高三数学二轮复习——第一讲 备考冲刺策略指导选择填空题的解题技巧

第一讲 备考冲刺策略指导 选择填空题的解题技巧
1．选择题的解题技巧
高考数学选择题是高考考查的三大题型之一，有12题之多，总分有60分．因此，研究选择题的解答技巧就显得十分必要．数学选择题有4个选项，其中仅有一个是正确的，因此，其解答方法除了正面直接推理、计算以外，也可以采用排除法，排除3个错误选项，从而获得正确选项．采用数形结合取特值、代入验证、范围估计、等价转化等特殊方法，巧妙解答选择题也是必须灵活掌握的，只有方法加技巧才能达到“快、巧、准”地解答选择题的目的．
选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，且大多数题的解答过程可用特殊方法快速解答．一般来说，能定性判断的，就不再使用定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法解的，就不必直接解答；对于明显可以否定的选项应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等．
从考试角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么“策略”“手段”都是无关紧要的，所以有人戏称处理选择题可以“不择手段”，即解答选择题时要灵活运用非常规手段、方法处理问题．总的来说，解选择题的原则是：小题巧解．
数形结合法和等效转化法这两种方法分别是以数形结合思想和转化与化归思想为指导的一种解题策略．
下面仅对直接求解法、特殊值法、排除法、估算法、推理分析法作以分析．
※ 直接求解法
直接解答型选择题可以直接从题设条件出发，利用相关概念、定理、性质、公式和法则等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得出结论，与选项对照，选择正确选项．直接解答型选择题相对来说比较简单．
【典例1】(2019年全国Ⅰ卷)已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b
的夹角为
A ．π6
B ．π3
C ．2π3
D ．5π6
【解析】设a 与b 的夹角为α，()-a b ⊥b ，()0-⋅=a b b ，2⋅=a b b ，
∴2||||cos ||α⋅=a b b ，又||2||=a b ，∴1cos 2α=
，∵(0,)απ∈，∴3
πα=． 故选B ．
【典例2】(2019年全国Ⅱ卷)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选
手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A ．中位数
B ．平均数
C ．方差
D ．极差
【解析】记9个原始评分分别为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，i (按从小到大的顺序排
列)，易知e 为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A ．
【典例3】(2019年全国Ⅲ卷)已知曲线e ln x
y a x x =+在点(1,)ae 处的切线方程为 2y x b =+，则
A ．a e =，1b =-
B ．a e =，1b =
C ．1a e -=，1b =
D ．1
a e -=，1
b =-
【解析】因为ln 1x y ae x '=++，所以1|1x y ae ='=+，所以曲线在点(1,)ae 处的切线方程为(1)(1)y ae ae x -=+-，即(1)1y ae x =+-，所以121ae b +=⎧⎨=-⎩，解得11
a e
b -⎧=⎨=-⎩．
【典例4】若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且48S =，84S =，则16S =
A ．‒40
B ．52-
C ．52
D ．40 【解析】解法一设数列{}n a 的公差为d ，则由48S =，84S =得114348287842
a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩， 解得13425
8d a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以161161525161531616()402824S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A ． 解法二 因为数列{}n a 是等差数列，所以数列{
}n S n 是等差数列，设数列{}n S n
的公差为1d ，则84134842S S d =-=-， 即138d =-，又1681S 581682
S d =+=-， 所以16516402S =-⨯=-，故选A ．
【典例5】(2018年全国Ⅱ) 若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数，则a 的最大值是
A ．π4
B ．π2
C ．3π4
D ．π
【解析】()cos sin )4
=-=+πf x x x x ，且函数cos =y x 在区间[0,]π上单调递减，则由04ππ+≤≤x ，得344
ππ-≤≤x ． 因为()f x 在[,]-a a 上是减函数，所以434
ππ
⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≤a a ，解得4π≤a ， 【典例6】(2017全国Ⅱ)若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则
21()(1)x f x x ax e -=+-的极小值为
A ．1-
B ．32e --
C ．35e -
D ．1
【解析】∵21()[(2)1]x f x x a x a e
-'=+++-，∵(2)0f '-=，∴1a =-， 所以21()(1)x f x x x e -=--，21()(2)x f x x x e -'=+-，
令()0f x '=，解得2x =-或1x =，所以当(,2)x ∈-∞-，()0f x '>，()f x 单调递增；当(2,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 的极小值为11(1)(111)1f e -=--=-，选A ．
【典例7】(2016全国Ⅰ)平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，
α∥平面11CB D ，αI 平面ABCD =m ，αI 平面11ABB A =n ，则m ，n 所成角的正弦值为
A
．2 B
．2 C
．3 D ．13
【解析】因为过点A 的平面α与平面11CB D 平行，平面ABCD ∥平面1111A B C D ，所以m ∥
11B D ∥BD ，又1A B ∥平面11CB D ，所以n ∥1A B ，则BD 与1A B 所成的角为所求角，所以m ，n
A ．
【典例8】设(0,)2πα∈，(0,)2
πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A ．32παβ-=
B ．22παβ-=
C ．32παβ+=
D ．22παβ+= 【解析】由条件得sin 1sin cos cos αβαβ
+=，即sin cos cos (1sin )αβαβ=+， 得sin()cos sin(
)2παβαα-==-，又因为22ππαβ-<-<，022ππα<-<， 所以2π
αβα-=-，所以22παβ-=
．故选B ． 【典例9】已知F 为双曲线C ：223x my m -=的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距
离为
A B C ．3 D ．3m
【解析】由已知得双曲线方程为C ：22
133
x y m -=，则233c m =+，c =
F ，C 的一条渐近线方程为
y x x ==，即0x =，
所以，焦点F 到此渐近线的距离为d ==A ． 【归纳总结】直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．
※ 特殊值法
该类题目可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊向量等对选项进行验证，从而否定并排除不符合题目要求的选项，间接地得到符合题目要求的选项．
【典例1】(2019年全国Ⅱ卷)若a b >，则
A ．ln()0a b ->
B ．33a b <
C ．330a b ->
D ．||||a b >
【解析】当0.3a =，0.4b =-时，ln()0a b -<，33a b >，||||a b <，故排除A ，B ，D ．故
选C ．
【典例2】(2018年全国Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线
()y f x =在点(0,0)处的切线方程为
A ．2y x =-
B ．y x =-
C ．2y x =
D ．y x = 【解析】因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0-+=f f ，
所以11(11)0-+--++-+=a a a a ，解得1=a ，所以3
()=+f x x x ，
所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．
【典例3】(2017山东) 若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是
A ．()21log 2a b a a b b +<<+
B ．()21log 2a b a b a b
<+<+ C ．()21log 2a b a a b b +
<+< D ．()21log 2a b a b a b +<+< 【解析】取2a =，12b =，则1224a b +=+=，21
12228
a b ==，22log ()log 42a b +==，所以()21log 2a b a b a b
<+<+， 选B ． 【典例4】(2016浙江)已知实数a ，b ，c
A ．若2||a b c +++2||a b c ++≤1，则222a b c ++<100
B ．若2||a b c +++2||a b c +-≤1，则222a b c ++<100
C ．若2||a b c +++2||a b c +-≤1，则222a b c ++<100
D ．若2||a b c +++2||a b c +-≤1，则222a b c ++<100
【解析】取a =10，b =10，c =-110，可排除选项A ；取a =10，b =-100，c =0，可排除选项B ；
取a =10，b =-10，c =0，可排除选项C ．故选D ．
【典例5】设a 、b 是实数，则“a b >”是“22
a b >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分不必要条件
【解析】可采用特殊值法进行判断，令1,1a b ==-，满足a b >，但不满足22
a b >，即条
件“a b >”不能推出结论“22a b >”；再令1,0a b =-=，满足22a b >，但不满足a b >，即结论“22a b >”不能推出条件“a b >”，故选D ． 【典例6】已知|lg |,010()16,102
x x f x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤若a ，b ，c 均不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是
A ．(1，10)
B ．(5，6)
C ．(10，12)
D ．(20，24)
【解析】解法一（特值法）
不妨设a b c <<，取特例，如取1()()()2
f a f b f c ===，则易得1210a -=，1210b =，11c =，从而11abc =．故选C ．
解法二（图象法）
不妨设a b c <<，则由()()f a f b =，1ab =，画出()f x 的图象易得1012c <<．实际上a ，b ，c 中较小的两个数互为倒数，故abc 的取值范围是(10，12)．选C ．
【典例7】定义在R 上的函数()f x 关于点(2，0)对称，且在[2，+∞）上单调递增．如果
124x x +>，且12(2)(2)0x x --<，则12()()f x f x +与0的大小关系是
A ．12()()0f x f x +>
B ．12()()0f x f x +=
C ．12()()0f x f x +<
D ．无法判断
【解析】如图所示，利用图中直线（特殊图形）对应的一次函数求解．不妨设12x x <，则
由124x x +>知，12(2)(2)0x x -+->，又由12(2)(2)0x x --<，可知122x x <<，
且21|2||2|x x ->-，由图可知12()()0f x f x +>，故选A ．
【归纳总结】特殊值法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等． 用特殊值法解题时要注意：
(1)所选取的特例一定要简单，且符合题设条件；(2)特殊只能否定一般，不能肯定一般；(3)当选取某一特例出现两个或两个以上的选项都正确，这时要根据题设要求选择另外的特例代入检验，直到找到正确选项为止．
※ 排除法
该类型题目中的条件一般多于一个，可利用排除法先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选项范围内找出矛盾，逐步排除，直到得出正确的选项． 将排除法与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用而有效的方法．
【典例1】(2019年全国Ⅰ卷)设复数z 满足|i |1z -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则
A ．22+11()x y +=
B ．221(1)x y +=-
C ．22(1)1y x +-=
D ．22(+1)1y x +=
【解析】在复平面内，点(1,1)所对应的复数1i =+z 满足|i |1-=z ，但点(1,1)不在选项A ，
D 的圆上，∴排除A ，D ；在复平面内，点(0,2)所对应的复数2i =z 满足|i |1-=z ，但点(0,2)不在选项B 的圆上，∴排除B ．故选C ．
【典例2】(2019年全国Ⅲ卷)函数3
222x x
x y -=+在[]6,6-的图象大致为 A ． B ．
C ．
D ． 【解析】因为32()22x x x f x -=+，所以3
2()()22x x
x f x f x ---==-+，且[6,6]x ∈-，所以函数3222x x x y -=+为奇函数，排除C ；当0x >时，3
2()022
x x x f x -=>+恒成立，排除D ；因为4426412812816(4)7.97122257
1616
f -⨯⨯===≈++，排除A ．故选B ． 【典例3】(2018年北京) 设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则
A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈
B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉
C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉
D ．当且仅当32
a ≤时，(2,1)A ∉ 【解析】通解 点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a -的直
线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a
的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-
， 当32a -<-，即32
a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32
a -=-， 即32
a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ． 优解 若(2,1)A ∈，则21422
a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，排除A ；所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．排除B ，C ．故选D ．
【典例4】(2017浙江)函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()
y f x =的图像可能是
x x
A ．
B ．
x x
C ．
D ．
【解析】根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数的符号相反，
因此函数()f x 在这些零点处取得极值，排除A 、B ；记导函数()f x '的零点从左到右分别为1x ，2x ，3x ，又在1(,)x -∞上()0f x '<，在12(,)x x 上()0f x '>，所以函数()f x 在1(,)x -∞上单调递减，排除C ．故选D ．
【典例5】(2016北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空
盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则
A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【解析】若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒
中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A ，D ；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C ；故选B ．
【典例6】在同一直角坐标系中，函数()a f x x =(0x >)，()log a g x x =的图象可能是
A B C D
【解析】当1a >时，函数()(0)a
f x x x =>单调递增，函数()lo
g a g x x =单调递增，且过
点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C 错；当01a <<时，函数()(0)a f x x x =>单调递增，函数()log a g x x =单调递减，且过点(1，0)，排除A ，又由幂函数的图象性质可知B 错，因此选D ． 【典例7】设函数2
12
log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是 A ．(−1，0)
(0，1) B ．(−∞，−1)(1，+∞) C ．(−1，0)(1，+∞) D ．(−∞，−1)(0，1)
【解析】取2a =验证，满足题意，排除A ，D ．取2a =-验证，不满足题意，排除B ．故
选C ．
【典例8】在△ABC 中，设a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对边的边长，且直线
cos cos 0bx y A B ++=与cos cos 0ax y B A ++=平行，则△ABC 一定是
A ．锐角三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等腰或直角三角形
【解析】若是等腰三角形，满足A B =(A ，B 与C 是否相等是无法确定的，根据题意给出的
是A ，B 的关系，因此若是等腰三角形一定可得到A =B )，这时两直线重合，不满足题意，故可排除B ，D ；由两直线平行可得cos cos 0b B a A -=，可取特殊的直角三角形
30A =，60B =，1a =，可知这个三角形满足题意，故可排除A ．选C ．
【归纳总结】排除法适用于不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选项范围内找出矛盾，这样逐步排除，直到得出正确的选项．
※ 数形结合法
该类问题一般通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论．
【典例1】(2019年全国Ⅱ卷)设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当
(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8
()9
f x -≥，则m 的取
值范围是 A ．9(,]4
-∞
B ．7(,]3-∞
C ．(2
]5,-∞
D ．(3
]8,-∞
【解析】当10x -<≤时，011x <+≤，则11
()(1)(1)22
f x f x x x =
+=+； 当12x <≤时，011x <-≤，则()2(1)2(1)(2)f x f x x x =-=--；
当23x <≤时，021x <-≤，则2
2
()2(1)2(2)2(2)(3)f x f x f x x x =-=-=--， ……由此可得
2
1
(1),102(1),01
()2(1)(2),122(2)(3),23x x x x x x f x x x x x x x ⋅⋅⋅
⎧⎪⎪+-<⎪⎪
-<=⎨⎪--<⎪--<⎪⎪⋅⋅⋅⎩
≤≤≤≤由此作出函数()f x 的图象，如图所示，
由图可知当23x <≤时，令2
8
2(2)(3)9
x x --=-，整理，得(37)(38)0x x --=，解得73x =
或8
3x =，将这两个值标注在图中．要使对任意(,]x m ∈-∞都有 8()9f x -≥，必有73m ≤，即实数m 的取值范围是7
(,]3
-∞，故选B ．
【典例2】(2018年全国Ⅱ)已知集合2
2
{(,)|3}=+∈∈Z Z ≤，，A x y x y x y ，则A 中元素
的个数为 A ．9
B ．8
C ．5
D ．4
【解析】根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，
易知在圆2
2
3+=x y 中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选
A ． 【典例3】(2017山东)已知当[0,1]x ∈时，函数2
(1)y mx =-的图象与y m =
的图象
有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 A ．(]
)
0,123,⎡+∞⎣
B ．(][)0,13,+∞
C ．(
)
23,
⎡+∞⎣
D ．(
[)3,+∞
【解析】当01m <≤时，
1
1m
≥，由图1知函数2()(1)y f x mx ==-，在[0,1]上单调递减，函数()y g x m ==
，在[0,1]上单调递增，因为(0)1f =，(0)g m =，
2(1)(1)f m =-，(1)1g m =+，所以(0)(0)f g >，(1)(1)f g <，
此时()f x 与()g x 在[0,1]x ∈有一个交点；当1m >时，1
01m
<<， 由图2知函数2
()(1)y f x mx ==-，在1[0,]m 上单调递减，在1[,1]m
上单调递增，
此时(0)(0)f g <，在1
[0,]m
无交点，要使两个函数的图象有一个交点，
需(1)(1)f g ≥，即2
(1)1m m -+≥，解得3m ≥．选B ．
图1 图2
【典例4】设,x y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪--⎩
≤≤≥，则2z x y =-的最大值为
A ．10
B ．8
C ．3
D ．2
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示由2z
x y =-得2y x z =-，作出直线2y x =，
平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点(5,2)B 时，对应的z 值最大，故
max 2528z =⨯-=，选B ．
【典例5】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，21
()(||2
f x x a =
-+ 22|2|3)x a a --．若x ∀∈R ，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为
A ．11[,]
66-
B ．[
C ．11
[,]
33
-
D ．[ 【解析】当0x ≥时，2
222
22,0(),23,2x x a f x a a x a x a x a ⎧-⎪=-<⎨⎪->⎩
≤≤≤，又()f x 为奇函数，可得()f x 的图象
如图所示，由图象可得，当22x a ≤时，2max ()f x a =，当22x a >时，令22
3x a a -=，
得2
4x a =，又x ∀∈R ，(1)()f x f x -≤，可知22
4(2)1a a -≤，得a ∈[，选B ．
【归纳总结】运用此法解题时一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象会导致错误的选择．
※ 正难则反法
正难则反型问题是指问题的正面设置使人感到无法入手，无章可循，或从问题的正面入手，头绪繁多，难以处理，常利用问题的反面来达到解决问题的目的．
【典例1】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学
参加公益活动的概率为 A ．
18 B ．58 C ．38 D ．7
8
【解析】常规解法 由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有4
2=16
种结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人，另一天三人，有1
2
42C A =8种；②每天各两人，则有2
4C =6种，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867
168
P +=
=，故选D ． 正难则反法 由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有4
2=16种结果，设“周六、周日都有同学参加公益活动”为事件A ，则事件A 的对立事件为“4位同学均在周六或均在周日去参加公益活动”，共2种情况，即21
()168
P A =
=，则17
()188
P A =-=，故选D ．
【典例2】已知2
2
()42(2)21f x x p x p p =----+，若在[1,1]-上存在x 使得()0f x >，
则p 的取值范围是
A ．31[,][1,3]22--
B ．[1,3]
C ．3[,3]2-
D ．3(3,)2
- 【解析】此题从反面分析，采取补集思想解题比较简单．若在[1,1]-上不存在x 使得
()0f x >，即当[1,1]x ∈-时，()0f x ≤恒成立，
则(1)0(1)0f f -⎧⎨⎩≤≤112
33
2
p p p p ⎧
-
⎪⎪⇒⎨⎪-⎪⎩≥或≤≥或≤，则3[,)(,3]2p ∈+∞-∞-，
其补集是3(3,)2
-．故选D ．
【归纳总结】当问题的正面设置无从入手，或是从问题的正面入手比较麻烦，则常寻找问题的反面情形．针对所寻找的问题的反面情形，利用学过的定义、公式、定理、法则等知识进行解决．把问题的反面情形解决好后，回归到原来的问题给予解决，从而得出正确选项．一般否定式与至多、至少性的问题，常首选正难则反法;有关古典概型、几何概型的概率求解问题，常利用正难则反法，先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式，得所求事件的概率．
※ 估算法
估算型问题，一般属于比较大小或者确定位置的问题，我们只要对数值进行估算，或者对位置进行估计，就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间． 【典例1】已知x 与y 之间的几组数据如下表：
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为ˆˆˆy
bx a =+． 若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y b x a ''=+，则以下结论正确的是
A ．ˆb
b '>，ˆa a '> B ．ˆb b '>，ˆa a '< C ．ˆb
b '<，ˆa a '> D ．ˆb b '<，ˆa a '< 【解析】画出过点(1，0)和(2，2)的直线1l ，画出散点图，大致画出回归直线(如图所示)，
由两条直线的相对位置关系可估计ˆb
b '<，ˆa a '>． 【典例2】设3log 7a =， 1.1
2b =， 3.1
0.8c =，则
A ．b a c <<
B ．c a b <<
C ．c b a <<
D ．a c b << 【解析】因为22log 71a >=>， 1.1
22b =>， 3.10.81c =<，所以c a b <<，故选B ．
【典例3】已知3sin 5m m θ-=
+，42cos 5m m θ-=+()2πθπ<<，则tan 2
θ
= A ．
39m m -- B ．3|9|m m -- C ．15
D ．5
【解析】由于受条件2
2sin
cos 1θθ+=的制约，m 为一确定的值，进而推知tan 2
θ
也为一
确定的值．又
2
πθπ<<，所以
4
2
2
π
θ
π
<
<
，故tan
12
θ>．故选D ．
【归纳总结】估算法就是把复杂问题转化为较简单的问题，求出答案的近似值，或把有关数值扩大或缩小，或把有关图象大致地画出，从而对运算结果（图象）确定出一个范围或作出一个估计，进而作出判断的方法． 估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．
※ 推理分析法
【典例1】(2019年浙江卷)设,a b ∈R ，数列{}n a 满足1a a =，2
1n n a a b +=+，n *
∈N ，则
A ．当1
2
b =
时，1010a > B ．当1
4
b =
时，1010a > C ．当2b =-时，1010a >
D ．当4b =-时，1010a >
【解析】当12b =
时，因为2
112n n a a +=+，所以212a ≥，
又2
112
n n n a a +=+，
故77
9212
a a ⨯⨯=≥≥21093210a a >>≥．
当14b =
时，2
11()2
n n n a a a +-=-， 故112a a ==时，101
2
a =，所以1010a >不成立．
同理2b =-和4b =-时，均存在小于10的数0x ，只需10a a x ==， 则10010a x =<，故1010a >不成立．所以选A ．
【典例2】(2019年全国Ⅱ卷)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A ．α内有无数条直线与β平行
B ．α内有两条相交直线与β平行
C ．α，β平行于同一条直线
D ．α，β垂直于同一平面
【解析】对于A ，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能
相交，所以A 不正确；对于B ，根据两平面平行的判定定理与性质知，B 正确；对于C ，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C 不正确；对于D ，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D 不正确．综上可知选B ．
【典例3】(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234a a a a +++=
123ln()a a a ++．若11a >，则
A ．13a a <，24a a <
B ．13a a >，24a a <
C ．13a a <，24a a >
D ．13a a >，24a a >
【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++
1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．
若1q -≤，则2
12341(1)(10a a a a a q q +++=++）
≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>， 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，
所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2
241(1)0a a a q q -=-<，
所以13a a >，24a a <，故选B ．
解法二 因为1x
e x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，
所以1234
12312341a a a a e
a a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，
又11a >，所以等比数列的公比0q <．
若1q -≤，则2
12341(1)(10a a a a a q q +++=++）
≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，
所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2
241(1)0a a a q q -=-<，
所以13a a >，24a a <，故选B ．
【典例4】(2017浙江)如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，
3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB =⋅，2·
I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则 O
A
B
C
D
A ．1I <2I <3I
B ．1I <3I <2I
C ．3I < 1I <2I
D ．2I <1I <3I
【解析】如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO AF <，
而90AFB ∠=，∴AOB ∠与COD ∠为钝角，AOD ∠与BOC ∠为锐角．根据题意
12()I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA -=⋅-⋅=⋅-=⋅=
||||cos 0OB CA AOB ∠<，∴12I I <，同理23I I >．
做AG BD ⊥于G ，又AB AD =．
∴OB BG GD OD <=<，而OA AF FC OC <=<，
∴||||||||OA OB OC OD ⋅<⋅，而cos cos 0AOB COD ∠=∠<， ∴OA OB OC OD ⋅>⋅，即13I I >， ∴312I I I <<，选C ．
E
B
C
【典例5】(2016全国Ⅲ)在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，
若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，13AA =，则V 的最大值是
A ．4π
B ．
92π C ．6π D ．323
π 【解析】由题意可得若V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可
求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径3
2
R =
，该球的体积为 334439()3322
R π
ππ=⨯=
，故选B ． 【典例6】下列叙述中正确的是（ ）
A ．若,,a b c R ∈，则2
"0"ax bx c ++≥的充分条件是2
"40"b ac -≤ B ．若,,a b c R ∈，则2
2
""ab cb >的充要条件是""a c >
C ．命题“对任意x R ∈，有2
0x ≥”的否定是“存在x R ∈，有2
0x ≥” D ．l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则αβ∥
【解析】由2
"40"b ac -≤推不出2"0"ax bx c ++≥，因为与a 的符号不确定，所以A 不
正确；当2
0b =时，由""a c >推不出2
2
""ab cb >，所以B 不正确；“对任意x R ∈，有2
0x ≥”的否定是“存在x R ∈，有2
0x <”，所以C 不正确．选D ．
【归纳总结】对于新定义问题以及空间线面位置关系的判断、充要条件的判断、定理性判断的问题，都需要根据相关的定义、定理、法则等进行严密的推理．如本题，在推理分析过程中，要正确利用充要条件的定义判断选项A 、B 的正误，利用空间线面位置关系的判定
定理判定选项D 的正误．
2．填空题的解题技巧
填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题．因而求解选择题的有关策略、方法有时也适用于填空题．
根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：
一是定量型，要求填写数值、数集或数量关系，如方程的解，不等式的解集，函数的定义域、值域、最大值或最小值，线段长度，角度大小等．由于填空题和选择题相比，缺少选项的信息，所以高考题多以定量型问题出现．
二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质，如给定二次曲线的焦点坐标、离心率等，近几年又出现了定性型的具有多重选择性的填空题．
在解填空题时要做到：细——审题要细，不能粗心大意；稳——变形要稳，不可操之过急；快——运算要快，力戒小题大做；全——答案要全，力避残缺不全；活——解题要活，不要生搬硬套． 合情推理、优化思路、少算多思是快速、准确地解答填空题的基本要求．
同选择题一样，这里仅对特殊值法、构造法、推理法、综合分析法作一分析．
※ 直接法
直接求解型试题的特点是必须根据题目中给出的条件，通过数学计算得出正确结论．解决此类问题需要直接从题设条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙变化，简化计算过程．解题过程中要灵活地运用相关的运算规律和技巧，合理转化、巧妙处理已知条件． 【典例1】(2019年全国Ⅱ卷)已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax
f x =-．
若(ln 2)8f =，则a =_____． 【解析】当0x >时，0x -<，()ax
f x e
--=-．因为函数()f x 为奇函数，所以当0x >时，
()()ax f x f x e -=--=，所以ln 21
(ln 2)()82
a a f e -===，所以3a =-．
【典例2】(2019年全国Ⅲ卷)设12F F ，为椭圆C ：
22
+13620
x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F ∆为等腰三角形，则M 的坐标为_____． 【解析】不妨令1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知
4c ==．因为12MF F ∆为等腰三角形，所以易知1||28F M c ==．
所以2||284F M a =-=．设(,)M x y ，则22
222113620||(4)6400
x y F M x y x y ⎧+=⎪⎪⎪=++=⎨⎪>⎪>⎪⎩，
得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩M
的坐标为． 【典例3】(2019年江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则
选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ．
【解析】记3名男同学为A ，B ，C ，2名女同学为a ，b ，则从中任选2名同学的情况
有(,)A B ，(,)A C ，(,)A a ，(,)A b ，(,)B C ，(,)B a ，(,)B b ，(,)C a ，(,)C b ，(,)a b ，共10种，其中至少有1名女同学的情况有(,)A a ，(,)A b ，(,)B a ，(,)B b ，(,)C a ，(,)C b ，(,)a b ，共7种，故所求概率为710
． 【典例4】(2018浙江)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
．若a =
2b =，60A =，则sin B =___________，c =___________．
【解析】因为a =2b =，60A =，
所以由正弦定理得2sin sin 7b A B a ⨯===． 由余弦定理222
2cos a b c bc A =+-可得2230c c --=，所以3c =．
【典例5】(2017山东) 已知1e ，2e
12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 ．
【解析】∵221212112122)()λλλ-⋅+=⋅-⋅-=e e e e e e e e ，
12||2-===e ，
12||λ+===e e ，
∴2cos601λ=
=+，解得：3
λ=．
【典例6】(2016全国Ⅱ)若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的
切线，b = ．
【解析】设y kx b =+与ln 2y x =+和ln(1)y x =+的切点分别为11(,ln 2)x x +和
22(,ln(1))x x +． 则切线分别为1111ln 2()y x x x x --=
-，2221ln(1)()1y x x x x -+=-+， 化简得111ln 1y x x x =⋅++，()22221ln 111
x y x x x x =++-++， 依题意，()122
122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =， 从而1ln 11ln 2b x =+=-．
【典例7】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R 都有()(4)f x f x =+，当
(2,0)x ∈-时，()2x f x =，则(2017)f = ．
【解析】由()f x 是定义在R 上的奇函数可知，11(1)(1)2
2f f -=--=-=-． 由()(4)f x f x =+可知，函数()f x 是周期为4的周期函数， 所以1(2017)(50441)(1)2
f f f =⨯+==-． 【典例8】椭圆Γ：22
221x y a b
+=(a >b >0)的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c
．若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足∠12MF F =2∠21MF F ，则该椭圆的离心率e = ．
【解析】直线)y x c =+过点1F ，且倾斜角为60°,所以∠12MF F =60°，
从而∠21MF F =30°，所以1MF ⊥2MF ．在Rt △12MF F 中，1||MF c =，2||3MF c =，
所以该椭圆的离心率212c e a ===． 【归纳总结】从已知条件入手，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识解决问
题，得出结论．用直接法解填空题，应对教材中的定义及其性质、定理及其推论、公式及其变形熟练掌握，还要做到:快、稳、全、细、回，其中“回”是指解答之后要回顾，即再审题，这是最基本的一个环节，可以避免审题上带来的某些明显错误．
※ 特殊值法
当已知条件中含有某些不确定的量，但结论唯一或题设条件中提供的信息暗示结果是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当的特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证结果的正确性，一般应多取几个特例．
【典例1】(2017北京)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假
命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．
【解析】取1a =-，2b =-，3c =-，满足a b c >>，但3a b c +=-=，
不满足a b c +>，故“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为1,2,3---．
【典例2】已知函数()f x 满足：1(1)4f =
，4()()()()f x f y f x y f x y =++-(x ，y ∈R)，则f (2 018)= ．
【解析】令1x =，0y =，则4(1)(0)(10)(10)2(1)f f f f f =++-= 所以1(0)2
f =． 令1x y ==，则22111(2)4(1)(0)4()424
f f f =-=⨯-
=-． 用1x +替换x ，令1y =， 则4(1)(1)(11)(11)(2)()f x f f x f x f x f x +=++++-=++
整理，得(1)(2)()f x f x f x +=++， ①
同理可得(2)(3)(1)f x f x f x +=+++． ②
由①+②得，(3)()f x f x +=-，
所以(6)((3)3)(3)()f x f x f x f x +=++=-+=，
即()f x 是以6为周期的周期函数，
于是1(2018)(33662)(2)4
f f f =⨯+==-． 【典例3】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，则
cos cos 1cos cos A C A C
+=+ ． 【解析】由题意，所求数值是一个定值，故可利用满足条件的直角三角形进行计算． 令a=3，
b=4，c=5，则△ABC 为直角三角形，且4cos 5
A =，cos 0C =， 则cos cos 1cos cos A C A C +=+404545
105
+=+⨯． 【典例4】如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，过点M 的直线与直线AB 、AC 分别交于不同的两点P 、Q ，若AP AB λ=，AQ AC μ=，则1
1
λμ+=
M Q
C
B A
【解析】由题意可知，1
1
λμ
+的值与点P 、Q 的位置无关，而当直线BC 与直线PQ 重合时，则有1λμ==，所以11
λμ+=2．
【归纳总结】用特殊值法求解仅限于结论只有一种情况的填空题，对开放性的问题或有多种结论的填空题，就不能使用这种方法．
※ 构造法
在立体几何中补形构造是最为常用的解题技巧，它能将一般几何体的有关问题通过补形构造成特殊的几何体进行求解，此种方法适用于已知几何体中的长度、角度等部分几何度量问题．
【典例1】(2017天津)在△ABC 中，60A ∠=︒，AB =3，AC =2．若2BD DC =，。