2) 当t=1时,当x变化时,h′(x)与h(x)的变化情况如表1所示.
所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,hmin(x)=h(1)=0,故y=h(x)有且仅有一个零点1,符合题意.
3) 当0<t<1时,令h′(x)=0,解得.当x变化时,h′(x)与h(x)的变化情况如表2所示. 所以h(x)在)上单调递减,在上单调递增,所以当时,).
因为,且h(x)在上单调递增,所以.
又因为存在,所以存在x0∈(0,1)使h(x0)=0,所以函数h(x)存在2个零点x0、1,与题意不符.
综上,曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点时,t的范围是{t|t≤0或t=1}.
在应用零点的存在定理时,须判断函数在区间端点处的正负,在区间端点处的函数值的正负不易判断或所要判断的区间为开区间时,可考虑取特殊值来代替．如本解法中选取特殊值,解答中同学们可能会产生疑问,为什么选取这个特殊值?是如何想到的?其实问题很明确,特殊值的选取以消参为主要依据,结合自然对数,便不难确定了．
解法2 易知x∈(0,+∞)．令f(x)=g(x),即x2-1=2tln x,由对数函数的性质不难得出当x=1时,等式成立,即2个函数的交点为(1,0),由题意2个函数只有一个交点．
当t=0时,符合题意．
当t≠0时,可将其转化为若t<0,在同一坐标系中作出2函数的图象,如图1所示．可知2个函数只一个交点,符合题意．若t>0时,欲满足题意知2个函数相切于点(1,0),如图2所示函数y=ln x在点(1,0)的切线为y=x-1,则直线y=x-1与函数只
有一个交点,即方程只有一个解,整理得x2-2tx+2t-1=0,Δ=4t2-4(2t-1)=0,解得
t=1.
所以满足条件的t的取值范围是
此方法应用中,若直接利用函数(x2-1)与y=ln x相切,过程较为复杂．通过借助2函数的公切线实现了对问题的简洁求解．
变式 (2016年全国卷)设函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2
(1) 若f(x)有2个零点,求a的取值范围;
(2) 略.
(1)由f(x)=0可得a(x-1)2=(2-x)ex,显然x=1时,a不存在,故x≠1.变形得
令
则f(x)有2个零点等价于直线y=-a与函数g(x)图象有2个交点.
又,当x>1时, g′(x)>0;当x<1时, g′(x)<0,所以函数g(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
又x≥2时,g(x)≥0,x<2时,g(x)<0,且g(0)=-2,故在同一坐标系中作直线y=-a及函数g(x)图象如图3所示.
由图3知:当且仅当-a<0,即a>0时,直线y=-a与函数y=g(x)图象有2个交点.
故a的取值范围为(0,+∞)．。