试卷分类汇编_三角形全等

三角形全等
一、选择题
1. （2012海南省3分）图是一个风筝设计图，其主体部分（四边形ABCD）关于BD所在的
直线对称，AC与BD相交于点O，且AB≠AD，则下列判断不正确
．．．的是【】
A．△ABD≌△CBD B．△ABC≌△ADC C．△AOB≌△COB D．△AOD≌△COD 【答案】B。

【考点】全等三角形的判定，轴对称的性质。

【分析】根据轴对称的性质，知△ABD≌△CBD，△AOB≌△COB，△AOD≌△COD。

由于AB≠AD，从而△ABC和△ADC不全等。

故选B。

2. （2012四川巴中3分）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD
的条件
是【】
A. AB=AC
B. ∠BAC=90°
C. BD=AC
D. ∠B=45°
【答案】A。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】添加AB=AC，符合判定定理HL。

而添加∠BAC=90°，或BD=AC，或∠B=45°，不能使△ABD≌△ACD。

故选A。

3. （2012贵州贵阳3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是【】
A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF
【答案】B。

【考点】全等三角形的判定。

190187。

【分析】应用全等三角形的判定方法逐一作出判断：
A、由AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F构成SSA，不符合全等的条件，不能推出
△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、由AB=DE，BC=EF和∠B=∠E构成SAS，符合全等的条件，能推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；
C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA。

由AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA构成SSA，不符合全等的条件，不能推出
△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、由AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF构成SSA，不符合全等的条件，不能推出
△ABC≌△DEF，故本选项错误。

故选B。

4. （2012山东泰安3分）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是【】
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D。

【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。

【分析】连接DE并延长交AB于H，
∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE。

∵E是AC中点，∴DE=EH。

∴△DCE≌△HAE（AAS）。

∴DE=HE，DC=AH。

∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线。

∴EF=1
2 BH。

∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2。

∴EF=1。

故选D。

5. （2012山东淄博4分）已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是【】
(A)两条边长分别为4，5，它们的夹角为β
(B)两个角是β，它们的夹边为4
(C)三条边长分别是4，5，5
(D)两条边长是5，一个角是β
【答案】D。

【考点】全等三角形的判定，等腰三角形的性质。

【分析】(A)由SAS知两三角形全等：(B)由ASA知两三角形全等：(C) 由SSS知两三角形全等：(D) 当顶角为β时，两三角形不一定全等。

故选D。

6.
6. （2012广西柳州3分）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，
如果
△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是【】
A．PO B．PQ C．MO D．MQ
【答案】B。

【考点】全等三角形的应用。

【分析】根据全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长。

故选B。

7. （2012广西玉林、防城港3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC≠BD，则图中全等三角形有【】
A.4对
B. 6对.
C.8对
D.10对
【答案】C。

【考点】菱形的性质，全等三角形的判定。

【分析】根据菱形四边形等，对角线互相垂直且平分，结合全等三角形的判定即可得出答案：由四个直角坐标三角形可组成6对全等三角形：△ABO≌△ADO、△ABO≌△CBO、△ABO≌△CDO、△AOD≌△COB、△AOD≌△COD、△DOC≌△BOC；
两条对角分菱形可组成2对全等三角形：△ABD≌△CBD，△ABC≌△ADC。

共8对。

故选C。

二、填空题
1. （2012山东临沂3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= ▲ cm．
【答案】3。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°。

∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°。

∴∠ECF=∠B，
在△ABC和△FEC中，∵∠ECF=∠B，EC=BC，∠ACB=∠FEC=90°，
∴△ABC≌△FEC（ASA）。

∴AC=EF。

∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，∴AE=5﹣2=3cm。

2. （2012山东潍坊3分）如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件▲ ，使ΔABC≌ΔDBE． (只需添加一个即可)
【答案】∠BDE=∠BAC（答案不唯一）。

【考点】全等三角形的判定，开放型。

【分析】根据∠ABD=∠CBE可以证明得到∠ABC=∠DBE，然后根据利用的证明方法，“ASA”“SAS”“AAS”分别写出第三个条件即可：
∵∠ABD=∠CBE，∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，即∠ABC=∠DBE。

∵AB=DB，
∴①用“ASA”，需添加∠BDE=∠BAC；
②用“SAS”，需添加BE=BC；
③用“AAS”，需添加∠ACB=∠DEB。

3. （2012甘肃白银4分）如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是▲ ．（只需填一个即可）
【答案】∠A=∠F（答案不唯一）。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，AD=BF，则AB=CF，具备了两组边对应相等，故添加夹角∠A=∠F，利用SAS可证全等；或添加AC∥EF得夹角∠A=∠F，利用SAS可证全等；或添加BC=DE，利用SSS可证全等。

（答案不唯一）
4. （2012青海省2分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE=AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是▲ （只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）．
【答案】∠ADC=∠AEB（答案不唯一）。

【考点】开放型，全等三角形的判定。

【分析】∵∠A=∠A，AE=AD，
∴添加：∠ADC=∠AEB（ASA），∠B=∠C（AAS），AB=AC（SAS），∠BDO=∠CEO（ASA）可得△ABE≌△ACD。

故填：∠ADC=∠AEB或∠B=∠C或AB=AC或∠BDO=∠C EO。

5. （2012黑龙江牡丹江3分）如图．点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE．请写出图中的全等三角形▲ (写出一对即可)．
【答案】△ABD≌△ACE（答案不唯一）。

【考点】开放型，等腰三角形的性质，全等三角形的判定。

【分析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，则
∵AB=AC，AD=AE（已知），
∴BH=CH，DH=EH（等腰三角形三线合一）。

∴BH－DH=CH-EH，即BD=CE。

∴△ABD≌△ACE（SSS）。

还可得△ABE≌△AC D（SSS）。

6. （2012黑河、黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）如图，己知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是▲ (填一个即可)
【答案】AB=DC（答案不唯一）。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】∵AC=BD，BC是公共边，
∴要使△ABC≌△DCB，需添加：①AB=DC（SSS）或②∠ACB=∠DBC（SAS）。

三、解答题
2. （2012广东佛山6分）如图，已知AB=DC，DB=AC
（1）求证：∠ABD=∠DCA，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．
（2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？
【答案】证明：（1）连接AD，
在△BAD和△CDA中，
∵ AB=CD （已知），DB=AC（已知）， AD=AD（公共边），
∴△BAD≌△CDA（SSS）。

∴∠ABD=∠DCA（全等三角形对应角相等）。

（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）连接AD，证明三角形BAD和三角形CAD全等即可得到结论；
（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形。

3. （2012广东广州9分）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD．
【答案】证明：∵在△ABE和△ACD中，∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C．
∴△ABE≌△ACD（ASA）。

∴BE=CD。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】由已知和∠A=∠A，根据ASA证△ABE≌△ACD，根据全等三角形的性质即可求出答案。

4. （2012浙江绍兴8分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别
交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于1
2
EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于
点P，作射线AP，交CD于点M。

（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN。

【答案】（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°。

又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°。

由作法知，AM是∠ACB的平分线，∴∠AMB=1
2
∠CAB=33°。

（2）证明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，
∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA。

∴∠CAN=∠CMN。

又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC。

在△ACN和△MCN中，
∵∠ANC=∠MNC，∠CAN=∠CMN，CN=CN，∴△ACN≌△MCN（AAS）。

【考点】平行的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定。

【分析】（1）由作法知，AM是∠ACB的平分线，由AB∥CD，根据两直线平行同旁内角互补的性质，得∠CAB=66°，从而求得∠MAB的度数。

（2）要证△ACN≌△MCN，由已知，CN⊥AM即∠ANC=∠MNC=90°；又CN是公共边，故只要再有一边或一角相等即可，考虑到AB∥CD和AM是∠ACB的平分线，有∠CAN=∠MAB =∠CMN。

从而得证。

5. （2012江苏常州5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，
求证：∠DBC=∠DCB。

【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。

又∵AB=AC，AD=AD，∴△BAD≌△CAD（SAS）。

∴BD=CD。

∴∠DBC=∠DCB。

【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。

【分析】由已知，根据SAS可证△BAD≌△CAD，从而根据全等三角形对应边相等的性质可得BD=CD，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠DBC=∠DCB。

6. （2012江苏镇江6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且∠GDF=∠ADF。

（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由。

【答案】解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE（两直线平行，内错角相等）。

∵E是AB的中点，∴AE=BE。

又∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE（AAS）。

（2）EG与DF的位置关系是EG⊥DF。

理由如下：
∵∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF，
∴∠GDF=∠BFE（等量代换）。

∴GD=GF（等角对等边）。

又∵△ADE≌△BFE，∴DE=EF（全等三角形对应边相等）。

∴EG⊥DF（等腰三角形三线合一）。

【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。

【分析】（1）由已知，应用AAS即可证明△ADE≌△BFE。

（2）由∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF可得∠GDF=∠BFE，从而根据等角对等边得GD=GF；由（1）△ADE≌△BFE可得DE=EF。

根据等腰三角形三线合一的性质可得EG⊥DF。

7. （2012广东河源6分）如图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，AC和BD交于点O，E是AD的中点，连接OE．
(1)求证：△AOD≌△DOC；
(2)求∠AEO的度数．
【答案】解：（1）证明：在△AOB和△COD中，∵∠B＝∠C，∠AOB=∠DOC，AB=DC，
∴△AOB≌△COD（AAS）。

（2）∵△AOB≌△COD，∴AO=DO。

∵E是AD的中点，∴OE⊥AD。

∴∠AEO=90°。

【考点】对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。

【分析】（1）由已知可以利用AAS来判定其全等；
（2）根据全等三角形对应边相等的性质得AO=DO，再根据等腰三角形三线合一的性质即可求得∠AEO=90°。

8. （2012福建厦门6分）已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D，AC＝DF，且AC∥DF.
求证：△ABC≌△DEF.
【答案】证明：∵ AC∥DF，∴ ∠ACB＝∠DFE。

又∵ ∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△EDF（ASA）。

【考点】平行的性质，全等三角形的判定。

【分析】利用ASA证明两三角形全等即可。

9. （2012福建福州7分）如图，点E、F在AC上，AB∥CD，AB＝CD，AE＝CF．求证：△ABF≌△CDE．
【答案】证明：∵ AB∥CD，∴ ∠A＝∠C。

∵ AE＝CF，∴ AE＋EF＝CF＋EF，即 AF＝CE。

又∵ AB＝CD，∴ △ABF≌△CDE（SAS）。

【考点】平行的性质，全等三角形的判定。

10. （2012湖北武汉6分）如图CE＝CB，CD＝CA，∠DCA＝∠ECB，求证：DE＝AB．
【答案】证明：∵∠DCA=∠ECB，∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE。

∴∠DCE=∠ACB。

∵在△DCE和△ACB中，DC=AC，∠DCE=∠ACB，CE=CB，
∴△DCE≌△ACB（SAS）。

∴DE=AB。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】求出∠DCE=∠ACB，根据SAS证△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可推出答案。

11. （2012湖北十堰6分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD．求证：∠B=∠D．
【答案】证明：连接AC，
在△ABC和△ADC中，
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）。

∴∠B=∠D。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】连接AC，由于AB=AD，CB=CD，AC=AC，由SSS可证△ABC≌△ADC，于是∠B=∠D。

12. （2012四川宜宾6分）如图，点A．B．D．E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F．求证：AC=EF．
【答案】证明：∵AD=EB∴AD﹣BD=EB﹣BD，即AB=ED。

又∵BC∥DF，∴∠CBD=∠FDB 。

∴∠ABC=∠EDF 。

又∵∠C=∠F，∴△ABC≌△EDF（AAS）。

∴AC=EF。

【考点】平行的性质，补角的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据BC∥DF证得∠CBD=∠FDB，利用邻角的补角相等证得∠ABC=∠EDF，然后根据AD=EB得到AB=CD，利用AAS证明两三角形全等即可。

13. （2012辽宁铁岭12分）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°,AB=AD=25，BC=32.
连接BD，
AE⊥BD，垂足为E.
(1)求证：△ABE∽△DBC;
(2)求线段AE的长.
【答案】解：（1）证明：∵AB=AD=25，∴∠ABD=∠ADB。

∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC。

∴∠ABD=∠DBC。

∵AE⊥BD，∴∠AEB=∠C=90°。

∴△ABE∽△DBC。

（2）∵AB=AD，又AE⊥BD，∴BE=DE。

∴BD=2BE。

由△ABE∽△DBC，得AB BE BD BC
=。

∵AB=AD=25，BC=32，∴
25BE
2BE32
=，解得BE=20。

∴AE15
==。

【考点】直角梯形的性质，等腰三角形的性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD=∠ADB，由AD∥BC可知，∠ADB=∠DBC，由此可得∠ABD=∠DBC，又∵∠AEB=∠C=90°，利用“AA”可证△ABE∽△DBC。

（2）由等腰三角形的性质可知，BD=2BE，根据△ABE∽△DBC，利用相似比求BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE。

14. （2012贵州铜仁10分）如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求证：△ADE≌△CBF．
【答案】证明：∵AE∥CF，∴∠AED=∠CFB。

∵DF=BE，∴DF+EF=BE+EF，即DE=BF。

∵在△ADE和△CBF中，AE=CF，∠AED=∠CFB，DE=BF，
∴△ADE≌△CBF（SAS）。

【考点】平行的性质，全等三角形的判定。

【分析】利用平行线的性质得出∠AED=∠CFB，由DF=BE根据等量加等量和相等得出DE=BF，
利用SAS即可证出结论。

15. （2012山东滨州12分）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．
（1）求证：△ADF≌△CBE；
（2）求正方形ABCD的面积；
（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3
表示正方形ABCD的面积S．
【答案】解：（1）证明：在Rt△AFD和Rt△CEB中，
∵AD=BC，AF=CE，∴Rt△AFD≌Rt△CEB（HL）。

（2）∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，∴∠CBE=∠BAH。

又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°，∴△ABH≌△BCE（AAS）。

同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF。

∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4×1
2
×2×1+1+1=5。

（3）由（1）知，△AFD≌△CEB，故h1=h3，由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，
∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4×1
2
（h1+h2）•h1+h22=2h12+2h1h2+h22．
【考点】全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，正方形的性质。

【分析】（1）直接根据HL定理得出Rt△AFD≌Rt△CEB。

（2）由AAS定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，再根据S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形
HEGF即可得出结论。

（3）由△AFD≌△CEB可得出h1=h3，再根据（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，
可知
S 正方形ABCD =4S △ABH +S 正方形HEGF ，从而得出结论。

16. （2012山东莱芜9分）某市规划局计划在一坡角为16º的斜坡AB 上安装一球形雕塑，
其横截面示意
图如图所示．已知支架AC 与斜坡AB 的夹角为28º，支架BD⊥A B 于点B ，且AC 、BD 的延长
线均过⊙O
的圆心，AB ＝12m ，⊙O 的半径为1.5m ，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离(结果精确到
0.01m ，参考
数据：cos28º≈0.9，sin62º≈0.9，sin44º≈0.7，cos46º≈0.7)．
【答案】解：如图，过点O 作水平地面的垂线，垂足为点E 。

在Rt△AOB 中，AB cos OAB OA ∠=，即012cos28OA =， ∴0
12
12OA 13.3330.9cos28=≈≈。

∵∠BAE=160，∴∠OAE=280＋160=440。

在Rt△AOE 中，OE sin OAE OA ∠=，即0OE sin4413.333
≈， ∴0OE 13.333sin4413.3330.79.333≈⨯≈⨯≈
9.333＋1.5=10.833≈10.83（m ）。

答：雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为10.83 m 。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】如图，过点O 作水平地面的垂线，构造Rt△AOE。

解Rt△AOB，求出OA ；解Rt△AOE，求出OE ，即可得出雕塑最顶端到水平地面的垂直距离。

6. （2012山东聊城7分）周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P 处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）．小船从P 处出发，沿北偏东60°划行200米到达A 处，接着向正南方向划行一段时间到达B 处．在B 处小亮观测妈妈所在的P 处在北偏西37°方向上，
这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）
【答案】解：作PD⊥AB 于点D ，
由已知得PA=200米，∠APD=30°，∠B=37°，
在Rt△PAD 中，
由cos30°=PD PA
，得（米）。

在Rt△PBD 中，
由sin37°=PD PB ，得PB=0PD 100 1.732880.6sin37
⨯≈≈（米）。

答：小亮与妈妈的距离约为288米。

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数。

【分析】作PD⊥AB 于点D ，分别在直角三角形PAD 和直角三角形PBD 中求得PD 和PB 即可求得结论。

7. （2012山东青岛8分）如图，某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹
角是22º时，
教学楼在建筑物的墙上留下高2m 的影子CE ；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A
在地面上的影
子F 与墙角C 有13m 的距离(B 、F 、C 在一条直线上)．
(1)求教学楼AB 的高度；
(2)学校要在A 、E 之间挂一些彩旗，请你求出A 、E 之间的距离(结果保留整数)．
(参考数据：sin22º≈38，cos22º≈1516，tan22º≈25)
【答案】解：（1）过点E 作EM⊥AB，垂足为M 。

设AB 为x ．
在Rt△ABF 中，∠AFB=45°，
∴BF=AB=x。

∴BC=BF＋FC=x ＋13。

在Rt△AEM 中，∠AEM=22°，AM=AB －BM=AB －CE=x －2， 又∵0AM tan22ME =，∴x 22x 135
-≈+，解得：x≈12。

∴教学楼的高12m 。

（2）由（1）可得ME=BC=x+13≈12+13=25。

在Rt△AME 中，0ME cos22AE
=
， ∴AE=ME cos22°≈15252716⨯≈。

∴A、E 之间的距离约为27m 。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用0AM tan22ME =
，求出即可。

（2）利用Rt△AME 中，0ME cos22AE
=，求出AE 即可。

17. （2012山东枣庄8分）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD 2＋
CD 2＝2AB 2
．
（1）求证：AB ＝BC ；
（2）当BE⊥AD 于E 时，试证明：BE ＝AE ＋CD ．
【答案】解：（1）证明：连接AC 。

∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2。

∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2。

∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2。

∴AB＝BC。

（2）证明：过C作CF⊥BE于F。

∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形。

∴CD＝EF。

∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF。

又∵AB＝BC，∠BEA＝∠CFB，∴△BAE≌△CBF（AAS）。

∴AE＝BF。

∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD。

【考点】勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理证明。

（2）可采用“截长”法证明，过点C作CF⊥BE于F，易证CD=EF，只需再证明AE=BF 即可，这一点又可通过全等三角形获证.
18. （2012广西南宁8分）如图所示，∠BAC=∠ABD=90°，AC=BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．
（1）图中有哪几对全等三角形？请写出来；
（2）试判断OE和AB的位置关系，并给予证明．
【答案】解：（1）△ABC≌△BAD，△AOE≌△BOE，△AOC≌△BOD。

（2）OE⊥AB。

证明如下：
∵在Rt△ABC和Rt△BAD中，AC=BD，∠BAC=∠ABD，AB=BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS）。

∴∠DAB=∠CBA。

∴OA=OB。

∵点E是AB的中点，∴OE⊥AB。

【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据全等三角形的定义可以得到：△ABC≌△BAD，△AOE≌△BOE，△AOC≌△BOD；
（2）首先证得：△ABC≌△BAD，则OA=OB，利用等腰三角形中由三线合一即可证得
OE⊥AB。

19. （2012广西钦州6分）如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，求证：AB=DC．
【答案】证明：∵点E，F在BC上，BE=CF，∴BE+EF=CFR+EF，即BF=CE。

在△ABF和△DCE中，∵∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，
∴△ABF≌△DCE（AAS）。

∴AB=CD（全等三角形的对应边相等）。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】利用全等三角形的判定定理AAS证得△ABF≌△DCE；然后由全等三角形的对应边相等证得AB=CD。

20. （2012广西来宾8分）如图，在 ABCD中，BE交对角线AC于点E，DF∥BE交AC于点F．
（1）写出图中所有的全等三角形（不得添加辅助线）；
（2）求证：BE=DF．
【答案】（1）解：全等三角形有：△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB，△ABC≌△CDA。

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC。

∴∠DAF=∠BCE。

又∵DF∥BE，∴∠AFD=∠CEB。

∴△AFD≌△CEB（AAS）。

∴BE=DF。

【考点】平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据平行四边形性质推出AD=BC，AB=CD，根据SSS证出△ABC≌△CDA即可；根据平行线性质推出∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，根据AAS证出△AFD≌△CEB即可；求出∠AEB=∠DFC，∠BAE=∠DCF，根据AAS证出△ABE≌△CDF即可。

（2）由△AFD≌△CEB推出即可。

21. （2012云南省5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E．求证：△ABC≌△MED．
【答案】证明：∵MD⊥AB，∴∠MDE=∠C=90°。

∵ME∥BC，∴∠B=∠MED。

在△ABC与△MED中，∵∠B=∠MED，∠C=∠EDM，DM=AC。

∴△ABC≌△MED（AAS）。

【考点】平行线的性质，全等三角形的判定。

【分析】根据平行线的性质可得出∠B=∠MED，结合全等三角形的判定定理AAS可判断△ABC≌△MED。

22. （2012江西南昌6分）如图，已知两个菱形ABCD．CEFG，其中点A．C．F在同一直线上，连接BE、DG．
（1）在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形；
（2）证明：BE=DG．
【答案】（1）解：△ADC≌△ABC，△GFC≌△EFC。

（2）证明：∵四边形ABCD．CEFG是菱形，
∴DC=BC，CG=CE，∠DCA=∠BCA，∠GCF=∠ECF。

∵∠ACF=180°，∴∠DCG=∠BCE，
在△DCG和△BCE中，∵DC=BC，∠DCG=∠BCE，CG=CE，
∴△DCG≌△BCE（SAS）。

∴BE=DG。

【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）△ADC≌△ABC，△GFC≌△EFC，根据菱形的性质推出AD=AB，DC=BC，根据SSS 即可证出结论。

（2）根据菱形性质求出DC=BC ，CG=CE ，推出∠DCG=∠BCE，根据SAS 证出△DCG≌△BCE 即可。

23. （2012吉林长春7分）某加工厂为赶制一批零件，通过提高加工费标准的方式调动工人的积性．工人每天加工零件获得的加工费y （元）与加工个数x （个）之间的函数图像为折线OA-AB-BC ，如图所示．
（1）求工人一天加工费不超过20个时每个零件的加工费．
（2）求40≤x≤60时y 与x 的函数关系式．
（3）小王两天一共加工了60个零件，共得到加工费220元，在这两天中，小王第一天加工的零件不足20个，求小王第一天加工零件的个数．
【答案】解：（1）由图象可知，当0≤x≤20时，每个零件的加工费为60÷20=3元，
即工人一天加工零件不超过20个时，每个零件的加工费为3元。

（2）当40≤x≤60时，设y 与x 的函数关系式为y=kx+b ，
将B （40，140），C （60，240）代入，得
40k b 140 60k b 240+=⎧⎨+=⎩，解得k 5 b 60=⎧⎨=-⎩。

∴y 与x 的函数关系式为y=5x －60。

（3）设小王第一天加工零件的个数为a ，则第二天加工零件的个数为（60－a ），
∵ 小王第一天加工的零件不足20个，小王两天一共加工了60个零件。

∴小王第二天加工的零件不足60个，超过40个。

由（2）知，第二天加工零件的加工费为5（60－a)－60。

∴5（60－a)－60=220－3a ，解得，a =10。

∴小王第一天加工零件10个。

【考点】一次函数和一元一次方程的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）当0≤x≤20时，由图象得出每个零件的加工费为60÷20=3元。

（2）当40≤x≤60时，设y与x的函数关系式为y=kx+b，将（20，60），（40，140）代入，列方程组求k、b的值即可。

（3）设小王第一天加工零件的个数为a，则第二天加工零件的个数为（60－a），由（2）知，第二天加工零件的加工费为5（60－a)－60，因此列方程5（60－a)－60=220－3a求解。

24. （2012吉林省7分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作□ABDE，
连接AD，EC．
（1）求证：△ADC≌△ECD；
（2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．
【答案】证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），
∴AB∥DE，AB=DE（平行四边形的对边平行且相等）。

∴∠B=∠EDC（两直线平行，同位角相等）。

又∵AB=AC（已知），∴AC=DE（等量代换），∠B=∠ACB（等边对等角）。

∴∠EDC=∠ACD（等量代换）。

在△ADC和△ECD中，∵AC=DE，∠ACD=∠EDC，DC=CD(公共边)，
∴△ADC≌△ECD（SAS）。

（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），
∴BD∥AE，BD=AE（平行四边形的对边平行且相等）。

∴AE∥CD。

又∵BD=CD，∴AE=CD（等量代换）。

∴四边形ADCE是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性质）。

∴∠ADC=90°。

∴□ADCE是矩形。

【考点】等腰三角形的性质，平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，
矩形的判定。

【分析】（1）根据平行四边形和等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△ADC≌△ECD。

（2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥C=BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形。

25. （2012黑龙江哈尔滨6分）如图，点B在射线AE上，∠CAE=∠DAE，∠CBE=∠DBE．
求证：AC=AD．
【答案】证明：∵∠ABC+∠CBE=180°，∠ABD+∠DBE=180°，∠CBE=∠DBE，∴∠ABC=∠ABD，在△ABC和△ABD中，∵∠CAE=∠DAE，AB=AB，∠ABC=∠ABD，
∴△ABC≌△ABD（ASA）。

∴AC=AD。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】根据等角的补角相等可得到∠ABC=∠ABD，再由条件∠CAE=∠DAE，AB=AB可利用ASA 证明△ABC≌△ABD，再根据全等三角形对应边相等可得结论。