2021-2022学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一(下)入学数学试卷

2021-2022学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（下）入学数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A＝{x|（x﹣2）（x+3）＜0}，B＝{x|log2（x﹣1）＜1}，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（1，3）C．（﹣3，2）D．（﹣3，3）
2．若p：|x|＝x，q：x2+x≥0，则p是q的（）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．既不充分也不必要D．充要
3．已知函数f（x）＝是奇函数，则实数a＝（）
A．1B．2C．D．
4．已知a＝20.3，b＝30.4，c＝log0.20.3，则（）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c
5．角α的始边在x轴非负半轴，终边在第二象限，与单位圆交点纵坐标为，将其终边逆时针旋转30度后与单位圆交点的横坐标是（）
A．B．C．D．
6．已知tan A＝2tan B，sin（A+B）＝，则sin（A﹣B）＝（）
A．B．C．D．﹣
7．已知函数f（x）＝恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，]D．（﹣∞，0）∪[，1）
8．中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，佩玉不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用．不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意．如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知AB＝CD＝4，BC＝3，AD＝7，则该玉佩的面积为（）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
（多选）9．已知sin2α＝，则sin（α+45°）的值可能是（）
A．﹣B．﹣C．D．
（多选）10．已知α，β是一锐角三角形的内角，则下列不等关系一定正确的是（）A．sinαsinβ＜B．cosαcosβ≤
C．sinα+sinβ＞1D．cosα+cosβ＜
（多选）11．德国数学家狄里克雷（Dirichlet，PeterGustavLejeune，1805﹣1859）在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数D（x），即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数D（x）的性质表述正确的是（）A．D（π）＝0
B．D（x）的值域为{0，1}
C．D（x）是偶函数
D．D（x）的图象关于直线对称
（多选）12．已知，下面结论正确的是（）A．若f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|的最小值为π，则ω＝2
B．存在ω∈（1，3），使得f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
C．若f（x）在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围是
D．若f（x）在上单调递增，则ω的取值范围是（0，]
三、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
13．已知幂函数f（x）的图象如图所示，则f（x）＝.（写出一个正确结果即可）
14．函数y＝log2（3x﹣2）+的定义域为．
15．已知x＞0，y＞0，2xy＝x+y+4，则x+y的最小值为．
16．1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系．全集U＝R，集合M＝{x|x2﹣2ax+2＜0}，N＝{x||log2x|≤1}的关系如图所示，其中区域Ⅰ，Ⅱ构成M，区域Ⅱ，Ⅲ构成N．若区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a的取值范围是．
17．设函数f（x）＝max{21﹣x，4﹣|x﹣2|}，若关于x的方程f（x）＝t有三个不相等的实数解，则实数t的取值范围是．
四、解答题（本题共5小题，18题9分，其余每小题9分，共49分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
18．已知函数．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）求证：；
（3）已知a，b∈（﹣1，1），且，，求f（a），f（b）的值．
19．（1）已知，求的值．
（2）求的值．
20．在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的关系为：
x234568
y 3.5 3.84 4.16 4.3 4.5根据表格中的数据画出散点图如图：
为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：
①y＝a log2x+b，
②y＝a+b，
③y＝2x﹣a+b．
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
（2）利用（4，4）和（8，4.5）这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到5百万个．
21．如图，点P（，0），Q（，0），R（0，）在函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象上．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）图象上的两点M（x1，y1），N（x2，y2）满足x1∈（0，），x2﹣x1＝，求四边形OMQN面积的最大值．
22．已知函数f（x）＝（x﹣1）•|x﹣a|﹣1，a∈R．
（1）若a＝0，解不等式f（x）＜1；
（2）若函数f（x）恰有三个零点x1，x2，x3，求++的取值范围．。