湘潭县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

湘潭县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知双曲线的方程为﹣
=1，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
或 D ．
或
2． 在复平面上，复数z=a+bi （a ，b ∈R ）与复数i （i ﹣2）关于实轴对称，则a+b 的值为（ ） A ．1
B ．﹣3
C ．3
D ．2
3． 已知函数f （x ）=﹣log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，4） D ．（4，+∞）
4． 函数y=2|x|的定义域为[a ，b]，值域为[1，16]，当a 变动时，函数b=g （a ）的图象可以是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 已知实数a ，b ，c 满足不等式0＜a ＜b ＜c ＜1，且M=2a ，N=5﹣b ，P=（）c ，则M 、N 、P 的大小关系为（ ）
A ．M ＞N ＞P
B ．P ＜M ＜N
C ．N ＞P ＞M
6． 在ABC ∆中，222
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）1111] A ．(0,
]6π
B ．[,)6ππ C. (0,]3π D ．[,)3
π
π
7． 如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC ．若AB=AC=AA 1=1，BC=，则异面直线A 1C
与B 1C 1所成的角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
8． 函数f （x ）=3x +x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．（﹣3，﹣2） B ．（﹣2，﹣1） C ．（﹣1，0） D ．（0，1）
9． 在曲线y=x 2上切线倾斜角为的点是（ ）
A ．（0，0）
B ．（2，4）
C ．（，
） D ．（，）
10．点集{（x ，y ）|（|x|﹣1）2
+y 2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．函数y=sin2x+cos2x 的图象，可由函数y=sin2x ﹣cos2x 的图象（ ）
A ．向左平移个单位得到
B ．向右平移个单位得到
C ．向左平移
个单位得到 D ．向左右平移
个单位得到
12．已知条件p ：x 2+x ﹣2＞0，条件q ：x ＞a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是（ ） A ．a ≥1 B ．a ≤1 C ．a ≥﹣1
D ．a ≤﹣3
二、填空题
13．已知向量,满足42
=，2||=，4)3()(=-⋅+，则与的夹角为 .
【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题.
14．已知角α终边上一点为P （﹣1，2），则值等于 ．
15．在等差数列}{n a 中，20161-=a ，其前n 项和为n S ，若
28
108
10=-S S ，则2016S 的值等于 . 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度. 16．命题“∃x ∈R ，2x 2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为 ．
17．已知函数f （x ）=x 3﹣ax 2+3x 在x ∈[1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围 ．
18．（文科）与直线10x -=垂直的直线的倾斜角为___________．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=lnx 的反函数为g （x ）．
（Ⅰ）若直线l ：y=k 1x 是函数y=f （﹣x ）的图象的切线，直线m ：y=k 2x 是函数y=g （x ）图象的切线，求证：l ⊥m ；
（Ⅱ）设a ，b ∈R ，且a ≠b ，P=g （），Q=
，R=
，试比较P ，Q ，R 的
大小，并说明理由．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C A 、B 分别为左、右顶点， 2F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的 动点，且PA PB 的最小值为-2. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若过左焦点1F 的直线交椭圆
C 于M N 、两点，求22F M F N 的取值范围.
21．设函数
．
（1）若x=1是f （x ）的极大值点，求a 的取值范围．
（2）当a=0，b=﹣1时，函数F （x ）=f （x ）﹣λx 2
有唯一零点，求正数λ的值．
22．（本小题满分10分）求经过点()1,2P 的直线，且使()()2,3,0,5A B -到它的距离相等的直线 方程.
23．（本小题满分12分）
如图长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16， BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝4，D 1F ＝8，过点E ，F ，C 的平面α与长方体的面
相交，交线围成一个四边形．
（1）在图中画出这个四边形（不必说明画法和理由）； （2）求平面α将长方体分成的两部分体积之比．
24．已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设
，若函数
在
上(这里）恰有两个不同的零点,求
实数的取值范围．
湘潭县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：双曲线的方程为﹣=1，
焦点坐标在x轴时，a2=m，b2=2m，c2=3m，
离心率e=．
焦点坐标在y轴时，a2=﹣2m，b2=﹣m，c2=﹣3m，
离心率e==．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意实轴所在轴的易错点．
2．【答案】A
【解析】解：∵z=a+bi（a，b∈R）与复数i（i﹣2）=﹣1﹣2i关于实轴对称，
∴，∴a+b=2﹣1=1，
故选：A．
【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．
3．【答案】C
【解析】解：∵f（x）=﹣log2x，
∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，
满足f（2）f（4）＜0，
∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，
故选：C
4．【答案】B
【解析】解：根据选项可知a≤0
a变动时，函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，
∴2|b|=16，b=4
故选B．
【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．
5．【答案】A
【解析】解：∵0＜a＜b＜c＜1，
∴1＜2a＜2，＜5﹣b＜1，＜（）c＜1，
5﹣b=（）b＞（）c＞（）c，
即M＞N＞P，
故选：A
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．
6．【答案】C
【解析】
考点：三角形中正余弦定理的运用.
7．【答案】C
【解析】解：因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则直线A1C与BC所成的角为就是异面直线A1C与B1C1所成的角．
直三棱柱ABC﹣A
B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC．若AB=AC=AA1=1，BC=，BA1=，
1
CA1=，
三角形BCA1是正三角形，异面直线所成角为60°．
故选：C．
8．【答案】C
【解析】解：由函数f（x）=3x+x可知函数f（x）在R上单调递增，
又f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=30+0=1＞0，
∴f（﹣1）f（0）＜0，
可知：函数f（x）的零点所在的区间是（﹣1，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．
9．【答案】D
【解析】解：y'=2x，设切点为（a，a2）
∴y'=2a，得切线的斜率为2a，所以2a=tan45°=1，
∴a=，
在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（，）．
故选D．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
10．【答案】A
【解析】解：点集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x，y轴对称，如图所示．
由图可得面积S==+=+2．
故选：A．
【点评】本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想．11．【答案】C
【解析】解：y=sin2x+cos2x=sin（2x+），
y=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）+）]，
∴由函数y=sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位得到y=sin（2x+），
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象关系，利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键．12．【答案】A
【解析】解：∵条件p：x2+x﹣2＞0，
∴条件q：x＜﹣2或x＞1
∵q是p的充分不必要条件
∴a≥1
故选A．
二、填空题
2
13．【答案】
3
【解析】
14．【答案】．
【解析】解：角α终边上一点为P（﹣1，2），
所以tanα=﹣2．
=
==﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．
15．【答案】2016-
16．【答案】﹣2
≤a ≤2
【解析】解：原命题的否定为“∀x ∈R ，2x 2
﹣3ax+9≥0”，且为真命题，
则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立， 只需△=9a 2
﹣4×2×9≤0，解得：﹣2
≤a ≤2．
故答案为：﹣2≤a ≤2
【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．
17．【答案】 （﹣∞，3] ．
【解析】解：f ′（x ）=3x 2
﹣2ax+3， ∵f （x ）在[1，+∞）上是增函数，
∴f ′（x ）在[1，+∞）上恒有f ′（x ）≥0，
即3x 2
﹣2ax+3≥0在[1，+∞）上恒成立．
则必有≤1且f ′（1）=﹣2a+6≥0， ∴a ≤3；
实数a 的取值范围是（﹣∞，3]．
18．【答案】3
π 【解析】
3
π. 考点：直线方程与倾斜角．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=lnx的反函数为g（x）．
∴g（x）=e x．，f（﹣x）=ln（﹣x），
则函数的导数g′（x）=e x，f′（x）=，（x＜0），
设直线m与g（x）相切与点（x1，），
则切线斜率k2==，则x1=1，k2=e，
设直线l与f（x）相切与点（x2，ln（﹣x2）），则切线斜率k1==，则x2=﹣e，k1=﹣，
故k2k1=﹣×e=﹣1，则l⊥m．
（Ⅱ）不妨设a＞b，
∵P﹣R=g（）﹣=﹣=﹣＜0，∴P＜R，
∵P﹣Q=g（）﹣=﹣
==，
令φ（x）=2x﹣e x+e﹣x，则φ′（x）=2﹣e x﹣e﹣x＜0，则φ（x）在（0，+∞）上为减函数，
故φ（x）＜φ（0）=0，
取x=，则a﹣b﹣+＜0，∴P＜Q，
⇔==1﹣
令t（x）=﹣1+，
则t′（x）=﹣=≥0，
则t（x）在（0，+∞）上单调递增，
故t（x）＞t（0）=0，
取x=a﹣b，则﹣1+＞0，
∴R＞Q，
综上，P ＜Q ＜R ，
【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用作差法比较大小，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大．
20．【答案】（1）22
142
x y +=；（2）22[2,7)F M F N ∈-. 【解析】
试
题解析：（1）根据题意知2
c a =，即2212c a =， ∴22212
a b a -=，则222a b =， 设(,)P x y ，
∵(,)(,)PA PB a x y a x y =-----，
2222222
221()222
a x x a y x a x a =-+=-+-=-， ∵a x a -≤≤，∴当0x =时，2
min ()22
a PA PB =-=-， ∴24a =，则22
b =. ∴椭圆C 的方程为22
142
x y +=.
11
11]
设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2
122
12x x k +=-+，21224(1)12k x x k -=+，
∵211(2,)F M x y =-，222()F N x y =，
∴222121212)2(F M F N x x x x k x x =+++
2221212(1))22k x x x x k =+++++
22
2
22224(1)42(1)2(1)221212k k k k k k k
--=++-++++ 2
9712k =-+. ∵2121k +≥，∴210112k
<≤+. ∴2
97[2,7)12k -∈-+. 综上知，22[2,7)F M F N ∈-. 考点： 1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、平面向量的数量积公式、圆锥曲线中的最值问题.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，由f'（1）=0，得b=1﹣a．
∴．…
①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．
所以x=1是f（x）的极大值点．…
②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=．
因为x=1是f（x）的极大值点，所以＞1，解得﹣1＜a＜0．
综合①②：a的取值范围是a＞﹣1．…
（Ⅱ）因为函数F（x）=f（x）﹣λx2有唯一零点，
即λx2﹣lnx﹣x=0有唯一实数解，
设g（x）=λx2﹣lnx﹣x，
则．令g'（x）=0，2λx2﹣x﹣1=0．
因为λ＞0，所以△=1+8λ＞0，
方程有两异号根设为x1＜0，x2＞0．
因为x＞0，所以x1应舍去．
当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减；
当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增．
当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．…
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0，
则即
因为λ＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*）
设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，
h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，
代入方程组解得λ=1．…
【点评】本题考查函数的单调性、极值、零点等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
22．【答案】420x y --=或1x =．
【解析】
23．【答案】
【解析】解：
（1）交线围成的四边形EFCG （如图所示）．
（2）∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，
平面A 1B 1C 1D 1∩α＝EF ，
平面ABCD ∩α＝GC ，
∴EF ∥GC ，同理EG ∥FC .
∴四边形EFCG 为平行四边形，
过E 作EM ⊥D 1F ，垂足为M ，
∴EM ＝BC ＝10，
∵A 1E ＝4，D 1F ＝8，∴MF ＝4.
∴GC ＝EF ＝
EM 2＋MF 2＝102＋42＝116， ∴GB ＝GC 2－BC 2＝116－100＝4（事实上Rt △EFM ≌Rt △CGB ）．
过C 1作C 1H ∥FE 交EB 1于H ，连接GH ，则四边形EHC 1F 为平行四边形，由题意知，B 1H ＝EB 1－EH ＝12－8＝4＝GB .
∴平面α将长方体分成的右边部分由三棱柱EHG -FC 1C 与三棱柱HB 1C 1­GBC 两部分组成． 其体积为V 2＝V 三棱柱EHG -FC 1C ＋V 三棱柱HB 1C 1­GBC
＝S △FC 1C ·B 1C 1＋S △GBC ·BB 1
＝12×8×8×10＋12
×4×10×8＝480，
∴平面α将长方体分成的左边部分的体积V 1＝V 长方体－V 2＝16×10×8－480＝800. ∴V 1V 2＝800480＝53
， ∴其体积比为53（35
也可以）． 24．【答案】
【解析】【知识点】利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性导数的概念和几何意义 【试题解析】（Ⅰ）函数定义域为
，
又，所求切线方程为，即
（Ⅱ）函数在
上恰有两个不同的零点， 等价于在
上恰有两个不同的实根 等价于在
上恰有两个不同的实根，
令则
当时，，在递减；
当时，，在递增．
故，又．
，，
即。