【新编】高考数学一轮复习北师大版第3章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数知能训练轻松

第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π
3 B.
π6
C ．－π3
D ．－π6
解析：选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10
分钟，故应转过的角为圆周的1
6.
即为－16×2π＝－π3
.
2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．直线y ＝x 上 D ．直线y ＝－x 上 解析：选A.|cos α|＝1，则角α的终边在x 轴上．
3．(2016·潍坊模拟)集合⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π
2，k ∈Z
中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析：选C.当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤
π
2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π
2，此时α表示
的范围与π＋π4≤α≤π＋π
2表示的范围一样，故选C.
4．若sin αtan α<0，且cos α
tan α
<0，则角α是( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
解析：选C.由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角．
5．(2016·西安模拟)已知角α＝2k π－
π
5
(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ
|tan θ|的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．3
D ．－3
解析：选B.由α＝2k π－π
5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，
又角θ与角α的终边相同， 所以角θ是第四象限角，
所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0. 所以y ＝－1＋1－1＝－1.
6．(2016·安徽省十校协作体联考)已知锐角α，且5α的终边上有一点P (sin(－50°)，cos 130°)，则α的值为( ) A ．8° B ．44° C ．26° D ．40° 解析：选B.因为sin(－50°)<0，cos 130°＝－cos 50°<0，所以点P (sin (－50°)，cos 130°)在第三象限．
又因为0°<α<90°，所以0°<5α<450°.
又因为点P 的坐标可化为(cos 220°，sin 220°)， 所以5α＝220°，所以α＝44°，故选B.
7．若α是第三象限角，则180°－α是第________象限角．
解析：因为α是第三象限角，所以k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°，所以－k ·360°－270°＜－α＜－k ·360°－180°，
－(k ＋1)·360°＋270°＜180°－α＜－(k ＋1)·360°＋360°，其中k ∈Z ，所以180°－α是第四象限角． 答案：四
8．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组
成的集合为________．
解析：因为角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
，－32，所以角α为第四象限角，且tan α
＝－3，即α＝－π
3＋2k π，k ∈Z ，因此落在(－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3.
答案：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－π3
，
5π
3 9．(2016·大同一模)已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－5
13，则x 的值为
________． 解析：因为cos α＝
－x （－x ）2
＋（－6）
2
＝
－x
x 2
＋36
＝－513，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧x >0，x 2x 2
＋36＝25169，解得x ＝5
2.
答案：52
10．满足cos α≤－1
2的角α的集合为________．
解析：作直
线x ＝－1
2交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为
角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为
⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋4
3π，k ∈Z
11．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的
值．
解：因为θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)， 所以tan θ＝－1
x
.
又tan θ＝－x ，
所以x 2
＝1，即x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－
22，cos θ＝22. 因此sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－
22，cos θ＝－2
2
， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.
故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.
12．(1)一个扇形OAB 的面积是1 cm 2
，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .
(2)已知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π＋π3≤x ≤k π＋π2，k ∈Z ，B ＝{}x |4－x 2
≥0，求A ∩B . 解：(1)设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，
则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.
所以圆心角α＝l r
＝2.
如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，
则∠AOH ＝1 rad.
所以AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， 所以AB ＝2sin 1(cm)．
(2)如图所示，集合A 表示终边落在阴影部分的角的集合(包括v 轴)
B ＝{}x |4－x 2
≥0 ＝{}x |－2≤x ≤2， 而π3<2<4
3π， －2π3<－2<－π2
， 所以A ∩B ＝⎩
⎨⎧x ⎪
⎪⎭
⎬⎫－2≤x ≤－π2或π3≤x ≤π2.。