普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷(八)文

2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
文科数学（八）
本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是（ ） A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数 B ．在复平面内()i 2i -对应的点位于第三象限 C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ⋅∈R D ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解
2．在下列函数中，最小值为2的是（ ）
A ．1y x x =+
B C ．2
y =
D ．122
x x y =+ 3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示：若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生
中能报A 专业的人数为（ ）
A ．30
B ．25
C ．22
D ．20
4．若存在非零的实数a ，使得()()f x f a x =-对定义域上任意的x 恒成立，则函数()f x 可能是（ ）
A ．()2
21f x x x =-+
B ．()2
1f x x =-
C ．()2x
f x =
D ．()21f x x =+
5．已知1=a ，=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）
A ．1
B ．
C ．12
D 6．某几何体由上、下两部分组成，其三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体上部分与下部分的体积之比为（ ）
A ．13
B ．12
C ．23
D ．56
7．函数()()2sin 3f x x ϕ=+y 轴对称，则ϕ的最小值为（ ）
A B C D 8．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现
执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
9．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等差数列，则角
B 的取值范围是（ ）
A B C D 10．一个三棱锥A BCD -内接于球O ，且3AD BC ==，4AC BD ==，则球心O 到平面ABC 的距离是（ ）
A B C D 11．设等差数列{}n a 满足：71335a a =，
()22222244747456cos cos sin sin cos sin cos a a a a a a a a -+-=-+，公差()2,0d ∈-，则数
列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．100π
B ．54π
C ．77π
D ．300π
12．已知()f x 为定义在R 上的函数，其图象关于y 轴对称，当0x ≥时，有
()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，若方程()0f x kx -=（0k >）
恰有5个不同的实数解，则k 的取值范围是（ ）
A
B
C
D
第Ⅱ卷
卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知集合{}1,A a =，{}2,3B =，且{}3A
B =，则实数a 的值是__________．
14．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为3
，则此双
曲线的焦距等于__________．
15．已知2025020
x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩
，则__________． 16．已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点，l 与C 交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线，且交于点P ，则点P 的横坐标为________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知等差数列{}n a 的前()
*n n ∈N 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，13a =，11b =，
2210b S +=，5232a b a -=．
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2
{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T ．
18．高考复习经过二轮“见多识广”之后，为了研究考前“限时抢分”强化训练次数x 与答题正确率%y 的关系，对某校高三某班学生进行了关注统计，得到如表数据：
（1）求y 关于x 的线性回归方程，并预测答题正确率是100%的强化训练次数（保留整数）； （2）若用3i i y x +（1,2,3,4i =）表示统计数据的“强化均值”（保留整数），若“强化均值”
的标准差在区间[)
0,2内，则强化训练有效，请问这个班的强化训练是否有效． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
1
2
1
2
ˆn
i i i n
i
i x y nxy
b
x
x n ==--=∑∑，ˆˆa y bx =-，样本数据1
x ，2x ，…，n x
19如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是边BC 上的点，AE 与BD 相交于点H
AB =BC =，现将ABD △沿BD 折起，如图2，点A 的位置记为A '，此时
A E '=．
（1）求证：BD ⊥面A HE '； （2）求三棱锥D A EH -'的体积．
20．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点()1,0F 的距离和它到直线1x =-的距离相等，记点P 的轨迹为C ． （1）求C 得方程；
（2）设点A 在曲线C 上，x 轴上一点B （在点F 右侧）满足AF FB =．平行于AB 的直线与曲线C 相切于点D ，试判断直线AD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
21．已知曲线()y f x =在0x =处的切线l 的方程为y kx b =+，且k b ≥． （1）求m 的取值范围；
（2）当2x ≥-时，()0f x ≥，求m 的最大值．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为x t
y m t
==+⎧⎨
⎩（t 为参数，m ∈R ），以原点O 为
极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
()223
032cos ρθθ
=
≤≤π-．
（1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）已知点P 是曲线2C 上一点，若点P 到曲线1C 的最小距离为m 的值．
23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()()1
3
f x x a a =
-∈R ． （1）当2a =时，解不等式()1
13
x f x -
+≥； （2）设不等式()13x f x x -
+≤的解集为M ，若11,32M ⎡⎤
⊆⎢⎥⎣⎦
，求实数a 的取值范围．
绝密 ★ 启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
文科数学（八）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 2．D 3．D 4．A 5．D 6．C 7．B
8．C
9．B
10．D 11．C
12．C
第Ⅱ卷
卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．3
14．3
15．34
16．1-
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【答案】（1）21n a n =+，1
2
n n b -=；（2）21121
321
n n ++-
+． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， ∵13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=， ∴3310
34232q d d q d +++=⎧⎨
+-=+⎩
，·····3分
∴2d =，2q =，∴21n a n =+，12n n b -=．·····6分 （2）由（1）知，()
()32122
n n n S n n ++=
=+，·····7分
·····9分
21121321n n ++-+．·····12分
18．【答案】（1）答案见解析；（2）这个班的强化训练有效． 【解析】（1）由所给数据计算得： 2.5x =，40y =，
41
470i i i x y xy =-=∑，4
221
45i i x x =-=∑，
·····3分
ˆˆ5a
y bx =-=，·····4分 所求回归直线方程是145y x =+，·····5分
由100145x =+，得 6.79x =预测答题正确率是100%的强化训练次数为7次．·····6分
（2）经计算知，这四组数据的“强化均值”分别为5，6，8，9，平均数是7，
所以这个班的强化训练有效．·····12分 19．【答案】（1）见解析；
（2）
16
3
． 【解析】（
1）证明：∵ABCD
AB =BC = ∴AE BD ⊥，因此，图2中，BD A H ⊥'，BD EH ⊥． 又∵A H '交HE 于点H ， ∴BD ⊥面A HE '．·····6分
（2
）∵矩形ABCD 中，点E 是边BC 上的点，AE 与
BD 相交于点H
AB =BC =
∴5AE =
=，10BD ==，BEH DAH △∽△，
∴41
AH AD DH EH BE BH ===， ∴4AH A H ='=，1EH =，8DH =，
∵A E '=，∴A H
EH '⊥，
∴三棱锥D A EH -'的体积163D A HE V -'=
．·····12分 20．【答案】（1）24y x =；（2）直线AD 过定点()1,0．
【解析】（1）因为动点P 到点()1,0F 的距离和它到直线1x =-的距离相等， 所以动点P 的轨迹是以点()1,0F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线．·····2分 设C 的方程为22y px =，则12
p =，即2p =． 所以C 的轨迹方程为24y x =．·····5分
（2）设2,4m A m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22,04m B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，
所以直线AB 的斜率为22
m m k ==--． 设与AB 平行，且与抛物线C 相切的直线为2m y x b =-
+，
2880my y b +-=， 由64480m b ∆=-⋅⋅=，得2b m =-
，·····8分 所以4y m =-，所以点244,D m
m ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 当2244m m ≠，即2m ≠±时，直线AD 的方程为2224
444m m m y m x m m +
⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-， 整理得()2414
m y x m =--， 所以直线AD 过点()1,0． 当2244m m
=，即2m =±时，直线AD 的方程为1x =，过点()1,0，·····11分
综上所述，直线AD 过定点()1,0．·····12分
21．【答案】（1）[)1,+∞；（2）2e ．
【解析】（1）()()()2e 1x f x x m '=+-．·····1分
因为()01f m =-，()()021f m '=-，·····3分
所以切线l 方程为()211y m x m =-+-．·····4分
由()211m m -≥-，1m ∴≥，得m 的取值范围为[)1,+∞．·····5分
（2）令()0f x '=，得12x =-，2ln x m =-．
①若21e m ≤<，则220x -<≤．从而当()22,x x ∈-时，()0f x '<；当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>．即()f x 在()22,x -单调递减，在()2,x +∞单调递增．故()f x 在[)2,-+∞的最小值为()2f x ．而()()2221202
f x x x =-+≥，故当2x ≥-时，()0f x ≥．·····7分 ②若2e m =，()()()22e 2e e x f x x -=+-'．
当2x ≥-时，()0f x '>，即()f x 在[)2,-+∞单调递增．
故当2x ≥-时，()()20f x f ≥-=．·····9分
③若2e m >，则()()
2222e 1e e 0f m m ---=-+=--<．
从而当2x ≥-时，()0f x ≥不恒成立．故21e m ≤≤，·····11分
综上，m 的最大值为2e ．·····12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．【答案】（1）0x y m -+=，()2
21013
x y y +=≤≤（2）4m =-6m =． 【解析】（1）由曲线1C 的参数方程，消去参数t ，
可得1C 的普通方程为：0x y m -+=．
由曲线2C 的极坐标方程得22232cos 3ρρθ-=，[]0,θ∈π，
∴曲线2C 的直角坐标方程为()2
21013
x y y +=≤≤．·····5分 （2）设曲线2C 上任意一点P
为)
,sin αα，[]0,α∈π，则点P 到曲线1C
的距离为d ==
∵[]0,α∈π
，∴cos 6α⎡π⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦
，2cos 6απ⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭，
当0m <
时，4m +=-
，即4m =--
当20m ->时，24m -=，即6m =
．∴4m =--6m =．·····10分
23．【答案】（1）{|01}x x x ≤≥或；（2）14
,23⎡
⎤
-⎢⎥⎣⎦．
【解析】（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-≥． ①当1
3x ≤时，原不等式可化为3123x x -++-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ②当1
23x <<时，原不等式可化为3123x x --+≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； ③当2x ≥时，原不等式可化为3123x x --+≥，解得3
2x ≥，所以2x ≥．
综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}|01x x x ≤≥或．·····5分
（2）不等式()1
3x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤， 依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以313x x a x -+-≤，即1x a -≤，即11a x a -≤≤+， 所以1
13 112
a a ⎧
-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩．解得1423
a -≤≤，
故所求实数a 的取值范围是1
4,23⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦．·····10分。