黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第一学期第二次调研考试试题 数学文【含解析】

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第一学期第二次调研考试
试题 数学文【含解析】
一.选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中 只有一项尾符合题目要求的。

1.集合(){
}
2A x y x x ==-.{}
2,0x B y y x ==>，则A B =（ ）
A. []0,2
B. (]1,2
C. []1,2
D. ()1,+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
计算出集合A 、B ，利用交集的定义可得出集合A B .
【详解】
(){}
(){}(){}
[]220200,2A x y x x x x x x x x ==-=-≥=-≤=，
由于指数函数2x y =是增函数，当0x >时，0221x y =>=，则()1,B =+∞， 因此，(]1,2A
B =，故选：B.
【点睛】本题考查集合交集运算，同时也考查了函数的定义域与值域的求解，考查计算能力，属于基础题.
2.已知()1,2OA =-，()3,OB m =，若OA OB ⊥，则m 等于（ ） A. 6- B. 6
C.
32
D. 32
-
【答案】C 【解析】 【分析】
将OA OB ⊥转化为0OA OB ⋅=，并利用向量数量积的坐标运算可求出m 的值. 【详解】()1,2OA =-，()3,OB m =，且OA OB ⊥，320OA OB m ∴⋅=-+=，解得32
m =
， 故选：C.
【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示，通常将向量垂直转化为两向量数量积为零，考查计算能力，属于基础题.
3.已知函数()13
sin ,0
6log ,0x
x f x x x π⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()9f f =（ ）
A.
12
B. 12
-
C.
32
D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】
利用函数()y f x =的解析式由内到外计算出()()9f
f 的值.
【详解】
()13
sin ,06log ,0x
x f x x x π⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()13
9log 92
f ∴==-， 因此，()()()3
92sin sin 33
f
f f ππ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝
⎭
，故选：D. 【点睛】本题考查分段函数值的计算，对于多层函数值的计算，需充分利用函数解析式，由内到外逐层计算，考查计算能力，属于基础题.
4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
【答案】B 【解析】
【详解】设塔顶的a 1盏灯， 由题意{a n }是公比为2的等比数列， ∴S 7=
(
)7
11212
a --=381，
解得a 1=3． 故选：B ．
5.已知4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（ ）
A.
4
5 B.
35
C. 45
-
D.
35
【答案】C 【解析】 【分析】 将角
3
π
α-表示为
3
26π
π
παα⎛⎫
-=
-+ ⎪⎝⎭
，再利用诱导公式可得出结果. 【详解】
4cos cos sin 326
65ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：C.
【点睛】本题考查利用诱导公式求值，解题的关键就是弄清所求角与已知角之间的关系，考查计算能力，属于中等题.
6.如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则
λμ⋅等于（ ）
A. 3
16
-
B.
316
C.
12
D. 12
-
【答案】A 【解析】 【分析】
利用平面向量的线性运算，将DE 用AB 和AD 表示，可得出λ和μ的值，由此可计算出λμ⋅的值. 【详解】
E 为AO 的中点，且O 为AC 的中点，所以，()
111
244
AE AO AC AB AD =
==+，
()
113444DE AE AD AB AD AD AB AD ∴=-=
+-=-，1
4λ∴=，34
μ=-.
因此，133
4416
λμ⎛⎫⋅=
⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题.
7.已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛
⎫
=+
∈> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( ) A. 向左平移
8
π
个单位长度 B. 向右平移
8
π
个单位长度 C. 向左平移4
π
个单位长度 D. 向右平移
4
π
个单位长度 【答案】A 【解析】
【详解】由()f x 的最小正周期是π，得2ω=， 即()sin(2)4
f x x π
=+
cos 224x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
cos 24x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
cos 2()8
x π
=-
，
因此它的图象向左平移
8
π
个单位可得到()cos 2g x x =的图象．故选A ． 考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质． 【名师点睛】三角函数图象变换方法：
8.已知函数1()2x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )
A. (4,1)-
B. (1,4)-
C. (1,4)
D. (0,4)
【答案】B 【解析】 【分析】
先判断函数1()2x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的单调性，把()24(3)f a f a ->转化为自变量的不等式求解.
【详解】可知函数()f x 为减函数，由2(4)(3)f a f a ->，可得243a a -<， 整理得2340a a --<，解得14a -<<，所以不等式的解集为(1,4)-． 故选B.
【点睛】本题考查函数不等式，通常根据函数单调性转化求解，一般不代入解析式.
9.已知正项等比数列{}n a 中满足2019201820172a a a =+，若存在两项m a 、n a ，12m n a a a =，则m n +=
（ ） A. 4 B. 5
C. 6
D. 7
【答案】A 【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，由题中条件2019201820172a a a =+求出公比q ，再利用等比数列的通项公式以12m n a a a =可求出m n +的值.
【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，
2019201820172a a a =+，22017201720172a q a q a ∴=+，
22q q ∴=+，即220q q --=，0q >，解得2q
，
12m n a a a =，即214m n a a a =，所以，112111224m n a a a --⨯⨯⨯=，化简得224m n +-=，
22m n ∴+-=，因此，4m n +=，故选：A.
【点睛】本题考查等比数列相关量的计算，对于等比数列的问题，通常利用首项和公比进行表示，考查计算能力，属于中等题.
10.ABC ∆中，2BA AC ⋅=，3ABC S ∆，则A =（ ） A.
3
π B.
23
π C.
6
π D.
56
π 【答案】B 【解析】 【分析】
设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，利用平面向量数量积的定义和三角形的面积公式将题中等式用b 、c 、A 的等式表示，可求出tan A 的值，结合角A 的取值范围，可得出角A 的值. 【详解】设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 则()cos cos 2BA AC cb A bc A π⋅=-=-=，1
sin 32
ABC S bc A ∆=
所以cos 2sin 3bc A bc A =-⎧⎪⎨=⎪⎩
tan 3A =-0A π<<，23A π∴=，
故选：B.
【点睛】本题考查平面向量数量积的定义，同时也考查了三角形的面积公式，考查计算能力，属于中等题.
11.定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}
n f a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3
f x x =；
②()x
f x e =；
③()f x x =
④()ln f x x =
则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A. ①② B. ③④
C. ①③
D. ②④
【答案】C 【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，验证
()
()
1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项.
【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则
1
n n
a q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，
()()3
3
131
12n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，该函数为“保等比数列函数”； 对于②中的函数()x
f x e =，
()()1
11n n n n a a a n a n f a e e f a e
++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数()f x x =
()
()
111
n n n n n
n
a f a a q f a a a +++==
=
对于④中的函数()ln f x x =，()()1
1ln ln n n n n
a f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C.
【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12.锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若220a b ac -+=，则sin sin A
B
的取值范围是（ ）
A. 20,2⎛ ⎝⎭
B. 2322⎛ ⎝⎭
C.
2,3
D. 3232⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】
【分析】
利用余弦定理、正弦定理边角互化思想、两角差的正弦公式，并结合条件220a b ac -+=得出2B A =，根据ABC ∆为锐角三角形得出角A 的取值范围，可得出sin 1
sin 2cos A B A
=的取值范围. 【详解】
220a b ac -+=，即()222
2cos 0a a c ac B ac -+-+=，化简得2cos 0a B c a -+=.
由正弦定理边角互化思想得2sin cos sin sin 0A B C A -+=，
即()2sin cos sin sin 0A B A B A -++=，所以，sin cos cos sin sin 0A B A B A -+=，
()sin sin cos cos sin sin A B A B A B A ∴=-=-，
02
A π
<<
，02
B π
<<
，2
2
B A π
π
∴-
<-<
，B A A ∴-=，2B A ∴=，
ABC ∆是锐角三角形，且3C A B A ππ=--=-，所以02022032A A A ππππ⎧
<<⎪⎪
⎪
<<⎨⎪
⎪
<-<⎪⎩
，
解得64A ππ
<<，则23cos 22A <<，所以，sin sin 132sin sin 22cos 32A A B A A ⎛==∈ ⎝⎭
， 因此，sin sin A
B 的取值范围是3232⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，故选：D. 【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了二倍角公式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二 填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若359,25S S ==，则2019a = ______。

【答案】4037 【解析】 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件列出有关首项和公差的方程组，解出这两个量，再利用等差数列的通项公式可求出2019a 的值.
【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由39S =，525S =，可得1133951025a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得11
2
a d =⎧⎨=⎩.
因此，2019120181220184037a a d =+=+⨯=，故答案为：4037.
【点睛】本题考查等差数列相关量的
计算，常利用首项和公差建立方程组，利用方程思想求解，考查计算能力，属于中等题.
14.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示，则ω=_____，ϕ=_______.
【答案】 (1). 2 (2). 3
π
-
【解析】 【分析】
根据图象得出函数()y f x =的最小正周期T ，利用公式2T πω=
求出ω的值，再将点5,212π⎛⎫
⎪⎝⎭代入函数()y f x =的解析式，结合ϕ的取值范围，可求出ϕ的值.
【详解】由图象可知，函数()y f x =的最小正周期T 满足3534
1234
T πππ⎛⎫=
--= ⎪⎝⎭，得T π=， 22T πω∴=
=，()()2sin 2f x x ϕ∴=+，将点5,212π⎛⎫
⎪⎝⎭
代入函数()y f x =的解析式， 得552sin 2126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5sin 16πϕ⎛⎫
∴+= ⎪⎝⎭
，则()5262k k Z ππϕπ+=+∈， ()23
k k Z π
ϕπ∴=-
∈，
2
π
ϕ<
，0k ∴=，3
π
ϕ=-，故答案为：2ω=，3
π
ϕ=-
.
【点睛】本题考查利用图象求函数()()()sin 0,0f x A x b A ωϕω=++>>的解析式，基本步骤如下：
（1）求A 、b ：()()max min
2
f x f x A -=
，()()max min
2
f x f x b +=
；
（2）求ω：根据图象得出最小正周期T ，可得出2T
πω=
； （3）求初相ϕ：将对称中心点、最高点或最低点代入函数解析式可求出ϕ的值.
15.已知两个非零单位向量1e 、2e 的夹角为θ. ①不存在θ，使122e e ⋅=； ②121222e e e e -=-； ③()()
1212e e e e -⊥+； ④1e 在2e 方向上的投影为sin θ.
则上述结论正确的序号是________（请将所有正确结论都填在横线上） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】
根据平面向量的定义、平面向量数量积的运算律、垂直向量的等价条件以及向量投影的定义来判断各命题的正误.
【详解】对于命题①，[]1212cos cos 1,1e e e e θθ⋅=⋅=∈-，命题①正确； 对于命题②，
22
2212112211222444cos 454cos e e e e e e e e e e θθ-=-⋅+=-⋅+=-，同理可得
2
12254cos e e θ-=-，则121222e e e e -=-，命题②正确；
对于命题③，
()()22
22
22121212
12110e e e e e e
e e -⋅+=-=-=-=，
()()1
2
12
e e e e ∴-⊥+，命题③正确；
对于命题④，1e 在2e 方向上的投影为1cos cos e θθ⋅=，命题④错误. 因此，正确命题的序号为①②③，故答案为：①②③.
【点睛】本题考查平面向量数量积的定义以及运算律，同时也考查了平面向量垂直的等价条件和投影的定义，解题时应充分从这些定义和等价条件出发来加以理解，考查推理能力，属于中等题.
16.设函数()x
f x x e -=- (e 为自然对数的底数），直线y ax b =+是曲线()y f x =的切线，则2a b +的
最小值为______. 【答案】2
12e - 【解析】 【分析】
设切点坐标为()
,t
t t e --，利用导数求出曲线()y f x =的切线方程y ax b =+，可将a 、b 用t 表示，构
造函数()2g t a b =+，利用导数可求出函数()y g t =的最小值，即为2a b +的最小值.
【详解】设切点坐标为()
,t
t t e --，设曲线()y f x =在x t =处的切线方程为y ax b =+，
()x f x x e -=-，()1x f x e -'∴=+，
所以，曲线()y f x =在x t =处的切线方程为()()()1t t
y t e e
x t ----=+-，
即()
()11t t y e x t e --=+-+，1t a e -∴=+，()1t
b t e -=-+，则122t
t
a b e -+=+
， 构造函数()12t t g t e -=+
，则()2
t t g t e
-'=，令()0g t '=，得2t =. 当2t <时，()0g t '<；当2t >时，()0g t '>.
所以，函数()y g t =在2t =处取得极小值，亦即最小值，即()()2
min 1
22g t g e ==-. 因此，2a b +的最小值为212e -
，故答案为：21
2e
-. 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的最值，解题的关键就是建立函数关系式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17-21题 必考题,每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题,考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.已知函数()()2
sin 22sin 16f x x x π⎛
⎫
=+
+- ⎪⎝
⎭
. （1）求函数()y f x =的单调减区间； （2）求()1y f x =+在0,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值.
【答案】（1）单调减区间是
5π,π,36k k k Z ππ⎛⎫
++∈
⎪⎝
⎭
；（2）min
12y =-. 【解析】 【分析】
（1）利用两角和的正弦公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为
()sin 216f x x π⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭，然后解不等式()3222262k x k k Z πππππ+<-<+∈，即可得出函数
()y f x =的单调递减区间；
（2）由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出2662x πππ-≤-≤，然后利用正弦函数的性质可求出函数()1y f x =+在0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值. 【详解】（1）
()()2311cos 2sin 22sin 12cos 221622x f x x x x x π-⎛⎫⎛⎫
=++-=++⨯- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
312cos 21sin 2cos cos 2sin 1sin 2122666x x x x x πππ⎛
⎫=
--=--=-- ⎪⎝
⎭， 解不等式()3222262k x k k Z ππ
πππ+<-<+∈，得()536
k x k k Z ππ
ππ+<<+∈，
因此，函数()y f x =的单调递减区间为5,,3
6
k k k Z π
πππ⎛
⎫
+
+
∈ ⎪⎝
⎭
； （2）()1sin 26y f x x π⎛⎫
=+=-
⎪⎝
⎭
，当0,
3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，2662x πππ-≤-≤， 因此，当26
6
x π
π
-
=-
时，该函数取得最小值，且最小值为min 1sin sin 662y ππ⎛⎫
=-
=-=- ⎪
⎝⎭
. 【点睛】本题考查正弦型函数单调区间以及最值的求解，对于这类问题的求解，通常要利用三角恒等变换思想将三角函数的解析式化简，结合正弦函数的基本性质求解，考查运算求解能力，属于中等题.
18.等比数列{}n a 的公比2q ，且31a +是2a 、4a 的等差中项.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）12n n a ；（2）()121n
n S n =-⋅+.
【解析】 【分析】
（1）根据题中条件得出()32421a a a +=+，求出1a 的值，然后利用等比数列的通项公式求出数列{}n a 的通项公式；
（2）求出数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和n S . 【详解】（1）由题意可得()32421a a a +=+，即()11124128a a a +=+，解得11a =. 因此，数列{}n a 的通项公式为1
111122n n n n a a q ---==⨯=；
（2）
12n n n b na n -==⋅，
01211222322n n S n -∴=⨯+⨯+⨯+
+⨯，
()12121222122n n n S n n -=
⨯+⨯+
+-⨯+⨯，
上式-下式得()
()012111222222212112
n n n n n n S n n n -⨯--=++++-⨯=
-⨯=-⋅--，
因此，()121n
n S n =-⋅+.
【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，解题时要熟悉错位相减法对数列通项结构的要求，考查计算能力，属于中等题.
19.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，()cos ,1m B =，()
cos 3cos n C A A =-，且//m n .
（1）求角B 的大小；
（2）若3b =2a c +的最大值. 【答案】（1）3
π；（2）27【解析】 【分析】
（1）利用共线向量的坐标表示结合两角和的余弦公式求出tan B 的值，再由角B 的取值范围可求出角B 的
值；
（2）利用正弦定理得出2sin a A =，2sin c C =，于是得出22sin 4sin a c A C +=+，利用两角和的正弦公式以及辅助角公式将其转化为角A 的三角函数，可求出2a c +的最大值. 【详解】（1）
()cos ,1m B =，()
cos 3cos n C A A =-，且//m n ，
)
cos cos 3cos C B
A A ∴=-，即()cos 3cos cos cos A
B A B A B π-+=-⎡⎤⎣⎦，
即()cos 3sin cos cos cos A B A B A B -+=-，化简得sin sin 3sin cos A B A B =，
0A π<<，sin 0A ∴>，则sin 3cos B B =
，得tan 3B =0B π<<，3
B π
∴=
；
（2）由正弦定理得3
2
sin sin sin sin
3
a c
b A C B π
====，则2sin a A =，2sin c C =， 所以，
()22sin 4sin 2sin 4sin 2sin 4sin 3a c A C A A B A A π⎛
⎫+=+=++=++ ⎪
⎝
⎭2721
2sin 2sin 234sin 23277A A A A A A A ⎫=++=+=+⎪⎪⎭
()27A ϕ=+，ϕ为锐角，且21sin ϕ=
，27
cos ϕ=， 3
B π=
，203A π∴<<，则23A π
ϕϕϕ<+<
+， 当2
A π
ϕ+=
时，2a c +取得最大值27【点睛】本题考查共线向量的坐标表示、三角形化简与求值以及三角形中的最值问题，在求解三角形中的最值与取值范围问题时，一般利用正弦定理将代数式转化为以某角为自变量的三角函数，借助三角函数恒等变换思想求解，考查计算能力，属于中等题.
20.已知数列{}n a 中，0n a >，11a =，且()2
2
112n n n n a a a a n ---=+≥.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()
1
21
1n
n n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T . 【答案】（1）n a n =；（2）2221
n n
T n =-+. 【解析】 【分析】
（1）对等式()2
2
112n n n n a a a a n ---=+≥变形后因式分解，可得出数列{}n a 是等差数列，求出该数列的
公
差，再利用等差数列的通项公式可求出n a ； （2）将数列{}n b 的通项公式裂项为()()1211
1111n
n n n n n b a a n n ++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭
，然后利用裂项求和法求出数列{}n b 的前2n 项和2n T .
【详解】（1）当2n ≥时，由2
2
11n n n n a a a a ---=+，即2
2
110n n n n a a a a -----=， 化简得()()1110n n n n a a a a --+--=，对任意的n *∈N ，0n a >，10n n a a -∴+>，
110n n a a -∴--=，即11n n a a --=，
所以，数列{}n a 是以1为首项，以1为公差的等差数列，因此，()111n a n n =+-⨯=； （2）()
()()()121211
111111n
n n n n n n n b a a n n n n +++⎛⎫=-=-=-+ ⎪++⎝⎭
， 211111111
1121122334452212121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫∴=-+++-+++-
++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
. 【点睛】本题考查等差数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法，要熟悉几种常见的求和法对数列通项的要求，考查计算能力，属于中等题.
21.已知函数()2223x
x ax a f x e
-+-=（e
为自然对数的底数）. （1）若()f x 在[]2,3上单调递増，求实数a 的取值范围；
（2）若不等式()2f x ≤对任意的0x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）[]0,3；（2）ln 35⎡⎤-⎣⎦.
【解析】
【分析】
（1）求出函数()y f x =的导数()()()13x
x a x a f x e
--⋅-+⎡⎤⎡⎤⎣
⎦⎣⎦
'=-，解不等式()0f x '≥得出
13a x a -≤≤+，由题意得出[][]2,31,3a a ⊆-+，列出不等式组求出实数a 的取值范围；
（2）由()2f x ≤可得()2
32x x a e --≤对任意的0x ≥恒成立，然后构造函数()()2
23x
h x e x a =--+，
将问题转化为()min 0h x ≥，然后对实数a 的取值进行分类讨论，确定函数()y h x =在区间[)0,+∞上的最小值()min h x ，解出不等式()min 0h x ≥可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）
()2223
x
x ax a f x e
-+-=， ()()()()22132223x x
x a x a x a x a a f x e e
--⋅-+⎡⎤⎡⎤-+++-⎣⎦⎣⎦'∴=-=-. 解不等式()0f x '≥，得13a x a -≤≤+.
由于函数()y f x =在区间[]2,3上单调递增，则[][]2,31,3a a ⊆-+，
所以12
33
a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得03a ≤≤，因此，实数a 的取值范围是[]0,3；
（2）不等式()2f x ≤对任意的0x ≥恒成立，可得()2
32x
x a e --≤对任意的0x ≥恒成立，构造函数
()()2
23x h x e x a =--+，其中0x ≥，则()min 0h x ≥.
()222x h x e x a '=-+，构造函数()222x x e x a ϕ=-+，则()()21x x e ϕ'=-，
当0x ≥时，()()
210x
x e ϕ'=-≥，则函数()y x ϕ=在区间[)0,+∞上单调递增，
则()()min 022x a ϕϕ==+.
①当220a +≥时，即当1a ≥-时，对任意的0x ≥，()0h x '≥，
此时，函数()y h x =在区间[)0,+∞上单调递增，()()2
min 050h x h a ==-≥，
解得55a -≤≤15a -≤≤
②当220a +<时，即当1a <-时，则存在0t >，使得()2220t
h t e t a '=-+=，
此时，t a t e =-.
当0x t <<时，()0h x '<；当x t >时，()0h x '>. 所以，函数()y h x =在x t =处取得极小值，亦即最小值， 即()()()()2
2
2min
2323230t
t
t
t t h x h t e t a e t t e e e ⎡⎤==--+=---+=-+≥⎣⎦
， 即2230t t e e --≤，得13t e -≤≤，又0t e >，所以，03t e <≤，解得ln 3t ≤， 此时0ln 3t <≤.
构造函数()t
g t t e =-，其中0t >，()10t
g t e '=-<，此时，函数()y g t =单调递减，
所以，()()()ln30g g t g ≤<，即ln 331a -≤<-.
综上所述，实数a 的取值范围是ln 35⎡-⎣.
【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，以及利用导数研究函数不等式恒成立问题，解题时要弄清函数单调性与导数符号之间的关系，同时注意将函数不等式恒成立问题转化为函数最值来求解，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22,23题中选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题记分.
22.在直角坐标系xOy 中，曲线cos 1:sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线1:2x t
l y t =+⎧⎨=-⎩
（t 为参数）.
（1）判断直线l 与曲线C 的位置关系：
（2）点P 是曲线C 上的一个动点，求P 到直线l 的距离的最大值. 【答案】（1）相离；（2）12【解析】 【分析】
（1）根据曲线C 的参数方程得知曲线C 是以点()1,0为圆心，以1为半径长的圆，并将直线l 的方程化为普通方程，计算出圆心到直线l 的距离d ，将d 与圆的半径进行大小比较，可得出直线l 与曲线C 的位置关系；
（2）由（1）可知，P 到直线l 的距离的最大值为d 和圆的半径之和，从而得出结果. 【详解】（1）将直线l 的参数方程化为普通方程得30x y +-=， 由题意知，曲线C 是以点()1,0为圆心，以1为半径长的圆，
则圆心到直线l 的距离为103
212
d +-=
=>，因此，直线l 与曲线C 相离；
（2）由于直线l 与圆C 相离，则圆C 上任意一点P 到直线l 距离的最大值为121d +=.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，同时也考查了圆上一点到直线距离的最值，在解决直线与圆的综合问题时，通常计算出圆心到直线的距离，利用几何法求解，考查运算求解能力，属于中等题.
23.已知()|2|||f x x x =++. （1）求不等式()4f x x -<的解集；
（2）若x R ∀∈，2()f x m m -恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）(2,2)-（2）12m -≤≤ 【解析】 【分析】
（1）利用分类讨论法解不等式得解集；（2）先求出()|2||||2|2f x x x x x =+++-=，
，再解不等式22m m -≤得解.
【详解】解：（1）不等式()4f x x -<可化为|2|||4x x x ++<+ 当2x -≤时，224x x --<+，2x >-，所以无解； 当-20x <≤时，24x <+，所以-20x <≤； 当0x >时，224x x +<+，2x <，所以02x <<. 综上，不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集是(2,2)-. （2）()|2|||
|2|2f x x x x x =+++-=，
若x R ∀∈，2()f x m m -恒成立，则22m m -≤， 解得：12m -≤≤.
【点睛】本题主要考查分类讨论法解不等式，考查绝对值三角不等式和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.。