(5年高考真题备考题库)高考数学一轮复习 第6章 第2节 一元二次不等式及其解法 文 湘教版

2009~2013年高考真题备选题库
第6章 不等式、推理与证明
第2节 一元二次不等式及其解法
考点 一元二次不等式
1．（2013重庆，5分）关于x 的不等式x2－2ax －8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a ＝( )
A.52
B.72
C.154
D. 152
解析：本题主要考查二次不等式与二次方程的关系．由条件知x1，x2为方程x2－2ax －8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a ，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－
8a2)＝36a2＝152，得a ＝52
，故选A. 答案：A
2．(2013广东，5分)不等式x2＋x －2<0的解集为________．
解析：本题考查一元二次不等式的解集，考查考生的运算能力及数形结合思
想的领悟能力．令f(x)＝x2＋x －2＝(x ＋2)·(x－1)，画出函数图象可知，
当－2<x<1时，f(x)<0，从而不等式x2＋x －2<0的解集为{x|－2<x<1}．
答案：{x|－2<x<1}
3．（2013江苏，5分）已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________．
解析：本题考查奇函数的性质及一元二次不等式的解法，意在考查学生的化归能力及运算能力．
由于f(x)为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f(0)＝0；当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2
＋4x ＝－f(x)，即f(x)＝－x2－4x ，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x2－4x ，x>0，0，x ＝0，
－x2－4x ，x<0.
由f(x)>x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x2－4x>x ，x>0或⎩⎪⎨⎪⎧ －x2－4x>x ，x<0，
解得x>5或－5<x<0，
所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．
答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
4．（2011广东，5分）不等式2x2－x －1＞0的解集是( )
A ．(－12
，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－12
)∪(1，＋∞)
解析：由原不等式得(x －1)(2x ＋1)＞0，∴x ＜－12
或x ＞1. 答案：D
5．（2011湖南，5分）已知函数f(x)＝ex －1，g(x)＝－x2＋4x －3.若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为( )
A ．[2－2，2＋2]
B ．(2－2，2＋2)
C ．[1,3]
D ．(1,3)
解析：函数f(x)的值域是(－1，＋∞)，要使得f(a)＝g(b)，必须使得－b2＋4b －3＞－1.即b2－4b ＋2＜0，解得2－2＜b ＜2＋ 2.
答案：B
6．（2012江苏，5分）已知函数f(x)＝x2＋ax ＋b(a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．
解析：因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a2＝4b ，所以x2＋ax ＋a24
－c<0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x2＋ax ＋a24
－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩
⎪⎨⎪⎧ 2m ＋6＝－a ，＋＝a24－c ，解得c ＝9. 答案：9
7．（2010江苏，5分）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋1，x≥01，x<0，则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的
x 的取值范围是________．
解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x2>02x<0或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x2>2x 2x≥0，
解得－1<x<0或0≤x<2－1，
∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)．
答案：(－1，2－1)
8． (2009·江苏，16分)设a 为实数，函数f(x)＝2x2＋(x －a)|x －a|.
(1)若f(0)≥1，求a 的取值范围；
(2)求f(x)的最小值；
(3)设函数h(x)＝f(x)，x ∈(a ，＋ ∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x )≥1的解集．
解：(1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，
所以－a>0，即a<0.
由a2≥1知a≤－1.
因此，a 的取值范围为(－∞，－1]．
(2)记f(x)的最小值为g(a)．我们有
f(x)＝2x2＋(x －a)|x －a|
＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a 3＋2a23，x>a ， ①＋－2a2，x≤a， ②
(i)当a≥0时，f(－a)＝－2a2，
由①②知f(x)≥－2a2，此时g(a)＝－2a2.
(ⅱ)当a<0时，f(a 3)＝23
a2. 若x>a ，则由①知f(x)≥23
a2； 若x≤a，则x ＋a≤2a<0，由②知f(x)≥2a2>23
a2. 此时g(a)＝23
a2. 综上得g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a2， a≥0，2a23
， a<0. (3)①当a ∈(－∞，－
62]∪[22，＋∞)时， 解集为(a ，＋∞)；
②当a ∈[－
22，22)时， 解集为[a ＋3－2a23
，＋∞)； ③当a ∈(－
62，－22)时， 解集为(a ，a －3－2a23]∪[a ＋3－2a23，＋∞)．。