湖北省武汉市2019-2020学年高三1月联考 数学(文)试题Word版含答案

湖北省武汉市2019-2020学年高三1月联考
数学（文）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知复数z 满足()11z i i +=-，则z = A. i B.1 C. i - D.1-
2.设集合{}
{}1|21,|ln 1x M x N x x +=>=≤，则M N I 等于 A. B. C. D.
3.若实数,x y 满足约束条件11040x x y x y -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
，则2x y +的最大值为
A.5
B. 4
C. 6
D.3
4.直线:4520l x y -=经过双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的一个焦点和虚轴的一个端点，则C 的离
心率为 A.
53 B. 35 C. 54 D.4
5
5.已知等比数列{}n a 的公比为正数，前n 项和为n S ，12342,6a a a a +=+=，则8S 等于
A. 813-54 C. 8
31- D.80
6.在Rt ABC ∆中，60B ∠=o
过直角顶点A 在BAC ∠内随机作射线AD ，交斜边BC 于点D ，则BD BA >的概率为 A.
13 B. 12 C. 2
3
D.34
7.已知函数()()sin ,02,
622,2nx
x f x f x x ⎧≤≤⎪⎨⎪->⎩
，则()2017f 等于（ ） A.0 B.
12
C.10072
D.10082 8.某四棱锥的三视图如右图所示，正视图、侧视图都是边长为3则此四棱锥的体积是（ ）
A.83
9．函数x x
x x
e e y e e --+=-的图象大致是
10.正整数的各数位上的数字重新排列后得到的最大数记为{}max a n =，得到的最小数记为{}min b n =（如正整数2016n =，则6210,0126a b ==），执行如图所，示的程序框图，若输入2017n =，则输出的S 的值为
A. 6174
B. 7083
C. 8341
D. 8352
11.设,,l m n 表示不同的直线，,,αβγ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若//m l ，且m α⊥，则l α⊥； ②若//m l ，且//m α，则//l α； ③若,αβγβ⊥⊥，则//αγ；
④若,,l m n αββγγα===I I I ，则////l m n . A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
12.定义域为R 的偶函数()r x 满足()()11r x r x +=-，当[]0,1x ∈时，
()r x x =；函数()3log ,0
2,0x
x x h x x >⎧=⎨≤⎩
，则()()()(),f x r x h x f x =-在[]3,4-上零点的个数为
A. 4
B. 3
C. 6
D. 5
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量()()1,2,2,a b y =-=-r r
，且//a b r r ，则32a b +=r r .
14.文渊阁本四库全书《张丘建算经》卷上（二十三）：今有女子不善织，日减功，迟。

初日织五尺，末日织一尺，今三十日织訖。

问织几何？意思是：有一女子不善织布，逐日所织布按等差数列递减，已知第一天织5尺，最后一天织1尺，共织了30天。

问共织布 .
15.直线m 经过抛物线2
:4C y x =的焦点F,与C 交于A,B 两点，且10AF BF +=，则线段AB 的中点D 到y 轴的距离为 .
16.若函数()f x 对定义域内的任意12,x x ，当()()12f x f x =时，总有12x x =，则称函数()f x 为单纯函
数，例如函数()f x x =是单纯函数，但函数()2f x x =不是单纯函数，下列命题：①函数
()2log ,21,2
x x f x x x ≥⎧=⎨
-<⎩是单纯函数；②当2a >-时，函数()21
x ax f x x ++=在()0,+∞上是单纯函数；③若函数()f x 为其定义域内的单纯函数，12x x ≠，则()()12f x f x ≠；④若函()f x 数是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在0x 使其导数()00f x '=.其中正确的命题为 .（填上所有正确的命题序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分12分）设23,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭
u r r ，
函数().f x m n =⋅u r r
（1）当x π=时，求函数()f x 的值；
（2）已知ABC ∆的三个内角A,B,C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足1
cos 2
b C
c a +
=，求ABC ∆的内角B 的大小.
18.（本题满分12分）
某研究小组到社区了解参加健美操运动人员的情况，用分层抽样的方法抽取了40人进行调查，按照年龄分成五个小组：[](](](](]30,40,40,50,50,60,60,70,70,80，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求该社区参加健美操运动人员的平均年龄；
（2）如果研究小组从该样本中年龄在[]30,40和(]70,80的6人中随机地抽取出2人进行深入采访，求被采访的2人，年龄恰好都在(]70,80内的概率. 19.（本题满分12分）如图所示，四边形ABCD 为菱形，
2,//,AF AF DE DE =⊥平面ABCD .
（1）求证：AC ⊥平面BDE ；
（2）当DE 为何值时，直线//AC 平面BEF ？请说明理由.
20.（本题满分12分）如图，在圆22
9x y +=上任取一点P ，过点P 作
x 轴的
垂线PD ，D 为垂足，
点M 满足23
DM DP =u u u u r u u u r ；当点P 在圆22
9x y +=上运动
时，点M 的轨迹为.E
（1）求点M 的轨迹的方程E ；
（2）与已知圆2
2
1x y +=相切的直线:l y km m =+交E 于,A B 两点，求OA OB ⋅u u u r u u u r
的取值范围.
21.（本题满分12分）
已知函数()3
2
2 1.f x x ax =-+
（1）当4a =时，求函数()f x 的极大值；
（2）若函数()f x 在R 上有且仅有两个零点，求实数a 的值；
（3）求证：
()33331111112234321
n N n n n ++++<-∈≥+L 且.
请考试在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分. 22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中圆C 的参数方程为23cos 3sin x t α
α
=+⎧⎨=⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为().4
R π
θρ=
∈
（1）求圆C 的直角坐标方程及其圆心C 的直角坐标； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求ABC ∆的面积.
22.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数() 1.f x x x =++
（1） 解关于x 的不等式()3f x >；
（2） 若x R ∀∈，使得()2320m m f x ++≥成立，试求实数m 的取值范围.
湖北省武汉市2019-2020学年高三1月联考
数学（文）试题参考答案
1.【答案】B
【解析】因为(1)(1)z i i +=-，则21(1)21(1)(1)2
i i i
z i i i i ---=
===-+++， ||1z =． 【考点】复数 2.【答案】D
【解析】1{|21}{|1}x M x x x +=>=>-，{}0N x x e =<≤，(0,]M N e =I ． 【考点】集合
3.【答案】C
【解析】由已知得可行域是由(1,1)A 、(2,2)B 、(1,3)C 构成的三角形，作直线0l ：20x y +=，平移0l 到l ，当l 过(2,2)B 时2x y +取得最大值6. 【考点】线性规划 4.【答案】A
【解析】l 与坐标轴交于点(5,0)F ，(0,4)B -，从而5c =，4b =，3a =，双曲线C 的离心率
53
c e a =
=． 【考点】解析几何：双曲线的离心率
【来源】选修1-151P 例3改编而成. 5.【答案】D
【解析】因为{}n a 为等比数列，122a a +=，346a a +=，则5618a a +=，7854a a +=，
81234567826185480S a a a a a a a a =+++++++=+++=．
【考点】数列：等比数列及其求和 【来源】必修554P B 组第3题改编而成. 6.【答案】A
【解析】取BC 中点E ，因为90BAC ∠=o ，BD BA >，则射线AD 在EAC ∠内，30EAC ∠=o ，
301
()903
P BD BA >==o o ．
【考点】概率：几何概型中的角度问题 【来源】必修3140P 练习第1题改编而成. 7.【答案】C
【解析】100810081007(2017)(100821)2(1)2sin
26
f f f π
=⨯+==⨯=．
【考点】函数：函数性质，求函数值 8.【答案】B
【解析】由三视图知此四棱锥为正四棱锥，底面是边长为正四棱锥的高即等边
三角形的高为3，体积是1
3123
V =⨯=．
【考点】立体几何：三视图与正四棱锥的体积
9.【答案】C
【解析】函数x x
x x e e y e e
--+=-中0x ≠，可排除A 、D ；()()0x x x x x x x x e e e e f x f x e e e e ----+++-=+=--，函数()
f x 为奇函数，22
()11
x x x x x e e f x e e e --+==+--在(0,)+∞上是减函数，排除B.
【考点】函数：函数的定义域、奇偶性、函数的单调性及其函数的图象
10.【答案】A
【解析】20177210n a =⇒=，0127b =，7083s a b n =-=≠；70838730n a =⇒=，0378b =，8352s a b n =-=≠；83528532n a =⇒=，2358b =，6174s a b n =-=≠； 61747641n a =⇒=，1467b =，6174s a b n =-==；所以6174s =. 【考点】程序框图与算法案例 11.【答案】B
【解析】当m ∥l ，且m α⊥时，由直线与平面垂直的判定定理知l α⊥，故①正确.当m ∥l ，且m ∥α时l ∥α或l α⊂，故②错误.当αβ⊥，γβ⊥时，α∥γ或α与γ相交，故③错误. 当l αβ=I ，m βγ=I ，n γα=I 时， l ∥m ∥n 或交于一点，故④错误. 【考点】立体几何：空间直线与平面之间的位置关系 12.【答案】D
【解析】因为满足(1)(1)r x r x +=-，则(2)[(1)1]()r x r x r x +=+-=，()r x 是周期为2的函数；作出()r x 与()h x 的图象，两图象在[3,4]-交于5个点即()f x 在[3,4]-上有5个零点.选D. 【考点】函数：函数图象与性质
13.
【解析】由a r ∥b r 知2b a =-r r
，|32||34|||a b a a a +=-==r r r r r 【考点】向量：向量的坐标表示、共线向量、向量的模 14.【答案】90
【解析】已知递减的等差数列{}n a ，15a =，301a =，301
(51)30902
S =+⨯=. 【考点】等差数列：求和 15.【答案】4
【解析】1o 由已知点(1,0)F ，抛物线C 的准线l ：1x =-，过A 、B 、D 分别作准线l 的垂线，垂足依次为A '、B '、D '，DD '交y 轴于点0D ，0||||1DD DD '=-；
2o DD '是梯形11AA B B 的中位线，11
||(||||)(||||)522
DD AA BB AF BF '''=+=+=，
0||||14DD DD '=-=．所以线段AB 的中点D 到y 轴的距离是4.
【考点】解析几何：抛物线的定义与标准方程、直线与二次曲线的相交问题
【来源】试题来源于课本人教A 版选修1-161P 例4改编而成.
16.【答案】①③
【解析】由单纯函数的定义可知单纯函数()f x 的自变量和函数值是一一映射，因此单调函数一定是单纯函数，但单纯函数不一定是单调函数，①③正确；当0a =时1
()f x x x
=+
在(0,)+∞不是单纯函数，②错误；函数()f x x =是单纯函数，但其定义域内不存在0x 使其导函数
0()0f x '=，④错误.
【考点】新定义，函数的性质及应用，简易逻辑
17.解（I)法一：当x π=时，,1)4x m ==u r ，21
(cos ,cos )()4422x x n ==r ，
1()()22f m n π=⋅=⋅=u r r 5分
法二：22(),1)(cos ,cos )cos cos 444444
x x x x x x
f x m n =⋅=⋅=+u r r
111
cos sin()2222262
x x x π=
++=++，
当x π=时，1()sin()262f πππ=++=；………………………………5分
(II)法一：ABC ∆中，由余弦定理及已知得22211
cos 222
a b c b C c b c a ab +-+=⋅
+=， 化简得222a c b ac +-=，…………………………………………………8分
由余弦定理得2221cos 222a c b ac B ac ac +-=
==，(0,)B π∈，所以3
B π
=.……12分
法二：ABC ∆中，由正弦定理及已知得1
sin cos sin sin sin()2B C C A B C +==+
11
sin cos cos sin sin cos sin 0cos 22B C B C C B C B =+⇒=≠⇒=，…10分
(0,)B π∈，所以3
B π
=
.…………………………………………………12分
【考点】向量，三角函数，解三角形
18.解：（I ）350.05450.15550.40650.30750.1057.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，该社区参加健美操运动人员的平均年龄为57.5岁；……………………5分
（II ）年龄在[30,40)的人员2人，依次记为1a 、2a ，年龄在[70,80]的人员4人，依次记为1b 、
2b 、3b 、4b ，从这6人中随机地选出2人有15种等可能的结果：1a 2a 、1a 1b 、1a 2b 、 1a 3b 、1a 4b 、2a 1b 、2a 2b 、2a 3b 、2a 4b 、1b 2b 、1b 3b 、1b 4b 、2b 3b 、2b 4b 、3b 4b ；
记事件A ：被采访的2人年龄恰好都在[70,80]，则A 包含6种结果，6
()0.415
P A ==.所以，被采访的2人年龄恰好都在[70,80]的概率为0.4．……………………12分 【考点】统计与概率
19.(I)证明：1o 因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC DE ⊥；…2分
2o 菱形ABCD 中，AC BD ⊥；DE BD D =I ，所以AC ⊥平面BDE .…………5分
法二：1o 因为DE ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD ； ……………2分
2o 菱形ABCD 中，AC BD ⊥；平面BDE I 平面ABCD BD =；所以AC ⊥平面BDE .
……………5分
(II)当4DE =时直线AC ∥平面BEF .理由如下：…………………………………7分
1o 设菱形ABCD 中对角线AC BD O =I ，BE 的中点为M ，则OM 为BDE ∆的中位线， OM ∥DE
FM ；………………………………………………………11分
3o 因为AC ⊄平面BEF ，FM ⊂平面BEF ，所以直线AC ∥平面BEF .……12分
法二：1o 设菱形ABCD 中对角线AC BD O =I ，DE 的中点为N ，则ON 为BDE ∆的中位线，ON ∥
BE ；ON ⊄平面BEF ，BE ⊂平面BEF ，所以直线ON ∥平面BEF ；
EF ；AN ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以直线AN ∥平面BEF ；
3o AN ON N =I ，AN ⊂平面AON ，ON ⊂平面AON ，所以平面AON ∥平面BEF .
4o 因为AC ⊂平面AON ，所以直线AC ∥平面BEF .………………12分
【考点】直线、平面的平行与垂直关系
【试题来源】试题来源于课本人教A 版必修266P 探究改编而成.
20．（I ）设点(,)M x y ，0(,)P x y ，(,0)D x ，由已知23DM DP =u u u u r u u u r 得023y y =即03
2
y y =，点
3
(,)2
P x y ；…………………………………………………2分
因为点3(,)2P x y 在圆229x y +=上运动，得2
23()92x y +=即22194x y +
=；…4分 所以点M 的轨迹E 的方程为22
194
x y +
=．…………………………………………5分 （II ）1o 直线l ：y kx m =+与221x y +=相切，
1d =
=即221m k =+；7分
2o
设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由224936
x y y kx m
⎧+=⎨
=+⎩得222(94)189360k x kmx m +++-=，直线l 与E 交于两点得222144(94)144(83)0k m k ∆=+-=+>，1221894
km
x x k +=-
+，
212293694m x x k -=+，从而22
12122436()()94
m k y y kx m kx m k -=++=+；…………9分
3o
11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+=u u u r u u u r 2222
133636235
(1)94994
m k k k --=-+++， 又2550944k <
≤+，25911944k <+≤+，22323523
(1)49949k -≤-+<-
+．…11分 所以，OA OB ⋅u u u r u u u r 的的取值范围2323
[,)49--．………………………………………12分
【考点】直线与椭圆.
【试题来源】试题来源于课本人教A 版选修1-134P 例题改编而成
21.解：（I ）当4a =时，32()241f x x x =-+，4
()6()3
f x x x '=-，
x
(,0)-∞ 0
4(0,)3 43 4
(,)3+∞ ()f x ' +
_
0 +
()f x
Z 极大值 ] 极小值 Z
所以，函数()y f x =的极大值为(0)1f =；………………………………4分
（II ）32()21f x x ax =-+在R 上有且仅有两个零点，()6()3
a
f x x x '=-.
当0a >时，
函数在(,0)-∞上递增且恰有1个零点，(0)10f =>，因而必有
3()10327
a a f =-=得30a =>，所以3a =；…………………………6分 当0a =时，2()60f x x '=≥，函数()y f x =在(,)-∞+∞上递增，函数()y f x =至多 有一个零点，不符合题意，舍去；………………………………………7分 当0a <时，
函数()y f x =在(,)3a -∞上递增且恰有1个零点，但在(,)3
a
+∞上无零点，因而函数
()y f x =在R 只有1个零点，不符合题意，应舍去.
综上所述，3a =；………………………………………………………………8分
(其它解法酌情给分)
（III ）证明：由（I ）当4a =时，32()241f x x x =-+在[2,)x ∈+∞递增，有
()(2)10f x f ≥=>，当n N ∈且2n ≥时，32()241(2)0f n n n f =-+≥>，从而
x (,0)-∞ 0 (0,)3a 3a (,)3
a +∞ ()f x ' + 0 _ 0
+ ()f x Z 1
] 3
127a - Z
x (,)3a -∞
3a (,0)3
a 0 (0,)+∞ ()f x ' + 0 _ 0
+ ()f x Z 3
127a -
] 1 Z
322410n n >->，
321211
412121
n n n n <=-
--+，2,3,,n n =L ……10分 3333
111111111111
()()()23435572121321
n n n n ++++<-+-++-=--++L L . 所以，3333111111
234321
n n ++++<-+L (n N ∈且2)n ≥.………………12分
【考点】函数与导数：函数的性质及应用.
【试题来源】试题来源于课本人教A 版选修1-194P 例题4改编而成
22、解：（Ⅰ）圆C ：23cos 3sin x y α
α=+⎧⎨=⎩(α为参数)得圆C 的直角坐标方程：22(2)9x y -+=，圆
心C 的直角坐标(2,0)C ．………………………………………………4分 （Ⅱ）1o .直线l 的直角坐标方程：0x y -=；………………………………5分
2o .圆心(2,0)C 到直线l 的距离
d =
=C 的半径3r =，
弦长||AB ==8分
3o .ABC ∆的面积11
||22
AB d =
⨯=⨯=…………………10分 【考点】坐标系与参数方程
23、解：（Ⅰ）当0x ≥时，()3131f x x x x >⇒++>⇒>，得1x >；…1分 当1x ≤-时，()3(1)32f x x x x >⇒--+>⇒<-，得2x <-；…………2分 当10x -<<时，()3(1)331f x x x >⇒-++>⇒<，矛盾，得x φ∈；…3分 综上所术，不等式()3f x >的解集为{|2x x <-或1}x > .
（Ⅱ）1o .对x R ∀∈，()|||1||(1)|1f x x x x x =++≥-+=，即min ()1f x =；…6分
2o .对x R ∀∈，232()0m m f x ++≥恒成立⇔对x R ∀∈，2min 32()0m m f x ++≥恒成立⇔对
x R ∀∈，2320m m ++≥；………………………………………………8分 3o .解不等式2320m m ++≥得1m ≥-或2m ≤-.…………………………………9分
所以实数m 的取值范围为(,2][1,)-∞--+∞U .………………………………………10分 【考点】不等式选讲
襄阳市优质高中2017届高三联考试题文科数学参考答案
①③
17.解（I)法一：当x π=时，,1)4x m ==u r ，21
(cos ,cos )()4422x x n ==r ，
1())2f m n π=⋅=⋅=u r r 5分
法二：22(),1)(cos ,cos )cos cos 444444
x x x x x x
f x m n =⋅=⋅=+u r r
111
cos sin()2222262
x x x π=
++=++，
当x π=时，11
()sin()2622
f πππ+=++=；………………………………5分
(II)法一：ABC ∆中，由余弦定理及已知得22211
cos 222
a b c b C c b c a ab +-+=⋅
+=， 化简得222a c b ac +-=，…………………………………………………8分
由余弦定理得2221cos 222a c b ac B ac ac +-=
==，(0,)B π∈，所以3
B π
=.……12分 法二：ABC ∆中，由正弦定理及已知得1
sin cos sin sin sin()2B C C A B C +==+
11
sin cos cos sin sin cos sin 0cos 22
B C B C C B C B =+⇒=≠⇒=，…10分
(0,)B π∈，所以3
B π
=
.…………………………………………………12分
18.解：（I ）350.05450.15550.40650.30750.1057.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，该社区参加健美操运动人员的平均年龄为57.5岁；……………………5分
（II ）年龄在[30,40)的人员2人，依次记为1a 、2a ，年龄在[70,80]的人员4人，依次记为1b 、
2b 、3b 、4b ，从这6人中随机地选出2人有15种等可能的结果：1a 2a 、1a 1b 、1a 2b 、 1a 3b 、1a 4b 、2a 1b 、2a 2b 、2a 3b 、2a 4b 、1b 2b 、1b 3b 、1b 4b 、2b 3b 、2b 4b 、3b 4b ；
记事件A ：被采访的2人年龄恰好都在[70,80]，则A 包含6种结果，6
()0.415
P A ==.所以，被采访的2人年龄恰好都在[70,80]的概率为0.4．……………………12分
19.(I)证明：1o 因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC DE ⊥；…2分
2o 菱形ABCD 中，AC BD ⊥；DE BD D =I ，所以AC ⊥平面BDE .…………5分
法二：1o 因为DE ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD ； ……………2分
2o 菱形ABCD 中，AC BD ⊥；平面BDE I 平面ABCD BD =；所以AC ⊥平面BDE .
……………5分
(II)当4DE =时直线AC ∥平面BEF .理由如下：…………………………………7分
1o 设菱形ABCD 中对角线AC BD O =I ，BE 的中点为M ，则OM 为BDE ∆的中位线， OM ∥DE
FM ；………………………………………………………11分
3o 因为AC ⊄平面BEF ，FM ⊂平面BEF ，所以直线AC ∥平面BEF .……12分
法二：1o 设菱形ABCD 中对角线AC BD O =I ，DE 的中点为N ，则ON 为BDE ∆的中位线，ON ∥
BE ；ON ⊄平面BEF ，BE ⊂平面BEF ，所以直线ON ∥平面BEF ；
EF ；AN ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以直线AN ∥平面BEF ；
3o AN ON N =I ，AN ⊂平面AON ，ON ⊂平面AON ，所以平面AON ∥平面BEF .
4o 因为AC ⊂平面AON ，所以直线AC ∥平面BEF .………………12分
20．（I ）设点(,)M x y ，0(,)P x y ，(,0)D x ，由已知23DM DP =u u u u r u u u r 得023y y =即03
2
y y =，点
3
(,)2
P x y ；…………………………………………………2分
因为点3(,)2P x y 在圆229x y +=上运动，得2
23()92x y +=即22194x y +
=；…4分 所以点M 的轨迹E 的方程为22
194
x y +
=．…………………………………………5分 （II ）1o 直线l ：y kx m =+与221x y +=相切，
1d =
=即221m k =+；7分
2o
设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由224936
x y y kx m
⎧+=⎨
=+⎩得222(94)189360k x kmx m +++-=，直线l 与E 交于两点得222144(94)144(83)0k m k ∆=+-=+>，122
1894
km
x x k +=-
+， 212293694m x x k -=+，从而22
12122
436()()94
m k y y kx m kx m k -=++=+；…………9分 3o
11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+=
u u u r u u u r 2222133636235
(1)94994
m k k k --=-+++， 又2550944k <
≤+，25911944k <+≤+，2
2323523
(1)49949k -≤-+<-+．…11分 所以，OA OB ⋅u u u r u u u r 的的取值范围2323
[,)49
--．………………………………………12分
21.解：（I ）当4a =时，32()241f x x x =-+，4
()6()3
f x x x '=-，
x (,0)-∞ 0 4(0,)3 43 4(,)3
+∞
()f x ' + 0 _ 0
+ ()f x
Z
极大值 ] 极小值 Z
所以，函数()y f x =的极大值为(0)1f =；………………………………4分
（II ）32()21f x x ax =-+在R 上有且仅有两个零点，()6()3
a
f x x x '=-.
当0a =时，2()60f x x '=≥，函数()y f x =在(,)-∞+∞上递增，函数()y f x =至多 有一个零点，不符合题意，舍去；………………………………………5分
当0a >时，
函数在(,0)-∞上递增且恰有1个零点，(0)10f =>，因而必有
3()10327
a a f =-=得30a =>，所以3a =；…………………………6分
x (,0)-∞ 0 (0,)3a 3a (,)3
a +∞ ()f x ' + 0 _ 0
+ ()f x Z 1
] 3
127a - Z
当0a <时，
函数()y f x =在(,)3a -∞上递增且恰有1个零点，但在(,)3
a
+∞上无零点，因而函数()
y f x =在R 只有1个零点，不符合题意，应舍去. …………………7分
综上所述，3a =；………………………………………………………………8分 (其它解法酌情给分)
（III ）证明：由（I ）当4a =时，32()241f x x x =-+在[2,)x ∈+∞递增，有
()(2)10f x f ≥=>，当n N ∈且1n >时，32()241(2)0f n n n f =-+≥>，从而
322410n n >->，
32
1211
412121
n n n n <=---+，2,3,,n n =L ……10分 3333111111111111
()()()23435572121321
n n n n ++++<-+-++-=-
-++L L . 所以，3333111111
234321
n n ++++<-+L (n N ∈且2)n ≥.………………12分
22、解：（Ⅰ）圆C ：23cos 3sin x y α
α=+⎧⎨=⎩(α为参数)得圆C 的直角坐标方程：22(2)9x y -+=，圆
心C 的直角坐标(2,0)C ．………………………………………………4分 （Ⅱ）1o .直线l 的直角坐标方程：0x y -=；………………………………5分
2o .圆心(2,0)C 到直线l
的距离d =
=C 的半径3r =，
弦长||AB ==8分
3o .ABC ∆
的面积11
||22
AB d =
⨯=⨯=…………………10分 23、解：（Ⅰ）当0x ≥时，()3131f x x x x >⇒++>⇒>，得1x >；…1分 当1x ≤-时，()3(1)32f x x x x >⇒--+>⇒<-，得2x <-；…………2分 当10x -<<时，()3(1)331f x x x >⇒-++>⇒<，矛盾，得x φ∈；…3分 综上所术，不等式()3f x >的解集为{|2x x <-或1}x > .
x
(,)3a -∞
3a (,0)3a 0 (0,)+∞ ()f x ' + 0 _
0 +
()f x
Z
3
127
a - ]
1 Z
（Ⅱ）1o .对x R ∀∈，()|||1||(1)|1f x x x x x =++≥-+=，即min ()1f x =；…6分
2o .对x R ∀∈，232()0m m f x ++≥恒成立⇔对x R ∀∈，2min 32()0m m f x ++≥恒成立⇔对
x R ∀∈，2320m m ++≥；………………………………………………8分 3o .解不等式2320m m ++≥得1m ≥-或2m ≤-.…………………………………9分
所以实数m 的取值范围为(,2][1,)-∞--+∞U .………………………………………10分。