量纲分析的线性代数方法
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dimensional analysis is proposed ,some examples are given. Key words :dimensional analysis ;vector space ;linear algebra
( 上接 24 页)
规律 [ 2 ] ,可重新表述如下 : 当下列三个条件被满足时 : 1) 二维静电荷分布与二维稳恒电流分布 为相应分布 ,即
B dim = b1 eN1 + b2 eN2 + b3 eN3 + …+ b7 eN7
( 3)
对于力学系统 , 量纲无关量的最大个数为
r = 3 , 对应于三维矢量空间 , 该空间中规范正
交基为 ( eL , e T , e M ) . 该系统中任一物理量 B 的 量纲矢量 B dim可表示为
B dim = a1 eL + a2 e T + a3 eM
ρR ω B π 1 =
P P∝ρ R ω B
5 5
A =
T
0 0
1 , AT = 1
( - 5 , - 1 ,1 , - 1)
0
0
对于Δ p , 因 (Δ p) dim = 故
Δp π 1 = 2 ρ v
eL - 2 e T + eM
( b1 , b2 , b3 ) = ( - 1 , - 2 , 1) A T = ( 0 ,2 ,1)
26
大 学 物 理 第 20 卷
的坐 标 b1 、 b2 、 b3 , 进 而 求 得 无 量 纲 数 π =
B
b1 b2 b3 N1 N2 N3
新基为 ( e R , eω , e P , eB ) , 与前例类似 , 可求得二 基之间的转换矩阵为 :
1
A=
b b b b 1 N2 2 N3 3 … 7 dim B = N1 N7
构成该矢量空间的基 . 对于任一组基 ( e N1 , e N2 ,
e N3 ) , B dim又可表示为
B dim = b1 eN + b2 eN + b3 eN
1 2 3
( 2)
( 5)
同一物理量的量纲应是一客观的不变量 , 但其表达方法却可受所选择的量纲无关量 ( 组) 的影响 , 因此 , 不同的表达方法之间必定存在一 定的转换关系 , 而且确定的两种表达方法之间 的转换关系也应是确定的 . 这与几何空间矢量 在不同的坐标系中的表示有相似之处 . 设想将 不同的量纲看成是不同的矢量 , 称之为量纲矢 量 , 基本量纲可视为单位矢量 , 所有的量纲矢量
量纲分析是研究较复杂的自然现象中各物 理量之间的关系及内在规律性的有力工具 , 也 是相似理论的理论基础 , 不少相关教科书中都 作了较详细的介绍 ,并举例说明了分析过程 . 若 孤立地去讲量纲理论 , 学生听起来总觉得不够 直观和形象 ,而感到枯燥乏味 . 如果将量纲概念 与矢量空间的几何形象联系起来 , 对于激发学 生学习兴趣 ,提高课堂教学效果将会有所裨益 . 物理量的量纲是指该物理量单位的性质或 种类 . 任何一个物理量 B 的量纲 dim B , 均可 由基本量纲的幂次积表出 :
( eL , e T , eM ) = ( ed , ev , e ρ) A
0 0 0
- 1 - 2
1 0
0 0 1 1
0 0 0
- 1
A =
T
0
对于均匀带电球体 ,在均匀外磁场 B 中旋 转时所受到的磁力矩 P 只与其半径 R 、 角速度 ω、 电荷体密度 ρ及外磁场 B 有关 , 其中
[1 ] 西南交大水力学教研室编. 水力学 [ M ] . 北京 : 高等教育
出版社 ,1983. 152～160.
[2] 沈国光 . 量纲分析的几何联想 [ J ] . 力学与实践 , 1997 (3) :54～55. [3] 武汉大学数学系数学专业编 . 线性代数 [ M ] . 北京 : 高等
有限区域 S , 并有
| ρ( x , y) | d S ∫
S
=| k |
| j ( x , y) | d S ∫
S
= 有限值
则二维静电场场强 E 与二维静磁场磁感应强
A note on the analogy of t wo t wo - dimensional f ields
对于均匀带电薄圆盘 , 其面电荷密度为 σ, 且
σdim = - 2 eL + e T + e I
μdim = 对于 μ, 因
eL - e T + eM
故对 σ有 : ( b1 , b2 , b3 , b4 ) = ( - 2 , 1 , 0 , 1) 得 即
σR ω B π 2 =
P
4 P∝σ R ω B 4
ρ dim = - 3 eL + e T + e I
及 ed =
eL , ev = eL - e T , e ρ = - 3 eL + eM
可求得变换矩阵为 :
1
A=
1
- 1
3 1
1 3
0
- 1
0 0 1
对 ρ有 : ( b1 , b2 , b3 , b4 ) = ( - 3 , 1 , 0 , 1) 故 即
11a3011001at100110301对于p因pdimel2etemb1b2b3121at021故1pv2对于因dimeletemb1b2b3111at111故2vd同理对于l及可得3ld4d由布金汉定理1f234故pv2flddvd因为压强降落p明显地与管长l成正比令g其中g为重力加速度为单位体积液体所受的重力则有pfvddld?v22g例2求绕几何对称轴旋转的均匀带电球体带电薄圆盘带电细圆环在匀强磁场b中受到磁力矩p的表达式
,并由此确定物理量 B 与物理量
0
- 1
- 2 - 2
- 2
N1 、 N2、 N 3 的关系 .
0 0 0 1 0 - 2 - 2
0 1
- 1
例 1 经分析 , 水平等径有压管内液体流 动的压强降落Δ p 与下列因素有关 : 流速 v 、 管 径 d、 液体密度 ρ、 管长 l 、 液体粘性系数 μ 及 管壁粗糙度Δ. 不考虑液体压缩性影响 , 试用量 纲分析法求压强降落Δ p 的函数关系式 [ 1 ] . ρ为独立循环变量 , 故新基 解 选取 d 、 v、 为 ( ed , ev , e ρ) . 由
因为压强降落Δ p 明显地与管长 l 成正比 , 令 ρ = γ/ g , 其中 g 为重力加速度 ,γ 为单位体积液 体所受的重力 , 则有
Δp Δ μ γ =f d , ρ vd
l v ・ d 2g
2
即
P∝λR ω B
பைடு நூலகம்
3
从上述两例中可以看出 , 力学系统对应三 维空间 , 电磁系统对应四维空间 . 无论在哪一空 间中 , 一组确定的基与相应规范正交基之间的 转换矩阵均为常数矩阵 , 它并不因为物理现象 的不同而变化 . 进行量纲分析时 , 只要所选择的 独立循环变量相同 , 其转换矩阵就应一样 , 因此 可作为常数来处理 , 这样就避免了多次解多元 一次方程组的麻烦 . 应该说明的是 , 尽管量纲分析法在分析物
设 A = ( aij ) 为规范正交基 ( eL , e T , eM ) 与 基 ( e N1 , e N2 , e N3 ) 之间的转换矩阵 , A T 为 A 的 转置矩阵 [ 3 ] , 即
( eL , e T , eM ) = ( eN , eN , eN ) A
1 2 3
则有
( b1 , b2 , b3 ) = ( a1 , a2 , a3 ) A T
场的静电场类比计算 [J ] . 大学物理 ,1997 ,16 ( 6) : 13 ～
14. [ 2 ] Zhou Yingyan. The analogy between t he calculation of a two - dimensional electrostatic field and t hat of a two - di2 mensional magnetostatic field [ J ] . Am J Phys , 1996 , 64 (1) :69～71.
可见 ,只要找出此二基之间的转换矩阵 A , 就 能很快求出矢量 B dim 在新基 ( e N1 , eN2 , e N3 ) 上
收稿日期 :2000 - 12 - 20 ; 修回日期 :2001 - 06 - 18 ) ,男 ,湖南祁东人 ,讲师 ,主要从事普通物理教学工作 . 作者简介 : 付茂林 (1962 —
dim B = L a1 T a2 M a3 I a4 … C a7
( 1)
可构成一几何矢量空间 [ 2 ] . 任何一组量纲无关
( 独立) 量的量纲矢量都可构成该矢量空间的一
组基 , 而由基本量纲所构成的基则相当于规范 正交基 . 这样 , 任何一物 理 量 B 的 量 纲 矢 量
B dim都可表示为某一基的线性组合 :
( 4)
L、 T、 M、 I、 …、 C 分别为长度 、 时间 、 质量 、 电流 、
在力学系统中 , 除了规范正交基 ( eL , e T ,
e M ) 外 ,任何一组量纲无关量的量纲矢量均可
……、 发光强度的量纲 . dim B 也可以由任何一 组量纲无关 ( 独立 ) 量 N i 的量纲的幂次积表 出:
例2 求绕几何对称轴旋转的均匀带电球 体、 带电薄圆盘 、 带电细圆环在匀强磁场 B 中 受到磁力矩 P 的表达式 . 设磁场 B 与转轴垂 直[ 4 ] . 解 在电磁学中 , 基本量纲一般取 L 、 T、 ( M、 I ,该量纲矢量空间的规范正交基为 eL , e T , ω、 e M , e I) , 选取 R 、 P、 B 作独立循环变量 , 得
( Department of Basic Sciences ,Nanhua University ,Hengyang ,Hunan ,421001 ,China)
Abstract : The concept of dimension is connected wit h vector space ,a linear algebraic met hod for
教育出版社 ,1980.
[4] 赵凯华 . 定性与半定量物理学 [ M ] . 北京 : 高等教育出版
社 ,1993.
A linear algebra ic method f or dimensional analysis
FU Mao2lin ,ZOU Xi2yang ,L IU Shi2qing
λdim = - eL + e T + e I
π 由布金汉定理 1 =
f (π 2π 3π 4) l Δ μ , , d d ρ vd
因此有 ( b1 , b2 , b3 , b4 ) = ( - 1 , 1 , 0 , 1)
λR ω B π 3 =
P
3
A =
T
故
2 Δp =ρ v f
( - 3 , - 1 ,1 , - 1)
ρ( x , y ) = kj ( x , y ) ( k 为常数)
度 B 之间有如下对应规律 :
E ( x , y) = [ B ( x , y) ×ez ] ε 0μ 0 k
参考文献 :
[1] 周英彦 ,温传庚 ,王开明 . 一类二维时变磁场激发涡旋电
2 ) 它们被相应搬迁重叠在一起 ; 3 ) 它们的分布区在 x y 平面上的横截面为
第 11 期 付茂林等 : 量纲分析的线性代数方法
27
理运动规律 , 总结 、 整理实验数据时具有重要作 用 , 但它并不万能 . 它不能区别同一物理运动过 程中量纲相同 、 但物理意义不同的量 , 也不能判 断某一物理量与所研究的物理过程是否相关 等 . 因此 , 量纲分析必须以实验数据为前提 , 并 用实验来加以检验 . 参考文献 :
A =
T
( b1 , b2 , b3 ) = ( - 1 , - 1 , 1) A T = ( 1 ,1 ,1)
( - 4 , - 1 ,1 , - 1)
故
μ π 2 = ρ vd Δ l π ,π 3 = 4 =
d d
同理 , 对于 l 及Δ , 可得
对于均匀带电细圆环 , 其线电荷密度为 λ, 且
第 20 卷第 11 期 2001 年 11 月
大 学 物 理 COLL EGE PH YSICS
Vol. 20 No. 11 Nov. 2001
量纲分析的线性代数方法
付茂林 ,邹喜洋 ,刘世清
( 南华大学 数理部 ,湖南 衡阳 421001)
摘要 : 把量纲概念与矢量空间联系起来 ,提出用线性代数进行量纲分析的方法 ,并举例说明 . 关键词 : 量纲分析 ; 矢量空间 ; 线性代数 中图分类号 :O 4 ;O 151. 2 文献标识码 :A 文章编号 :100020712 ( 2001) 1120025203
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规律 [ 2 ] ,可重新表述如下 : 当下列三个条件被满足时 : 1) 二维静电荷分布与二维稳恒电流分布 为相应分布 ,即
B dim = b1 eN1 + b2 eN2 + b3 eN3 + …+ b7 eN7
( 3)
对于力学系统 , 量纲无关量的最大个数为
r = 3 , 对应于三维矢量空间 , 该空间中规范正
交基为 ( eL , e T , e M ) . 该系统中任一物理量 B 的 量纲矢量 B dim可表示为
B dim = a1 eL + a2 e T + a3 eM
ρR ω B π 1 =
P P∝ρ R ω B
5 5
A =
T
0 0
1 , AT = 1
( - 5 , - 1 ,1 , - 1)
0
0
对于Δ p , 因 (Δ p) dim = 故
Δp π 1 = 2 ρ v
eL - 2 e T + eM
( b1 , b2 , b3 ) = ( - 1 , - 2 , 1) A T = ( 0 ,2 ,1)
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大 学 物 理 第 20 卷
的坐 标 b1 、 b2 、 b3 , 进 而 求 得 无 量 纲 数 π =
B
b1 b2 b3 N1 N2 N3
新基为 ( e R , eω , e P , eB ) , 与前例类似 , 可求得二 基之间的转换矩阵为 :
1
A=
b b b b 1 N2 2 N3 3 … 7 dim B = N1 N7
构成该矢量空间的基 . 对于任一组基 ( e N1 , e N2 ,
e N3 ) , B dim又可表示为
B dim = b1 eN + b2 eN + b3 eN
1 2 3
( 2)
( 5)
同一物理量的量纲应是一客观的不变量 , 但其表达方法却可受所选择的量纲无关量 ( 组) 的影响 , 因此 , 不同的表达方法之间必定存在一 定的转换关系 , 而且确定的两种表达方法之间 的转换关系也应是确定的 . 这与几何空间矢量 在不同的坐标系中的表示有相似之处 . 设想将 不同的量纲看成是不同的矢量 , 称之为量纲矢 量 , 基本量纲可视为单位矢量 , 所有的量纲矢量
量纲分析是研究较复杂的自然现象中各物 理量之间的关系及内在规律性的有力工具 , 也 是相似理论的理论基础 , 不少相关教科书中都 作了较详细的介绍 ,并举例说明了分析过程 . 若 孤立地去讲量纲理论 , 学生听起来总觉得不够 直观和形象 ,而感到枯燥乏味 . 如果将量纲概念 与矢量空间的几何形象联系起来 , 对于激发学 生学习兴趣 ,提高课堂教学效果将会有所裨益 . 物理量的量纲是指该物理量单位的性质或 种类 . 任何一个物理量 B 的量纲 dim B , 均可 由基本量纲的幂次积表出 :
( eL , e T , eM ) = ( ed , ev , e ρ) A
0 0 0
- 1 - 2
1 0
0 0 1 1
0 0 0
- 1
A =
T
0
对于均匀带电球体 ,在均匀外磁场 B 中旋 转时所受到的磁力矩 P 只与其半径 R 、 角速度 ω、 电荷体密度 ρ及外磁场 B 有关 , 其中
[1 ] 西南交大水力学教研室编. 水力学 [ M ] . 北京 : 高等教育
出版社 ,1983. 152～160.
[2] 沈国光 . 量纲分析的几何联想 [ J ] . 力学与实践 , 1997 (3) :54～55. [3] 武汉大学数学系数学专业编 . 线性代数 [ M ] . 北京 : 高等
有限区域 S , 并有
| ρ( x , y) | d S ∫
S
=| k |
| j ( x , y) | d S ∫
S
= 有限值
则二维静电场场强 E 与二维静磁场磁感应强
A note on the analogy of t wo t wo - dimensional f ields
对于均匀带电薄圆盘 , 其面电荷密度为 σ, 且
σdim = - 2 eL + e T + e I
μdim = 对于 μ, 因
eL - e T + eM
故对 σ有 : ( b1 , b2 , b3 , b4 ) = ( - 2 , 1 , 0 , 1) 得 即
σR ω B π 2 =
P
4 P∝σ R ω B 4
ρ dim = - 3 eL + e T + e I
及 ed =
eL , ev = eL - e T , e ρ = - 3 eL + eM
可求得变换矩阵为 :
1
A=
1
- 1
3 1
1 3
0
- 1
0 0 1
对 ρ有 : ( b1 , b2 , b3 , b4 ) = ( - 3 , 1 , 0 , 1) 故 即
11a3011001at100110301对于p因pdimel2etemb1b2b3121at021故1pv2对于因dimeletemb1b2b3111at111故2vd同理对于l及可得3ld4d由布金汉定理1f234故pv2flddvd因为压强降落p明显地与管长l成正比令g其中g为重力加速度为单位体积液体所受的重力则有pfvddld?v22g例2求绕几何对称轴旋转的均匀带电球体带电薄圆盘带电细圆环在匀强磁场b中受到磁力矩p的表达式
,并由此确定物理量 B 与物理量
0
- 1
- 2 - 2
- 2
N1 、 N2、 N 3 的关系 .
0 0 0 1 0 - 2 - 2
0 1
- 1
例 1 经分析 , 水平等径有压管内液体流 动的压强降落Δ p 与下列因素有关 : 流速 v 、 管 径 d、 液体密度 ρ、 管长 l 、 液体粘性系数 μ 及 管壁粗糙度Δ. 不考虑液体压缩性影响 , 试用量 纲分析法求压强降落Δ p 的函数关系式 [ 1 ] . ρ为独立循环变量 , 故新基 解 选取 d 、 v、 为 ( ed , ev , e ρ) . 由
因为压强降落Δ p 明显地与管长 l 成正比 , 令 ρ = γ/ g , 其中 g 为重力加速度 ,γ 为单位体积液 体所受的重力 , 则有
Δp Δ μ γ =f d , ρ vd
l v ・ d 2g
2
即
P∝λR ω B
பைடு நூலகம்
3
从上述两例中可以看出 , 力学系统对应三 维空间 , 电磁系统对应四维空间 . 无论在哪一空 间中 , 一组确定的基与相应规范正交基之间的 转换矩阵均为常数矩阵 , 它并不因为物理现象 的不同而变化 . 进行量纲分析时 , 只要所选择的 独立循环变量相同 , 其转换矩阵就应一样 , 因此 可作为常数来处理 , 这样就避免了多次解多元 一次方程组的麻烦 . 应该说明的是 , 尽管量纲分析法在分析物
设 A = ( aij ) 为规范正交基 ( eL , e T , eM ) 与 基 ( e N1 , e N2 , e N3 ) 之间的转换矩阵 , A T 为 A 的 转置矩阵 [ 3 ] , 即
( eL , e T , eM ) = ( eN , eN , eN ) A
1 2 3
则有
( b1 , b2 , b3 ) = ( a1 , a2 , a3 ) A T
场的静电场类比计算 [J ] . 大学物理 ,1997 ,16 ( 6) : 13 ～
14. [ 2 ] Zhou Yingyan. The analogy between t he calculation of a two - dimensional electrostatic field and t hat of a two - di2 mensional magnetostatic field [ J ] . Am J Phys , 1996 , 64 (1) :69～71.
可见 ,只要找出此二基之间的转换矩阵 A , 就 能很快求出矢量 B dim 在新基 ( e N1 , eN2 , e N3 ) 上
收稿日期 :2000 - 12 - 20 ; 修回日期 :2001 - 06 - 18 ) ,男 ,湖南祁东人 ,讲师 ,主要从事普通物理教学工作 . 作者简介 : 付茂林 (1962 —
dim B = L a1 T a2 M a3 I a4 … C a7
( 1)
可构成一几何矢量空间 [ 2 ] . 任何一组量纲无关
( 独立) 量的量纲矢量都可构成该矢量空间的一
组基 , 而由基本量纲所构成的基则相当于规范 正交基 . 这样 , 任何一物 理 量 B 的 量 纲 矢 量
B dim都可表示为某一基的线性组合 :
( 4)
L、 T、 M、 I、 …、 C 分别为长度 、 时间 、 质量 、 电流 、
在力学系统中 , 除了规范正交基 ( eL , e T ,
e M ) 外 ,任何一组量纲无关量的量纲矢量均可
……、 发光强度的量纲 . dim B 也可以由任何一 组量纲无关 ( 独立 ) 量 N i 的量纲的幂次积表 出:
例2 求绕几何对称轴旋转的均匀带电球 体、 带电薄圆盘 、 带电细圆环在匀强磁场 B 中 受到磁力矩 P 的表达式 . 设磁场 B 与转轴垂 直[ 4 ] . 解 在电磁学中 , 基本量纲一般取 L 、 T、 ( M、 I ,该量纲矢量空间的规范正交基为 eL , e T , ω、 e M , e I) , 选取 R 、 P、 B 作独立循环变量 , 得
( Department of Basic Sciences ,Nanhua University ,Hengyang ,Hunan ,421001 ,China)
Abstract : The concept of dimension is connected wit h vector space ,a linear algebraic met hod for
教育出版社 ,1980.
[4] 赵凯华 . 定性与半定量物理学 [ M ] . 北京 : 高等教育出版
社 ,1993.
A linear algebra ic method f or dimensional analysis
FU Mao2lin ,ZOU Xi2yang ,L IU Shi2qing
λdim = - eL + e T + e I
π 由布金汉定理 1 =
f (π 2π 3π 4) l Δ μ , , d d ρ vd
因此有 ( b1 , b2 , b3 , b4 ) = ( - 1 , 1 , 0 , 1)
λR ω B π 3 =
P
3
A =
T
故
2 Δp =ρ v f
( - 3 , - 1 ,1 , - 1)
ρ( x , y ) = kj ( x , y ) ( k 为常数)
度 B 之间有如下对应规律 :
E ( x , y) = [ B ( x , y) ×ez ] ε 0μ 0 k
参考文献 :
[1] 周英彦 ,温传庚 ,王开明 . 一类二维时变磁场激发涡旋电
2 ) 它们被相应搬迁重叠在一起 ; 3 ) 它们的分布区在 x y 平面上的横截面为
第 11 期 付茂林等 : 量纲分析的线性代数方法
27
理运动规律 , 总结 、 整理实验数据时具有重要作 用 , 但它并不万能 . 它不能区别同一物理运动过 程中量纲相同 、 但物理意义不同的量 , 也不能判 断某一物理量与所研究的物理过程是否相关 等 . 因此 , 量纲分析必须以实验数据为前提 , 并 用实验来加以检验 . 参考文献 :
A =
T
( b1 , b2 , b3 ) = ( - 1 , - 1 , 1) A T = ( 1 ,1 ,1)
( - 4 , - 1 ,1 , - 1)
故
μ π 2 = ρ vd Δ l π ,π 3 = 4 =
d d
同理 , 对于 l 及Δ , 可得
对于均匀带电细圆环 , 其线电荷密度为 λ, 且
第 20 卷第 11 期 2001 年 11 月
大 学 物 理 COLL EGE PH YSICS
Vol. 20 No. 11 Nov. 2001
量纲分析的线性代数方法
付茂林 ,邹喜洋 ,刘世清
( 南华大学 数理部 ,湖南 衡阳 421001)
摘要 : 把量纲概念与矢量空间联系起来 ,提出用线性代数进行量纲分析的方法 ,并举例说明 . 关键词 : 量纲分析 ; 矢量空间 ; 线性代数 中图分类号 :O 4 ;O 151. 2 文献标识码 :A 文章编号 :100020712 ( 2001) 1120025203