东北大学现代控制理论试卷

（5 分）
理想特征多项式为
f * ( x ) (s 1)3 s 3 3s 2 3s 1
列方程，比较系数求得
（1 分）
0 E 0 1
（2 分） 全维状态观测器为
ˆ A EC x ˆ Bu Ey x
（2
0 0 y , 1
————2 分
y 1 0 x ————1 分
2（5 分）试从如下的高阶微分方程求得系统的状态方程和输出方程
y 3 y 8 y 5u
解：选取状态变量 x1
y ， x2 y ， x3 y ，可得 ————1 分
x1 x2 x2 x3 x3 8 x1 3x3 5u y x1
1 1 1 E 1 3 2 1
又因为 E 非奇异，所以能用实现解耦控制。
c A 6 3 0 F 1 c 2 A 0 1 1
（2 分） （1 分） （2 分）
求出 u kx Lv 4 给定系统的状态空间表达式为
1 2 0 2 x 0 u, x 0 1 1 1 0 1 1 y 1 0 0 x
s 1 0 ( sI A2 ) 1 s 2
1
1
1 s 1 1 1 s 2 s 1
0 ………..……….（2 分） 1 s2
e
A2t
L
1
sI A
1 2
et 2t t e e
试判定系统的能控性。 （5 分） 解： ① 取拉氏变换知
(2s3 2) y(s) (s3 s 2)u(s)
g ( s)
1 s 1 1 1 2 3 2 2( s 1) 2 s s 1 2
（3 分）
其状态空间最小实现为
0 1 0 1 1 x x u ； y 0 x 2 2 1 1 1
x 1 x 1 x 2 ② 判定系统 在原点的稳定性。(5 分) x 2 2x 1 3x 2
解 ①显然原点为一个平衡点，根据克拉索夫斯基方法，可知
1 1 2 cos x1 2 1 2 cos x1 1 F a1 1 2 cos x1 2a1 2 cos x1 a1 1
解
y 0 1 1 ，判定该系统是否完全能控？
2 1 0 CA 0 1 1 0 2 0 0 2 3 ………..……….（1 分） 0 0 3 2 1 0 CA 0 2 3 0 2 0 0 4 9 ……..……….（1 分） 0 0 3
0 et e 2 t et
0 1 et 0 0 0 ……………..……….（2 分） 2t e 2t 1 e
2 1 0 4 （5 分）已知系统 x 0 2 0 x, 0 0 3
————1 分
写成
0 1 0 0 x 0 0 1 x 0 u 8 0 3 5
————2 分
y 1 0 0 x ————1 分
1 0 0 1 3 （10 分）已知系统 x 0 1 0 x, x(0) 0 ，求 x(t ) 0 1 2 1
（5 分）
组合系统传递函数为
G (s ) G2 (s )G1(s )

（2 分） （3 分）
1 s 3 s 3 s 1 (s 1)(s 1) (s 1)(s 1)2
2006 年现代控制理论 B 卷试题及答案
1（10 分）导航制导中的飞行器软着陆或火箭垂直升空问题，可以抽象成如图 1 所示的模型 来表示。 各种外界因素 （包括重力加速度） 可以归结为一个假设的弹簧， 其弹性系数设为 k 。 设物体的质量为 m ，推力为 u 。试建立此模型的状态方程和输出方程。
（2 分） （2 分）
②
uc B
0 1 1
AB
1
n 1
A B
2 ，秩为 2， 1 1 0 1
系统状态不完全能控。 2 已知系统的状态空间表达式为
1 0 0 0 x x u ； y 1 0x ； x(0) t 0 1 1
2
C 0 1 1 UO CA 0 2 3 ………………..……….（1 分） 2 CA 0 4 9
rankUO 2 n ，所以该系统不完全能观……..….…….（2 分）
5 （10 分）将下列状态方程化为能控标准形
（3 分）
试求当 u t; t 0 时，系统的输出 y (t ) 。 （10 分） 解
1 (t , t0 ) 2 2 0.5t 0.5t0
0 ， 1
t
（5 分）
x (t ) (t , 0)x (0) (t , )B ( )d
0
（3 分） （2 分）
解 I A
1
2
1
3
（3 分） 2 4 5 ，两个特征根均具有负实部，
系统大范围一致渐近稳定。 （2 分） 无大范围扣一分，无一致渐近扣一分。
1 1 1 x x u 0 0 1
6 已知系统
试将其化为能控标准型。 （10 分）
1 2 1 x x u 3 4 1
解
U C b
1 1 Ab ……..…………….…….（1 分） 1 7
7 U C 1 81 8
1 P 1 8
1 P2 4
0 e
2t t
0 ………..……….（2 分） e 2t
0 0 ……….……….（2 分） e 2t
et 1 e At L1 sI A 0 (0)
et 0 0
2
x2 0
1
x2
求出串联后系统
1
2
解 组合系统状态空间表达式为
1 2 0 0 1 0 1 0 0 1 x u , y 0 0 0 1 x x 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
y 1
3 给定系统的状态空间表达式为
3 1 0 0 0 2 1 1 0 0 1 x 1 0u ， y x x 0 2 1 0 1 1 0 1
试确定该系统能否状态反馈解耦，若能，则将其解耦（10 分） 解
1 2

（2 分）
P 2 1
2
1
1 2 1 1 1 ,P 1 1 1 2
（2 分）
0 1 0 能控标准型为 x x u 0 1 1
（2 分）
7 已知子系统
1
x1
1 2 1 y 1 0 x 1 x 1 u， 1 1 1 0 1 1 1 x2 1 0 0 1 u,2 y 2
分）
1 2 0 ˆ 0 1 1 x 0 1 0 2 0u 1
1 x1 x2 x 5 ①已知非线性系统 2 2 sin x1 a1 x2 x
试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的 a1 的范围。 （5 分）
解
1 0 0 A A 0 1 0 1 0 1 2 O
A1 1,
O A2
1 0 A2 1 2
e A1t e At 0
0 e A2t
e A1t et …………………………..……….（2 分）
0 1 1 2 解 uc ， uc1 1 1 1 0 2 2
1 1 p1 0 1uc1 0 1 1 2 2 1 2 2 1 1 p2 p1A 2 2
（2 分）
0
1
（2 分）
1 1 1 2 0 0
因为 2 0 ；所以，当
2 1 2 cos x1
1 2 cos x1 2a1
4a1 (1 2 cos x1 )2 0
9 时，不等式恒成立。 4
时，该系统在原点大范围渐近稳定。解上述不等式知，a1 即 a1
9 时，系统在原点大范围渐近稳定。 4
x 1 x 1 x 2 ② 判定系统 在原点的稳定性。 x 2 2x 1 3x 2
解：由牛顿第二定律得 ————1 分
ma ks u m
令 x1 ————2 分 d2s ks u 2 dt
s ， x2 v ， y s ，得 ————1 分
x1 x2 x2 k 1 x1 u m m
————2 分
y x1 ————1 分
写成
0 1 0 x 1 u x k 0 m m
s 1 E1 2 0 E2 s 1 1 s 3 3s 2 3s 1 E1s 2 2E1s E1 2 2E3 2E 2s 2E 2 1 E 3 0 s 1
s 3 (3 E1 )s 2 (6 2E1 3E3 )s E1 E2 3E3 3
设计一个具有特征值为 1， 1， 1 的全维状态观测器（10 分）
E1 解 令E E 2 , 代入系统得 E 2
s sI ( A EC ) s 1 2 0 E1 0 1 1 E 2 1 0 0 s 1 0 1 E 3
2005 年现代控制理论试题及答案
2 y u 2u ，试求其状态空间最小实现。 1 ①已知系统 2 （5 分） y u
②设系统的状态方程及输出方程为
1 1 0 0 x 0 1 0 x 1 u ; y 0 0 1 x 0 1 1 1
0 0 c1 B 2 1 1 1 0 1 1 ， 0 1 0 0 c2 B 0 2 1 1 0 2 1 0 1
所以 d1 d2 0 ，
（4 分） （1 分）
E 1 1 E 1 。 E2 2 1