高中数学培优课对称问题的解法湘教版选择性必修第一册

分析 设A(-2,3)关于直线的对称点为A'(x0,y0),根据对称性的特征建立方程
组求解.
解 设A'(x0,y0),由题意,
0 -3
·
3
0 +2
= -1,
0 = 4,
得
解得
0 = 1.
0 -2 0 +3
3· -1 = 0,
2
2
所以点A关于直线3x-y-1=0对称的点A'为(4,1).
规律方法 1.点关于直线对称问题的解法
若两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)对称,则线
段P1P2的中点在直线l上,且直线P1P2⊥直线l,
即
1 + 2
· 2 +
1 -2

·(- )
1 - 2

1 +2
· 2
+ = 0,
-1
-4
-1
3
-4
5
∴AC'所在直线的方程为24 =
5
3
= ,
5
24 故
= 5 .
点 A,C 的距离之和最小.
.
,整理得 19x+17y-93=0.
=
19 + 17-93 = 0,
解方程组
得
3--1 = 0,
=
即直线 AC'和直线 l 交点坐标为
C'的坐标为
3 24
,
5 5
11 26
(1)求直线l1关于直线l的对称直线l1'的方程;
(2)求直线l2关于直线l的对称直线l2'的方程.
解 (1)因为l1∥l,所以l1'∥l.
设直线l1'的方程为x-y+c=0(c≠3,且c≠-1).
在直线l1上取点M(0,3),设点M关于直线l的对称点为M'(a,b),
则
-3
× 1 = -1,

+0 +3
A.(-3,-1)
B.(2,4)
C.(-3,-2)
D.(2,-2)
解析 (方法1)设P(1,2)关于直线l:x+y+1=0对称的点为Q(a,b),则
-2
×
(-1)
=
-1,
-1
+1
+2
+
+1=
2
2
= -3,
解得
即 P(1,2)关于直线 l:x+y+1=0 对称的点为
= -2,
0,
(-3,-2).故选C.
(方法2)设直线l:2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线为l1,则l∥l1.
设直线l1的方程为2x+3y+t=0(t≠-6).
在直线2x+3y-6=0上任取一点P(0,2),点P(0,2)关于(-1,2)的对称点为P'(-2,2),
将P'(-2,2)代入2x+3y+t=0(t≠-6)得t=-2.故所求方程为2x+3y-2=0.故选D.
= -1( ≠ 0).
2.点关于特殊的直线的对称问题的结论
点的坐标
点P(x0,y0)
对称直线
结论
y=x
(y0,x0)
y=-x
(-y0,-x0)
x+y+t=0
(-t-y0,-t-x0)
x-y+t=0
(y0-t,x0+t)
变式训练2
已知点P(1,2)与直线l:x+y+1=0,则点P关于直线l的对称点坐标为( C )
点关于直线l的对称点
关于直线对称求解
利用点关于直线对称
求方程
变式训练3
(1)求直线l1:2x-y+6=0关于直线l:2x-y+1=0对称的直线l2的方程;
(2)求直线2x+y-4=0关于直线x-y+1=0对称的直线的方程.
解 (1)设直线l2的方程为2x-y+c=0(c≠6且c≠1),在直线l1:2x-y+6=0上取点
A.x+y+6=0
B.x+y-6=0
C.x+y=0
D.x-y=0
解析 ∵M(4,2),N(2,4),∴线段MN的中点坐标为(3,3),则kMN=
4-2
=-1.
2-4
∵M(4,2)与N(2,4)关于直线l对称,则直线MN与直线l垂直,故kl=1.
又直线l过点(3,3),∴直线l的方程为y-3=x-3,即x-y=0,故选D.
-4
3× =-1,化简得
线段 BB'的中点坐标为

∴3×
2
−
+4
-1=0,即
2
+4
,
2
2
a+3b-12=0.①
,且中点在直线 l 上,
3a-b-6=0.②
联立①②可得a=3,b=3,即B'点的坐标为(3,3).
于是直线
-1
AB'的方程为3-1
=
-4
,整理得
3-4
2x+y-9=0.
3--1 = 0,
= 2,
解方程组
得
= 5,
2 + -9 = 0,
即直线l与直线AB'的交点坐标为P(2,5),且此时点P到点A,B的距离之差最大.
(2)如图所示,设点C关于直线l的对称点为C'(m,n),
由题可知
3×
3×
-4
= -1,
-3
+3 +4
- 2 -1
2
解得
= 0,
方程为 x+2y-5=0.
探究点三 点关于直线对称问题的应用
【例4】 在直线l:3x-y-1=0上,求点P和Q,使得(1)点P到点A(4,1)和B(0,4)的
距离之差最大;(2)点Q到点A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.
解 (1)如图所示,设点B关于直线l的对称点B'的坐标为(a,b),
则 kBB'·kl=-1,即
(2)根据直线l关于直线外一点M的对称直线与已知直线互相平行可得对称
直线l'的斜率,再取直线l上任意一特殊点,求其关于点M的对称点,将该点代
入直线l'中,即可求出直线l'的方程.
变式训练1
已知直线l1与l2关于原点对称,若l1的方程是x+2y-3=0,则l2的方程是( A )
A.x+2y+3=0
B.x-2y+3=0
(方法2)设P(1,2)关于直线l:x+y+1=0对称的点为Q(a,b),则根据P(1,2)关于直
线l:x+y+1=0的对称性结论可知a=-y-1=-3,b=-x-1=-2,即P(1,2)关于直线
l:x+y+1=0对称的点为(-3,-2).
故选C.
角度2线关于线成轴对称问题
【例3】 已知直线l:x-y-1=0,l1:x-y+3=0,l2:2x-y-1=0.
B.3x-2y-23=0
C.2x+3y-4=0
D.2x+3y-2=0
解析 (方法1)设所求对称直线方程上的点的坐标为(x,y),则其关于点(-1,2)
对称的对称点的坐标为(-2-x,4-y).因为点(-2-x,4-y)在直线l:2x+3y-6=0上,所
以2(-2-x)+3(4-y)-6=0,整理得2x+3y-2=0.故选D.
-1-0
y= ×(x-2),整理得
0-2
x-2y-2=0.
规律方法 直线关于直线的对称直线方程的求解方法
设直线l1关于直线l的对称直线为l2.
直线l1与直线l的关系
平行
方法
l1∥l2∥l,取直线l1上一点,求 利用两直线平行及点
该点关于直线l的对称点
求l与l1的交点,再在直线l1
相交
过程
上取一点(不是交点),求该
对称的点的坐标为(1,2).
1 2 3 4 5 6
连接AB,则AB与直线l的交点
线l的同侧
即为所求
接AB'(或A'B)与直线l的
交点即为所求
两定点A,B在定直 连接AB,则AB与直线l的
或B)关于直线l的
对称点A'(或B'),连接AB'(或
A'B)与直线l的交点即为所求
变式训练4
(1)已知A(1,4),B(8,3),点P在x轴上,求使|AP|+|BP|取得最小值的点P的坐标;
规律方法 1.点关于点成中心对称的解法
若两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)关于点P0(x0,y0)中心对称,则
2.线关于点成中心对称问题的解法
1 + 2
0 =
,
2
1 + 2
0 =
.
2
(1)设出所求直线上的点的坐标P(x,y),求出点P(x,y)关于M的对称点P'的坐
标,将点P'的坐标代入已知直线,所得方程即为所求直线的方程;
P'(m,n).
由中点坐标公式及斜率关系可得
所以 P'点坐标为(3,1).
+4
- 2 +1=
2
-4
× 1 = -1,

0,
= 3,
解方程组可得
= 1,
因为直线 P'Q 方程的斜率为
2-1 1
k=1-3=-2,由点斜式可得直线
P'Q 的方程为
1
y-2=-2(x-1),整理得 x+2y-5=0,即直线 2x+y-4=0 关于直线 x-y+1=0 对称的直线
P(-2,2),设点P关于直线l:2x-y+1=0的对称点为P'(m,n),则
-2
·2 = -1,
+2
-2 +2
2· +1
2
2
= 2,
解得
即 P'的坐标为(2,0).将 P'的坐标代入方程
= 0,
= 0,
2x-y+c=0,解得 c=-4.故所求直线 l2 的方程为 2x-y-4=0.
(2)已知点A(1,3),B(5,-2),在x轴上找一点P使|AP|-|BP|最大,求点P的坐标.
解 (1)A(1,4)关于x轴的对称点为A'(1,-4),因为|AP|+|BP|=|A'P|+|BP|≥|A'B|,
当A',P,B三点共线时取等号,
此时点P为直线A'B与x轴的交点,直线A'B的直线方程为
,
7 7
11
,
7
26
.
7
,故 Q 点坐标为
11 26
,
7 7
,且此时点 Q 到
规律方法 求直线上一点到两定点的和(差)距离最值问题的求法
两定点A,B与定直 直线上寻找一点到两定
直线上寻找一点到两定点的
线l的关系
差的绝对值最大
点的和最小
过一定点A(或B)关于直
两定点A,B在定直 线l的对称点A'(或B'),连
(2)因为直线2x+y-4=0与直线x-y+1=0相交,联立直线方程可得
- + 1 = 0,
= 1,
解方程组可得
即两条直线的交点坐标为 Q(1,2).
= 2,
2 + -4 = 0,
在直线 2x+y-4=0 上取一个点 P(0,4),设 P(0,4)关于直线 x-y+1=0 的对称点为
当A,B',P三点共线时,|AP|-|B'P|=|AB'|.
所以|AP|-|B'P|≤|AB'|,当且仅当A,B',P三点共线时,等号成立,此时,直线AB'
的斜率为
3-2 1
k= =- ,直线
1-5 4
AB'的方程为
1
y-3=- (x-1),即
4
令 y=0,解得 x=13,即点 P 的坐标为(13,0).
y=x-5.
令y=0,得x=5,所以P点坐标为(5,0).
-3 -8
=
-4-3 1-8
,整理得
(2)如图所示,作点B关于x轴的对称点B'(5,2),由对称性可知|BP|=|B'P|,则
|AP|-|BP|=|AP|-|B'P|.
当A,B',P三点不共线时,由三角形三边关系得|AP|-|B'P|<|AB'|;
--1 = 0,
取直线 l2 上不同于点 A 的一点 B(1,1),设 B(1,1)关于 l 的对称点为 B'(m,n),则
+1 +1
-1
2
2
-1
= -1,
-1
= 0,
= 2,
解得
即点 B'的坐标为(2,0).
= 0,
所以过 A(0,-1)与 B'(2,0)的直线 l2'的方程为
课标要求
1.掌握平面上点关于点、线的对称问题的解法;
2.能够根据对称思想,求解实际问题.
目录索引
重难探究·能力素养全提升
学以致用·随堂检测全达标
重难探究·能力素养全提升
探究点一 点关于点、线的对称问题
【例1】 直线l:2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是( D )
A.3x-2y-10=0
-1 =
2
2
= 4,
解得
即点 M'的坐标为(4,-1).
= -1,
0,
把点M'的坐标代入直线l1'的方程,得4-(-1)+c=0,解得c=-5.
所以直线l1'的方程为x-y-5=0.
= 0,
2--1 = 0,
(2)由
得
所以 l2 与 l 的交点坐标为 A(0,-1).
= -1,
x+4y-13=0.
学以致用·随堂检测全达标
1.若点A(1,1)与点B(3,5)关于点M对称,则点M的坐标为( C )
A.(5,9)
B.(4,6)
C.(2,3)
D.(3,2)
解析 由题意可知点M是点A(1,1)与点B(3,5)的中点,因此点M的坐标为(2,3).
1 2 3 4 5 6
2.已知点M(4,2)与N(2,4)关于直线l对称,则直线l的方程为( D )
1 2 3 4 5 6
3.点P(-2,3)关于y轴对称的点的坐标为
(2,3)
.
解析 点关于y轴对称,横坐标相反,纵坐标相同,故P(-2,3)关于y轴对称的点
的坐标为(2,3).
1 2 3 4 5 6
4.点(2,1)关于直线y=x对称的点的坐标为
(1,2)
.
解析 因为点P(x,y)关于直线y=x的对称点为P'(y,x),所以点(2,1)关于直线y=x
C.2x+y+3=0
D.2x-y+3=0