抚宁区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

抚宁区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 复数i i
i
z (21+=是虚数单位）的虚部为（ ）
A ．1-
B ．i -
C ．i 2
D ．2
【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力．
2． 学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ）
A ．20种
B ．24种
C ．26种
D ．30种
3． 已知正方体的不在同一表面的两个顶点A （﹣1，2，﹣1），B （3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ）
A ．4
B ．2
C ．
D ．2
4． 设f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－1
2
），则不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为（ ）
A ．（0，＋∞）
B ．（－∞，－1
2
）
C ．（－12，＋∞）
D ．（－1
2，0）
5． 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 函数f （x ）=ax 2+bx 与f （x ）=log x （ab ≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．
D．
7．已知直线y=ax+1经过抛物线y2=4x的焦点，则该直线的倾斜角为（）
A．0 B．C．D．
8．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线2x+y﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（）
A．B．C．4D．
9．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E，F分别是线段AB，C1D1上的动点，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，则当点P运动时，PE的最小值是（）
A．5 B．4 C．4D．2
10．函数f（x）=x2﹣2ax，x∈[1，+∞）是增函数，则实数a的取值范围是（）
A．R B．[1，+∞）C．（﹣∞，1] D．[2，+∞）
11．已知α是三角形的一个内角，且，则这个三角形是（）
A．钝角三角形B．锐角三角形
C．不等腰的直角三角形D．等腰直角三角形
12．已知抛物线2
8y x =与双曲线22
21x y a
-=的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若5MF =，则该双曲
线的渐近线方程为
A 、530x y ±=
B 、350x y ±=
C 、450x y ±=
D 、540x y ±=
二、填空题
13．二面角α﹣l ﹣β内一点P 到平面α，β和棱l 的距离之比为1：：2，则这个二面角的平面角是
度．
14．已知||=1，||=2，与的夹角为，那么|+||﹣|= ．
15．幂函数1
222
)33)(+-+-=m m
x m m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m ．
16．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是 ．
17．复数z=
（i 虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．
18
由表中数据算出线性回归方程为=
x+
．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年
推销金额为 万元．
三、解答题
19．已知等比数列中，。

（1）求数列的通项公式;
（2）设等差数列中，
，求数列
的前项和
.
20．已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角为120°．
（1）求及|+|；
（2）设向量+与﹣的夹角为θ，求cosθ的值．
21．已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4．
（I）求p的值；
（II）若经过点D（﹣2，﹣1），斜率为k的直线m与抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围．22．设f（x）=x2﹣ax+2．当x∈，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．
23．数列{a n}满足a1=，a n∈（﹣，），且tana n+1•cosa n=1（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列{tan2a n}是等差数列，并求数列{tan2a n}的前n项和；（Ⅱ）求正整数m，使得11sina1•sina2•…•sina m=1．
24．已知正项等差{a n}，lga1，lga2，lga4成等差数列，又b n=
（1）求证{b n}为等比数列．
（2）若{b n}前3项的和等于，求{a n}的首项a1和公差d．
抚宁区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】()12(i)
122(i)
i i z i i i +-+===--，所以虚部为-1，故选A. 2． 【答案】A
【解析】解：甲班级分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有1+6+3=10种不同的分配方案；
甲班级分配3个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3+3=6种不同的分配方案； 甲班级分配4个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3种不同的分配方案； 甲班级分配5个名额，有1种不同的分配方案． 故共有10+6+3+1=20种不同的分配方案， 故选：A ．
【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，是一个中档题，解题时容易出错，本题应用分类讨论思想．
3． 【答案】A
【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A （﹣1，2，﹣1），B （3，﹣2，3），
∴AB 是正方体的体对角线，AB=，
设正方体的棱长为x ，
则，解得x=4．
∴正方体的棱长为4，
故选：A ．
【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．
4． 【答案】
【解析】选C.f （x ）的定义域为x ∈R ，
由f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－1
2）得
f （－x ）＝（e x －e －x ）（12－x ＋1－1
2）
＝（e
x
－e －x ）（
－1
2x ＋1＋12
）
＝（e －x －e x ）（12x ＋1－1
2）＝f （x ），
∴f （x ）在R 上为偶函数，
∴不等式f （x ）＜f （1＋x ）等价于|x |＜|1＋x |，
即x 2＜1＋2x ＋x 2，∴x ＞－1
2
，
即不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为{x |x ＞－1
2}，故选C.
5． 【答案】C
【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，
故外接球半径为，外接球的体积为
，
故选C ．
【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．
6． 【答案】 D
【解析】解：A 、由图得f （x ）=ax 2
+bx 的对称轴x=﹣
＞0，则
，不符合对数的底数范围，A 不正确；
B 、由图得f （x ）=ax 2+bx 的对称轴x=﹣＞0，则，不符合对数的底数范围，B 不正确；
C 、由f （x ）=ax 2+bx=0得：x=0或x=，由图得
，则
，所以f （x ）=log x 在定义域上是增
函数，C 不正确；
D 、由f （x ）=ax 2+bx=0得：x=0或x=，由图得
，则
，所以f （x ）=log
x 在定义
域上是减函数，D 正确．
【点评】本题考查二次函数的图象和对数函数的图象，考查试图能力．
7． 【答案】D
【解析】解：抛物线y 2=4x 的焦点（1，0），直线y=ax+1经过抛物线y 2
=4x 的焦点，可得0=a+1，解得a=﹣1， 直线的斜率为﹣1，
该直线的倾斜角为：．
故选：D ．
【点评】本题考查直线的倾斜角以及直线的斜率的关系，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
8． 【答案】A
【解析】解：由题意双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可得渐近线的斜率为，
又由于双曲线的渐近线方程为y=±x
故=，∴k=，
∴可得a=2，b=1，c=，由此得双曲线的离心率为，
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，由此关系求k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．
9．【答案】D
【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AE=a，D1F=b，0≤a≤4，0≤b≤4，P（x，y，4），0≤x≤4，0≤y≤4，
则F（0，b，4），E（4，a，0），=（﹣x，b﹣y，0），
∵点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，
∴当E、F分别是AB、C1D1上的中点，P为正方形A1B1C1D1时，
PE取最小值，
此时，P（2，2，4），E（4，2，0），
∴|PE|min==2．
故选：D．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．
10．【答案】C
【解析】解：由于f（x）=x2﹣2ax的对称轴是直线x=a，图象开口向上，
故函数在区间（﹣∞，a]为减函数，在区间[a，+∞）上为增函数，
又由函数f（x）=x2﹣2ax，x∈[1，+∞）是增函数，则a≤1．
故答案为：C
11．【答案】A
【解析】解：∵（sinα+cosα）2=，∴2sinαcosα=﹣，
∵α是三角形的一个内角，则sinα＞0，
∴cosα＜0，
∴α为钝角，∴这个三角形为钝角三角形．
故选A．
【点评】把和的形式转化为乘积的形式，易于判断三角函数的符号，进而判断出角的范围，最后得出三角形的形状．
12．【答案】Ａ
【解析】：依题意，不妨设点M在第一象限，且Mx0，y0，
由抛物线定义，|MF|＝x0＋p
2
，得5＝x0＋2.
∴x0＝3，则y20＝24，所以M3，26，又点M在双曲线上，
∴32
a2－24＝1，则a 2＝9
25
，a＝3
5
，
因此渐近线方程为5x±3y＝0.
二、填空题
13．【答案】75度．
【解析】解：点P可能在二面角α﹣l﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P在二面角α﹣l﹣β的内部
时，如图，A、C、B、P四点共面，∠ACB为二面角的平面角，
由题设条件，点P 到α，β和棱l 的距离之比为1：：2可求∠ACP=30°，∠BCP=45°，∴∠ACB=75°．
故答案为：75． 【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关
键．
14．【答案】 ．
【解析】解：∵||=1，||=2，与的夹角为，
∴
=
=1×
=1．
∴|+||﹣|==
=
=． 故答案为：
．
【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．【答案】 【解析】
【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：（1）若幂函数()y x
R α
α=∈是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断；（2）若幂函
数()y x R α
α=∈在()0,+∞上单调递增，则α0>，若在()0,+∞上单调递减，则0α<；（3）在比较幂值
的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 1
16．【答案】 [
] ．
【解析】解：由题设知C 41p （1﹣p ）3≤C 42p 2（1﹣p ）2
，
解得p ，
∵0≤p ≤1，
∴
，
故答案为：[]．
17．【答案】．
【解析】解：复数z==﹣i（1+i）=1﹣i，
复数z=（i虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．
18．【答案】．
【解析】解：由条件可知=（3+5+10+14）=8，=（2+3+7+12）=6，
代入回归方程，可得a=﹣，所以=x﹣，
当x=8时，y=，
估计他的年推销金额为万元．
故答案为：．
【点评】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】
解：（1）设等比数列的公比为
由已知，得，解得
（2）由（1）得
设等差数列的公差为，则，解得
20．【答案】
【解析】解：（1）=；
∴=；
∴；
（2）同理可求得；
；
∴=．
【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，根据求的方法，以及向量夹角余弦的计算公式．
21．【答案】
【解析】解：（I）由题意可知，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为，准线方程为．
所以，直线l的方程为…
由消y并整理，得…
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则x1+x2=3p，
又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，
所以，3p+p=4，所以p=1…
（II）由（I）可知，抛物线的方程为y2=2x．
由题意，直线m的方程为y=kx+（2k﹣1）．…
由方程组（1）
可得ky2﹣2y+4k﹣2=0（2）…
当k=0时，由方程（2），得y=﹣1．
把y=﹣1代入y2=2x，得．
这时．直线m与抛物线只有一个公共点．…
当k≠0时，方程（2）得判别式为△=4﹣4k（4k﹣2）．
由△＞0，即4﹣4k（4k﹣2）＞0，亦即4k2﹣2k﹣1＜0．
解得．
于是，当且k≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这时，直线m与抛物线有两个不同的公共点，…
因此，所求m的取值范围是．…
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】设f（x）=x2﹣ax+2．当x∈，则t=，
∴对称轴m=∈（0，]，且开口向下；
∴时，t取得最小值，此时x=9
∴税率t的最小值为．
【点评】此题是个指数函数的综合题，但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最值的知识．考查的知识全面而到位！
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵对任意正整数n，a n∈（﹣，），且tana n+1•cosa n=1（n∈N*）．
故tan2a n+1==1+tan2a n，
∴数列{tan2a n}是等差数列，首项tan2a1=，以1为公差．
∴=．
∴数列{tan2a n}的前n项和=+=．
（Ⅱ）解：∵cosa n＞0，∴tana n+1＞0，．
∴tana n=，，
∴sina1•sina2•…•sina m=（tana1cosa1）•（tana2•cosa2）•…•（tana m•cosa m）
=（tana2•cosa1）•（tana3cosa2）•…•（tana m•cosa m﹣1）•（tana1•cosa m）
=（tana1•cosa m）==，
由，得m=40．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
24．【答案】
【解析】（1）证明：设{a n}中首项为a1，公差为d．
∵lga1，lga2，lga4成等差数列，∴2lga2=lga1+lga4，
∴a22=a1a4．
即（a1+d）2=a1（a1+3d），∴d=0或d=a1．
当d=0时，a n=a1，b n==，∴=1，∴{b n}为等比数列；
当d=a1时，a n=na1，b n==，∴=，∴{b n}为等比数列．
综上可知{b n}为等比数列．
（2）解：当d=0时，S3==，所以a1=；
当d=a1时，S3==，故a1=3=d．
【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的综合以及分类讨论思想的应用，涉及数列的公式多，复杂多样，故应多下点功夫记忆．。