2019～2020学年度学年度吉林省延边二中高一第1学期12月月考数学试题及参考答案解析

2019～2020学年度吉林省延边二中高一第一学期12月月考
数学试题
一、单选题
1.如图,在四面体中,若直线
和
相交,则它们的交点一定( )
A.在直线上
B.在直线上
C.在直线
上 D.都不对
【试题答案】A
【试题解答】依题意有:由于交点在上,故在平面上,同理由于交点在
上,故在平
面
上,故交点在这两个平面的交线
上.
2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于 ( )
A.82+
B.1122+
C.1422+
D.15
【试题答案】B
【试题解答】试题分析:根据三视图可知,该几何体为一个直四棱柱,底面是直角梯形,两底边长分别为1,2,高为1,直四棱柱的高为2,所以底面周长为221121142+++=+,故该几何体的表面积为12
2(42)2111222
+⨯+⨯⨯=+故选B. 1.三视图；2.几何体的表面积.
3.已知三棱锥P ABC -中,若PA ,PB ,PC 两两互相垂直,作PO ⊥面ABC ,垂足为O ,则点O
是ABC ∆的( ) A.外心 B.内心
C.重心
D.垂心
【试题答案】D
【试题解答】利用线面垂直的判定定理和性质定理可以判断出则点O 是ABC ∆垂心.
因为P A ,PB ,PC 两两互相垂直,所以由线面垂直的判定定理可知:PC ⊥平面PAB , 而AB Ì平面PAB ,因此PC AB ⊥,又因为PO ⊥面ABC , AB Ì平面ABC ,所以
PO AB ⊥,又,,PO PC P PO PC ⋂=⊂平面POC ,所以AB ⊥平面POC ,
OC ⊂平面POC ,所以AB OC ⊥,同理,AC OB BC OA ⊥⊥,故点O 是ABC ∆的垂心.
故选:D
本题考查了线面垂直的判定定理、性质定理的应用,考查了三角形垂心的判定,考查了推理论证能力.
4.已知,,l m n 表示三条不同的直线,,αβ表示两个不同的平面,下列说法中正确的是( )
A.若//,m n n α⊂,则//m α
B.若//,m n αα⊂,则//m n
C.若,,l m l αβαβ⊥=⊥I ,则m β⊥
D.若,m n αα⊥⊥,则//m n
【试题答案】D
【试题解答】利用线面平行、线面垂直的判定定理与性质依次对选项进行判断,即可得到答案。

对于A,当m α⊂时,则m 与α不平行,故A 不正确；
对于B,直线与平面平行,则直线与平面内的直线有两种关系:平行或异面,故B 不正确； 对于C,若m β⊂,则m 与β不垂直,故C 不正确；
对于D,若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行,故D 正确； 故答案选D
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系相关定理的应用,属于中档题。

5.α,β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判断平面α,β平行的是( ) A.m ,n 是平面α内两条直线,且//m β,//n β
B.α内不共线的三点到β的距离相等
C.α,β都垂直于平面γ
D.m ,n 是两条异面直线,m α⊂,n β⊂,且//m β,//n α 【试题答案】D
【试题解答】A 中,根据面面平行的判定定理可得:α∥β或者α与β相交.B 中,根据面面得位置关系可得:α∥β或者α与β相交.C 中,则根据面面得位置关系可得:α∥β或者α与β相交.D 中,在直线n 上取一点Q,过点Q 作直线m 的平行线m′,所以m′与n 是两条相交直线,m′⊂β,n ⊂β,且m′∥β,n ∥α,根据面面平行的判定定理可得α∥β,即可得到答案。

由题意,对于A 中,若m,n 是平面α内两条直线,且m ∥β,n ∥β,则根据面面平行的判定定理可得:α∥β或者α与β相交.所以A 错误.
对于B 中,若α内不共线的三点到β的距离相等,则根据面面得位置关系可得:α∥β或者α与β相交.所以B 错误.
对于C 中,若α,β都垂直于平面γ,则根据面面得位置关系可得:α∥β或者α与β相交.所以C 错误.
对于D 中,在直线n 上取一点Q,过点Q 作直线m 的平行线m′,所以m′与n 是两条相交直线,m′⊂β,n ⊂β,且m′∥β,n ∥α,根据面面平行的判定定理可得α∥β,所以D 正确. 故选:D.
本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用,其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键,着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力,属于基础题.
6.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是平行四边形,过此四棱柱任意两条棱的中点作直线,其中与平面11DBB D 平行的直线共有( )条 A.4
B.6
C.10
D.12
【试题答案】D
【试题解答】在平面11DBB D 的一侧, 1111,,,AB A B A D AD 的中点分别为:,,,E F G H ,根据面面平行的性质可知:这四个中点的连线中有6条直线都与平面11DBB D 平行,同理在另一侧也有6条,选 出答案即可.
设1111,,,AB A B A D AD 的中点分别为:,,,E F G H ,连接,,,,,EF FG GH HE EG FH , 因为平面EFGH P 平面11DBB D ,,,,,,EF FG GH HE EG FH 都是平面面EFGH 内的直线,所以这6条直线都与平面11DBB D 平行,同理在平面11DBB D 的另一侧也有6条直线与平面
11DBB D 平行,即共有12条直线与平面11DBB D 平行.
故选:D
本题考查了面面平行的性质,考查了分类讨论思想,考查了推理论证能力.
7.三个数0.65
0.65,0.6,log 5的大小顺序是( )
A.50.60.60.6log 55<<
B.50.6
0.60.65log 5<<
C.0.6
50.6log 550.6<< D.50.60.6log 50.65<<
【试题答案】D
【试题解答】试题分析:由指数函数与对数函数的图形与性质可知
0.650.651,00.61,log 50><<<,所以50.60.6log 50.65<<,故选D.
指数函数与对数函数的性质.
8.在空间四边形ABCD 中,若AD BC BD AD ⊥⊥，,则有( ) A.平面ABC ⊥平面ADC B.平面ABC ⊥平面ADB C.平面ABC ⊥平面DBC D.平面ADC ⊥平面DBC
【试题答案】D
【试题解答】由AD BC BD AD ⊥⊥，,可得AD ⊥平面DBC ,再由面面垂直的判定定理,即可证得平面ADC ⊥平面DBC ,得到答案.
由题意,知AD BC BD AD ⊥⊥，,又由BC BD B =I ,可得AD ⊥平面DBC ,
又由AD ⊂平面ADC ,根据面面垂直的判定定理,可得平面ADC ⊥平面DBC
本题主要考查了线面位置关系的判定与证明,其中解答中熟记线面垂直和面面垂直的判定定理是解答本题的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.
9.棱长分别为1
、2的长方体的8个顶点都在球O 的表面上,则球O 的体积为( )
A.
3
B.
D.
【试题答案】A
【试题解答】球的直径为长方体的体对角线,
又体对角线的长度为
故体积为
3
43
π⨯=
,选A. 10.正方体1111ABCD A B C D -中,直线AD 与平面11A BC 所成角正弦值为( ) A.
12
【试题答案】C
【试题解答】作出相关图形,设正方体边长为1,求出11B C 与平面11A BC 所成角正弦值即为答案.
如图所示,正方体1111ABCD A B C D -中,直线AD 与11B C 平行,则直线AD 与平面11A BC 所成角正弦值即为11B C 与平面11A BC 所成角正弦值.因为11A BC ∆为等边三角形,则1B 在平面11A BC 即为11A BC ∆的中心,则11B C O ∠为11B C 与平面11A BC 所成角.可设正方体边长为1,
显然=
33BO ,
因此1B O
则
111110sin B B C O B C ∠=
=
,故答案选C.
本题主要考查线面所成角的正弦值,意在考查学生的转化能力,计算能力和空间想象能力.
11.将正方形ABCD 沿对角线AC 折起,并使得平面ABC 垂直于平面ACD ,直线AB 与
CD 所成的角为( )
A.90︒
B.60︒
C.45︒
D.30°
【试题答案】B
【试题解答】将异面直线平移到同一个三角形中,可求得异面直线所成的角.
如图,取AC ,BD ,AD 的中点,分别为O ,M ,N ,
则11,22
ON CD MN AB ∥∥,所以ONM ∠或其补角即为所求的角.
因为平面ABC 垂直于平面ACD ,BO AC ⊥,所以BO ⊥平面ACD ,所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2,2OB OD ==,所以2BD =,则1
12
OM BD =
=. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN V 是等边三角形,60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒.故应选B.
本题考查异面直线所成的角.
12.如图,在空间四边形ABCD 中,两条对角线,AC BD 互相垂直,且长度分别为4和6,平行
于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ,记四边形EFGH 的面积为y,设
BE
x AB
=,则( )
(A)函数()y f x =的值域为(0,4] (B)函数()y f x =的最大值为8
(C)函数()y f x =在2
(0,)3
上单调递减
(D)函数()y f x =满足()(1)f x f x =- 【试题答案】D
【试题解答】试题分析:由题可得,////EF AC HG AC ，,所以//EF HG .同理
////EH BD GF BD ， ,所以//EH GF ,所以四边形EFGH 为平行四边形.又AC BD ⊥,所以EF EH ⊥ ,所以平行四边形EFGH 为矩形.因为//EF AC ,所以
EF BF x AC AB ==,所以4EF x =,因为//EH BD ,所以1AE EH
x AB BD
==-,所以()61-EH x = .所以矩形EFGH 的面积()()24101y x x x =-<<.函数()y f x = 图
象关于1
2
x =
对称,在10,2⎛⎤
⎥⎝⎦ 上单调递增,在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减,可求得()max 162f x f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
.所以值域是(]0,6.
1.空间直线的平行；
2.相似三角形对应成比例；
3.二次函数的性质.
二、填空题
13.已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为9π和15π,则该圆锥的体积为________ 【试题答案】12π
【试题解答】依据圆锥的底面积和侧面积公式,求出底面半径和母线长,再根据勾股定理求出圆锥的高,最后利用圆锥的体积公式求出体积。

设圆锥的底面半径为r ,母线长为l ,高为h ,所以有
2915r rl πππ
⎧=⎨
=⎩ 解得3
5r l =⎧⎨=⎩,2222534h l r ∴=-=-= 故该圆锥的体积为2
2
1
1V=34123
3
r h πππ=⨯⨯=。

本题主要考查圆锥的底面积、侧面积和体积公式的应用。

14.如图,正方形OABC 的边长为1cm ,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是________cm
【试题答案】8
【试题解答】由斜二测画法还原得到原图形为平行四边形OAB C '',其中2OB OB '=,求得各边长后即可得到原图形的周长.
由斜二测画法还原可得正方形OABC 的原图形为下图中的OAB C '' 其中222OB OB '==,1BC B C ''==
813AB OC ''∴==+= ∴原图形周长为:32128⨯+⨯=
故答案为:8
本题考查斜二测画法的基本原则,属于基础题.
15.在正方体1111ABCD A B C D -中,二面角1C AB D --的大小为__________.
【试题答案】
4
π 【试题解答】由线面垂直性质得1BC AB ⊥,又BC AB ⊥,可得二面角平面角为1C BC ∠,
由14
C BC π
∠=得到结果.
AB ⊥Q 平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B 1BC AB ∴⊥
又BC AB ⊥,BC ⊂平面ABD 1C BC ∴∠即为二面角1C AB D --的平面角
14
C BC π
∠=
Q ∴二面角1C AB D --的大小为
4
π 故答案为:4
π
本题考查立体几何中二面角的求解,关键是能够根据二面角平面角的定义找到二面角的平面角.
16.已知ABC ∆的三边长分别为5AB =,4BC =,3AC =,M 是AB 边上的点,P 是平面ABC 外一点.给出下列四个命题:①若PA ⊥平面ABC ,则三棱锥P ABC -的四个面都是直角三角形；②若PM ⊥平面ABC ,且M 是边AB 的中点,则有PA PB PC ==；③若5PC =,PC ⊥平面ABC ,则PCM ∆面积的最小值为
15
2
；④若5PC =,P 在平面ABC 上的射影是ABC ∆内切圆的圆心,则点P 到平面ABC 23其中正确命题的序号是________.(把你认为正确命题的序号都填上) 【试题答案】①②④
【试题解答】①:利用勾股定理及逆定理和线面垂直的判定定理和性质定理可以判断本命题的真假；
②:根据直角三角形斜边的性质和勾股定理可以判断出本命题的真假； ③:利用面积公式和勾股定理可以判断出本命题的真假；
④:利用直角三角形内切圆的性质以及勾股定理可以判断出本命题的真假；
因为5AB =,4BC =,3AC =,所以222AB AC CB =+,即.BC AC ⊥
①:由上可知: ABC ∆是直角三角形.PA ⊥平面ABC ,而,,AC AB BC ⊂平面ABC ,因此
,,PA AC AP AB PA BC ⊥⊥⊥,所以,PAB PAC ∆∆是直角三角形.因为
,,,BC AC BC PA AC PA A AC PA ⊥⊥⋂=⊂，平面PAC ,所以CB ⊥平面PAC ,而 PC ⊂平面PAC ,所以CB PC ⊥,因此PBC ∆是直角三角形,故本命题是真命题；
②:因为ABC ∆是以AB 为斜边的直角三角形, M 是边AB 的中点,所以
AM MB MC ==,
又PM ⊥平面ABC , ,AB MC ⊂平面ABC ,所以,PM MC PM BA ⊥⊥,由勾股定理可知:
222222222,,PA AM PM PB BM PM PC CM PM =+=+=+,而AM MB MC ==,
所以PA PB PC ==,故本命题是真命题； ③:11
522
PCM S PC CM CM ∆=
⋅=⨯⨯,当CM 最小时,PCM ∆面积有最小值,所以当 CM AB ⊥时,此时1112
225
CM AB CA CB CM ⋅⋅=⋅⋅⇒=,所以PCM ∆面积最小值为
6,故本命题是假命题；
④:由内切圆关径公式可知:内切圆的半径345
12
r +-=
=,故2OM =,设P 在平面ABC 上的射影是ABC ∆内切圆的圆心为O,因此有CO PO ⊥,
所以22225223PO PC OC =-=-=,所以点P 到平面ABC 的距离为23.故本命题是真命题； 故答案为:①②④
本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理,考查了直角三角形的性质,考查了推理论证能力.
三、解答题
17.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,点M 为PC 中点,且
090PAB PDC ∠=∠=.
(1)证明://PA 平面BDM ； (2)证明:平面PAB ⊥平面PAD .
【试题答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【试题解答】(1) 连接AC 交BD 于点O ,连接OM ,可证//OM PA ,从而可证//PA 平面BDM .
(2) 可证AB ⊥平面PAD ,从而得到平面PAB ⊥平面PAD .
(1) 连接AC 交BD 于点O ,连接OM ,
因为底面ABCD 为平行四边形,所以O 为AC 中点. 在PAC ∆中,又M 为PC 中点,所以//OM PA . 又PA ⊄平面BDM ,OM ⊂平面BDM , 所以//PA 平面BDM .
(2) 因为底面ABCD 为平行四边形,所以//AB CD . 又090PDC ∠=即CD PD ⊥,所以AB PD ⊥. 又090PAB ∠=即AB PA ⊥.
又PA ⊂平面PAD ,PD ⊂平面PAD ,PA PD P =I , 所以AB ⊥平面PAD .
又AB Ì平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PAD .
线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线,找线的方法是平行投
影或中心投影,我们也可以通过面面平行证线面平行,这个方法的关键是构造过已知直线的平面,证明该平面与已知平面平行.线面垂直的判定可由线线垂直得到,注意线线是相交的,也可由面面垂直得到,注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到,也可以通过证明二面角是直二面角. 18.如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为正方形,PA ⊥平面
ABCD ,PA AB =,M 是PC 上一点.
(1)若BM PC ⊥,求证:PC ⊥平面MBD ；
(2)若M 为PC 的中点,且2AB =,求三棱锥M BCD -的体积. 【试题答案】(1)证明见解析；(2)
23
. 【试题解答】试题分析:(1)易证得PC BD ⊥和PC BM ⊥,从而得证； (2)由111
223
M BCD P BCD BCD V V S PA --∆==⨯⋅即可得解. 试题解析:
(1)证明:连接AC ,由PA ⊥平面ABCD ,BD Ø平面ABCD 得BD PA ⊥, 又BD AC ⊥,PA AC A ⋂=, ∴BD ⊥平面PAC ,得PC BD ⊥, 又PC BM ⊥,BD BC B ⋂=, ∴PC ⊥平面MBD .
(2)解:由M 为PC 的中点得
111223M BCD P BCD BCD V V S PA --∆==⨯⋅ 1112
2222323
=⨯⨯⨯⨯⨯=.
19.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,底面ABC 为正三角形,1AA ⊥底面ABC ,13AA AB =,
点E 在线段1CC 上,平面1AEB ⊥平面11AA B B .
(1)请指出点E 的位置,并给出证明；
(2)若1AB =,求1B E 与平面ABE 夹角的正弦值. 【试题答案】(1)见解析； (2)
313
. 【试题解答】(1)取AB 中点为F ,1AB 的中点为G ,连接CF ,FG ,EG .四边形FGEC 为平行四边形,即可说明CF ⊥平面11AA B B ,即EG ⊥平面11AA B B ,即平面1AEB ⊥平面
11AA B B .
(2)利用等体积法11B ABE E ABB V V --=,即可求出点1B 到平面ABE 的距离的h ,再代入公式
1sin h
B E
α=
,即可求出答案。

(1)点E 为线段1CC 的中点.
证明如下:取AB 中点为F ,1AB 的中点为G ,连接CF ,FG ,EG .
所以//FG CE ,FG CE =,所以四边形FGEC 为平行四边形.所以//CF EG . 因为CA CB =,AF BF =,所以CF AB ⊥.
又因为1AA ⊥平面ABC ,CF ⊂平面ABC ,所以1AA CF ⊥.
又1AA AB A =I ,所以CF ⊥平面11AA B B .
所以EG ⊥平面11AA B B ,而EG ⊂平面1AEB ,所以平面1AEB ⊥平面11AA B B .
(2)由1AB =,得13AA =.
由(1)可知,点E 到平面1ABB 的距离为2
EG CF ==. 而1ABB △的面积1131322
ABB S =
⨯⨯=V
2
AE BE ==
,
等腰ABE △底边AB =记点1B 到平面ABE 的距离为h ,
由11
1311
132232
B ABE E ABB V V h --==⨯⨯=⨯⨯⨯得32h =,
即点1B 到平面ABE 的距离为
32.又1=B E AE BE ==
1B E 与平而ABE 夹角的正弦值1sin =h
B E α=
本题考查面面垂直的判断,线面角的正弦值,属于中档题。

20.已知关于x 的不等式2
222log 5log 20x x -+≤的解集为B .
(1)求集合B ；
(2)若x B ∈,求2
2()log ?log (2)8
x
f x x =的最大值与最小值.
【试题答案】(1){|4}B x x =≤≤；
(2)当2x =时,()f x 的最小值是-4；当4x =时,()f x 的最大值是-3； 【试题解答】(1)解不等式得到
221
log 2=log 42
x ≤≤,进而解得x 的范围；(2)将原式子化简得到()f x =()()22og 3og +1l x l x -,令21og ,22
t l x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣
⎦
,原式子等于
()()t 3+1y t =-,根据二次函数得到结果.
(1)关于x 的不等式2
222log 5log 20x x -+≤,等价于
()()222
221
2log 1log 20log 2=
log 2=log 42
x x x --≤⇔≤≤ 解得{|24}B x x =≤≤； (2)()()2
2log ?log 28x f x x ==()()22og 3og +1l x l x -,令21og ,22t l x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
原式子等于()()t 3+1y t =-,1,22t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,根据二次函数的性质得到当2x =时,()f x 的最小值是-4；当4x =时,()f x 的最大值是-3.
这个题目考查了对数的运算,对数的化简以及求值问题,还考查到了复合函数的问题,题型中等.
21.如图,在直角梯形ABCD 中, //AB DC ,90BAD o ∠=,4AB =,2AD =,3DC =,点E 在CD 上,且2DE =,将ADE ∆沿AE 折起,使得平面ADE ⊥平面ABCE (如图),
G 为AE 中点.
(1)求证: DG ⊥平面ABCE ;
(2)在线段BD 上是否存在点P ,使得//CP 平面ADE ?若存在,求BP
BD
的值,并加以证明;若不存在,请说明理由.
【试题答案】(1)证明见解析；(2)存在点P ,使得//CP 平面ADE ,3
4
BP BD =,证明见解析 【试题解答】(1)根据平面与平面垂直的性质定理可证;
(2) 过点C 作//CF AE 交AB 于点F ,点F 作//FP AD 交DB 于点P ,连接PC ,然后根据面面平行的判定定理证明平面//CFP 平面ADE ,再根据面面平行的性质可证
//CP 平面ADE .
(1)证明:因为G 为AE 中点,2AD DE ==, 所以DG AE ⊥
因为平面ADE ⊥平面ABCE
平面ADE I 平面ABCE AE =,DG ⊂平面ADE 所以DG ⊥平面ABCE . (3)如图:
过点C 作//CF AE 交AB 于点F ,则:1:3AF FB =
过点F 作//FP AD 交DB 于点P ,连接PC ,则:1:3DP PB = 又因为//CF AE ,AE ⊂平面ADE ,CF ⊄平面ADE , 所以//CF 平面ADE 同理,//FP 平面ADE 又因为CF PF F ⋂= 所以平面//CFP 平面ADE 因为CP ⊂平面CFP , 所以//CP 平面ADE ,
所以在BD 上存在点P ,使得//CP 平面ADE ,且3
4
BP BD =
本题考查了面面垂直的性质定理、面面平行的判定定理以及性质,属于中档题.。