2015-2016学年高一数学人教B版必修4精练：1.2.3 同角三角函数的基本关系式 Word版含解析

第一章 1.2 1.2.3
一、选择题
1．已知α是第四象限角，cos α＝12
13，则sin α＝( )
A ．513
B ．－5
13
C ．512
D ．－512
[答案] B
[解析] ∵α是第四象限角，cos α＝12
13，
∴sin α＝－1－cos 2α＝－
1－(1213)2＝－513
.
2．下列说法中，可能成立的一个为( ) A ．sin α＝12且cos α＝1
2
B ．sin α＝0且cos α＝－1
C ．tan α＝1且cos α＝－1
D ．α为第四象限角，tan α＝－sin α
cos α
[答案] B
[解析] ∵sin 2α＋cos 2α＝1，
∴选项A 一定不成立，选项B 可能成立．选项C 中，tan α＝1，∴sin α＝cos α，∴cos α≠－1.选项D 中，应有tan α＝
sin αcos α，故tan α＝－sin α
cos α
不成立． 3．(2015·福建文，6)若sin α＝－5
13，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
A ．125
B ．－125
C ．512
D ．－512
[答案] D
[解析] 由sin α＝－513，且α为第四象限角，则cos α＝1－sin 2 α＝1213，则tan α＝
sin α
cos α＝－5
12
，故选D ．
4．若2sin α＝3cos α，则4sin α＋cos α
5sin α－2cos α的值等于( )
A ．1411
B ．2
C ．－109
D ．1411或1019
[答案] A
[解析] ∵2sin α＝3cos α， ∴tan α＝3
2
.
∴4sin α＋cos α5sin α－2cos α＝4tan α＋15tan α－2
＝4×32＋15×32
－2＝14
11.
5．(2015·河北行唐启明中学高一月考)若π
2<α<π，化简
1＋sin α
1－sin α－
1－sin α
1＋sin α
的结果是
( )
A ．－2tan α
B ．2tan α
C ．－2cot α
D ．2cot α
[答案] A
[解析] ∵π
2<α<π，∴cos α<0.
∴1＋sin α
1－sin α
－
1－sin α
1＋sin α
＝(1＋sin α)2
(1－sin α)(1＋sin α)－
(1－sin α)2
(1＋sin α)(1－sin α)
＝(1＋sin α)2
cos 2α
－
(1－sin α)2
cos 2α
＝
1＋sin α－cos α－1－sin α
－cos α
＝－2tan α.
6．设sin α＋cos α＝－2，则tan α＋cot α的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2
[答案] B
[解析] (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝2，
∴sin αcos α＝12，tan α＋cot α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2
αsin αcos α＝1
1
2
＝2.
二、填空题
7．化简：1－cos 24＝________. [答案] －sin4
[解析] ∵4＝4×(180
π
)°≈229°12′，
∴sin4<0，
∴1－cos 24＝sin 24＝－sin4.
8．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，0<α<π
2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. [答案]
223
[解析] ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π
4，
∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π
4＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.
三、解答题
9．已知3sin α－2cos α＝0，求下列各式的值． (1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α； (2)sin 2α－2sinαcos α＋4cos 2α.
[解析] (1)显然cos α≠0，∴tan α＝2
3，
cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α＝1－tan α1＋tan α＋1＋tan α
1－tan α
＝1－231＋23＋1＋231－23
＝265.
(2)sin 2
α－2sin αcos α＋4cos 2
α＝sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α
＝tan 2
α－2tan α＋4tan 2
α＋1
＝49－4
3＋4
49
＋1＝2813. 10.(2015·潍坊一中高一检测)已知sin x ＋cos x ＝1
5，且0<x <π，求sin x 、cos x 、tan x 的值．
[解析] 将sin x ＋cos x ＝15两边平方得，1＋2sin x cos x ＝1
25，
∴2sin x cos x ＝－24
25
<0，
又∵0<x <π，∴sin x >0，cos x <0， ∴sin x －cos x >0.
∴sin x －cos x ＝(sin x －cos x )2 ＝1－2sin x cos x ＝
1＋2425＝75
.
由⎩⎨⎧
sin x ＋cos x ＝
15
sin x －cos x ＝7
5
，得⎩⎨⎧
sin x ＝
45
cos x ＝－3
5
.
∴tan x ＝sin x cos x ＝－4
3
.
故sin x ＝45，cos x ＝－35，tan x ＝－4
3
.
一、选择题
1．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22
C ．
22
D ．1
[答案] A
[解析] 由sin α－cos α＝2两边平方，得1－2sin αcos α＝2， ∴sin αcos α＝－1
2.
∴
sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2
α＋1
＝－1
2， ∴tan 2α＋2tan α＋1＝0， ∴(tan α＋1)2＝0，∴tan α＝－1.
2．已知α为第四象限角，则cos α·csc α·sec 2α－1的值为( ) A ． 3 B ．－ 3 C ．1 D ．－1
[答案] D
[解析] 原式＝cos α·1
sin α
·|tan α|＝cot α·(－tan α)＝－1.
3．若α∈[0,2π)，且有1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( ) A ．[0，π
2)
B ．[π
2，π]
C ．(π
2，π)
D ．[π，3π
2]
[答案] B
[解析] ∵1－cos 2α＋1－sin 2α ＝sin 2α＋cos 2α＝sin α－cos α，
∴sin α≥0，cos α≤0， 又∵α∈[0,2π)，∴α∈[π
2
，π]．
4．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝5
9，则sin θcos θ的值为( )
A ．
23
B ．－
23
C ．13
D ．－13
[答案] A
[解析] sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝5
9，
∴sin 2θcos 2θ＝2
9
，
∵是第三象限角，∴sin θcos θ＝23
. 二、填空题
5．已知sin αcos α＝18，且π4<α<π
2，则cos α－sin α＝________.
[答案] －
32
[解析] ∵π4<α<π
2
，∴sin α>cos α，
∴cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2sin αcos α＝－
1－2×18＝－3
2
.
6．若sin α＝m －3m ＋5，cos α＝4－2m m ＋5，π
2<α<π，则m ＝________.
[答案] 8
[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
m －3
m ＋5
>04－2m
m ＋5<0(m －3m ＋5)2
＋(4－2m m ＋5)2
＝1
，
解得m ＝8，∴m ＝8. 三、解答题
7．已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)2cos α－2sin α2cos α＋2sin α； (2)3sin 2α－4sin αcos α＋cos 2α.
[解析] ∵tan α＝2，∴cos α≠0. (1)原式＝2－2tan α2＋2tan α＝2－22
2＋22＝22－3.
(2)原式＝3sin 2α－4sin αcos α＋cos 2α
sin 2α＋cos 2α
＝3tan 2α－4tan α＋1tan 2α＋1
＝3×22－4×2＋122＋1
＝1.
8. 已知sin x ＋sin y ＝1
3，求u ＝sin y －cos 2x 的最值．
[解析] ∵sin x ＋sin y ＝1
3，
∴sin y ＝1
3
－sin x .
∴u ＝sin y －cos 2x ＝1
3－sin x －cos 2x
＝1
3－sin x －1＋sin 2x ＝sin 2x －sin x －2
3
＝(sin x －12)2－11
12，
∵－1≤sin x ≤1，
∴当sin x ＝12时，u min ＝－11
12，
当sin x ＝－1时，u max ＝4
3
.。