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点点练7__函数与方程、函数的实际应用
一 基础小题练透篇
1．[2023·北京市清华附中高三模拟]函数f (x )＝ln x ＋x －6的零点一定位于区间( )
A ．(2，3)
B ．(3，4)
C ．(4，5)
D ．(5，6)
2．[2023·辽宁省名校联考]函数f (x )＝x 3＋x 2＋x ＋c 的零点个数为( )
A ．1
B ．1或2
C ．2或3
D ．1或2或3
3．[2023·陕西省汉中高三模拟]关于函数f (x )＝(ln x )2－2ln x ，下列说法正确的是( )
A ．函数f (x )有2个零点
B ．函数f (x )有4个零点
C ．e 是函数f (x )的一个零点
D ．2e 是函数f (x )的一个零点
4．[2023·河南省新乡市三模]已知函数f (x )＝|x 2＋3x ＋1|.若关于x 的方程f (x )－a |x |＝0恰有两个不同的实根，则a 的取值范围是( )
A ．(1，5)
B ．[1，5]
C ．(1，5)∪{0}
D ．[1，5]∪{0}
5．[2023·内蒙古自治区赤峰市试题]核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA 的数量X 与扩增次数n 满足lg X n ＝n lg (1＋p )＋lg X 0，其中X 0为DNA 的初始数量，p 为扩增效率．已知某被测标本DNA 扩增12次后，数量
变为原来的1 000倍，则扩增效率p 约为( )(参考数据：100.25≈1.778，10－0.25≈0.562)
A ．22.2%
B ．43.8%
C ．56.2%
D ．77.8%
6．[2023·湖北省黄冈中学考试]若函数f (x )＝x 2＋ax －a 2
在区间(－1，1)上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )
A ．⎝⎛⎭⎫－2，23
B ．⎝⎛⎭
⎫0，23 C ．(2，＋∞) D ．(0，2)
7．[2023·河南豫南九校联考]食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康造成了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每年共投入200万元，每个大棚至少投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P (单位：万元)、
种黄瓜的年收益Q (单位：万元)与投入金额a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14
a ＋120.设甲大棚的投入金额为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)，合理安排甲、乙两个大棚的投入金额，则两个大棚的总收益f (x )的最大值为________万元． 8.
[2023·陕西咸阳二模]为了抗击新冠肺炎，某医药公司研制出一种消毒剂，据实验表明，
该药物释放量y (mg/m 3)与时间t (h)的函数关系为y ＝⎩
⎨⎧kt ，0<t <12，1kt ，t ≥12
， 其图象如图所示，实验表明，当药物释放量y <0.75 mg/m 3时对人体无害．
(1)k ＝________；
(2)为了不使人受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过
________ 1.[2023·广东深圳第二次质检]函数f (x )＝x －4－(x ＋2)·⎝⎛⎭⎫23 的零点个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．[2023·陕西省西安市模拟]已知函数f (x )，g (x )的定义域为R ，f (x ＋1)是奇函数，g (x ＋1)是偶函数，若y ＝f (x )·g (x )的图象与x 轴有5个交点，则y ＝f (x )·g (x )的零点之和为( )
A ．－5
B ．5
C ．－10
D ．10
3．[2023·北京理工大学模拟]每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越千山万水来到美丽的昆明过
冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v ＝12 log 3x 100
－lg x 0(单位：km/min)，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x 0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．若雄鸟的飞行速度为1.3 km/min ，雌鸟的飞行速度为0.8 km/min ，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的( )
A ．2倍
B ．3倍
C ．4倍
D ．5倍
4．[2023·四川省南充市试题]设函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x －2)＋f (x )＝0.当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 3，则下列结论中正确的是( )
A ．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称
B ．函数y ＝f (x )在区间[7，9]单调递减
C ．当x ∈[－1，2 023]时，f (x )有1 012个零点
D ．函数y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称
5．[2023·广西柳州二模]若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧e x －a ，x <1，（x －2a ）（x －a 2），x ≥1 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．
6．[2023·清华大学附属中学期中]函数y ＝f (x )的定义域为[－2.1，2]，其图象如图所示，且f (－2.1)＝－0.96.
(1)若函数y ＝f (x )－k 恰有2个不同的零点，则k ＝________；
(2)已知函数g (x )＝⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，3 则y ＝g (f (x ))有________个不同的零点．
1.[2019·全国卷Ⅲ]函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0，2π]上的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
2．[2020·全国卷Ⅲ]Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )
＝K 1＋e
－0.23（t －53） ，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( )
A ．60
B ．63
C ．66
D ．69
3．[2020·山东卷]基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A ．1.2天
B ．1.8天
C ．2.5天
D ．3.5天
4．[2019·全国卷Ⅱ]2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问
题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和
万有引力定律，r 满足方程：M 1（R ＋r ）2
＋M 2r 2 ＝(R ＋r )M 1R 3 .设α＝r R .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5
（1＋α）2 ≈3α3，则r 的近似值为( ) A ．M 2M 1 R B ．M 22M 1
R C ．33M 2M 1 R D ．3M 23M 1
R 5．[2020·天津卷]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≥0，－x ，x <0.
若函数g (x )＝f (x )－|kx 2－2x |(k ∈R )恰有4个零点，则k 的取值范围是( )
A ．⎝
⎛⎭⎫－∞，－12 ∪(22 ，＋∞) B ．⎝
⎛⎭⎫－∞，－12 ∪(0，22 ) C ．(D ．(1.设函数f (x )＝⎪⎪⎪
⎪1－1x (x >0). (1)作出函数f (x )的图象；
(2)当0<a <b 且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b
的值； (3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．
2．[2023·福建省龙岩市试题]为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场．根据市场)的数据如下表
(1)根据上表数据，从①y ＝ax ＋b ()a ≠0 ，②y ＝a x
＋b ()a ≠0 ，③y ＝a log b x (a ≠0，b >0，b ≠1)，④y ＝ax ＋b x
(a >0，b >0)中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系(无需说明理由)，并利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；
(2)记你所选取的函数y ＝f (x )，若对任意x ∈[k ，＋∞）（k >0） ，不等式kf (x )－32k －210≥0恒成立，求实数k 的取值范围．。