上饶市必修一第二单元《函数》测试题(有答案解析)

一、选择题
1．已知函数(1)f x +为偶函数，当0x >时，23()f x x x =+，则(2)f -=（ ）
A ．4-
B ．12
C ．36
D ．80
2．以下说法正确的有（ ）
（1）若(){},4A x y x y =
+=，(){},21B x y x y =-=，则{}3,1A
B =；
（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =； （3）函数1
y x
=
的单调区间是()(),00,-∞⋃+∞； （4）在映射:f A B →的作用下，A 中元素(),x y 与B 中元素()1,3x y --对应，则与B 中元素()0,1对应的A 中元素是()1,2 A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得
()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：
①函数3x y =具有性质M ； ②函数3y x x =-具有性质M ；
③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =. 其中正确的个数是（ ） A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
4．已知函数2()(3)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,9) B ．(3,+)∞
C ．(,9)-∞
D ．(0,9)
5．若函数
()f x =0,
，则实数m 的取值范围是
（ ） A ．()1,4 B ．()(),14,-∞⋃+∞ C ．(][)0,1
4,+∞ D ．[][)0,1
4,+∞
6．已知函数()y f x =的定义域为[]0,4，则函数0(2)
y x =-的定义域是（ ） A ．[1,5]
B ．((1,2)
(2,5) C ．(1,2)(2,3]⋃
D ．[1,2)(2,3]⋃
7．已知函数22
|1|,7,()ln ,.
x x e f x x e x e --⎧+-≤<=⎨≤≤⎩若存在实数m ，使得2
()24f m a a =-成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[-1，+∞)
B ．(-∞，-1]∪[3，+∞)
C ．[-1，3]
D ．(-∞，3]
8．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称，且当0x >时()f x 单调递减，若
()()()
1.360.5log 3,0.5,0.7,a f b f c f -===则,,a b c 的大小关系（ ）
A ．c a b >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．c b a >>
9．如图是定义在区间[]
5,5－上的函数()y f x =的图象，则下列关于函数()f x 的说法错误的是( )
A ．函数在区间[]
53－，－上单调递增
B ．函数在区间[]1,4上单调递增
C ．函数在区间][3,14,5⎡⎤⋃⎣⎦－上单调递减
D ．函数在区间[]5,5－上没有单调性
10．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2-x ），且对任意的x 1，x 2∈（-∞，1]（x 1≠x 2）有（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））＜0．则（ ） A ．()()()211f f f <-< B ．()()()121f f f <<- C ．()()()112f f f <-<
D ．()()()211f f f <<-
11．若函数()y f x =为奇函数，且在(),0∞-上单调递增，若()20f =，则不等式
()0f x >的解集为( )
A ．()()2,02,∞-⋃+
B ．()(),22,∞∞--⋃+
C ．()()
,20,2∞--⋃
D ．()()2,00,2-⋃
12．已知函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且()21f =，
()()()f xy f x f y =+，则不等式()()23f x f x +-≤（ ）
A ．()1,2
B ．[)1,3
C ．()2,4
D ．(]2,4
二、填空题
13．已知函数211,0,22()13,,12x x f x x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭
=⎨⎡⎤
⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩
，若存在12x x <，使得()()12f x f x =，则
()12x f x ⋅的取值范围为_____________.
14．函数()()2325f x kx k x =+--在[
)1
+∞，上单调递增，则k 的取值范围是________.
15．已知实数0a ≠，函数()2,12,1
x a x f x x a x +<⎧=⎨-+≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的取值
范围是___________.
16．已知(2)1(1)
()(1)
x
a x x f x a x -+<⎧=⎨
≥⎩满足对任意121212()(),0f x f x x x x x -≠>-都有成立，那么a 的取值范围是_______
17．函数2()23||f x x x =-的单调递减区间是________．
18．设集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，1,12B ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，函数()()1
,221,x x A f x x x B
⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩
，若
()()0f f x A ∈，则0x 的取值范围是__________．
19．若函数234y x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25
[,4]4
--，则m 的取值范围______.
20．对于函数()f x ，若在定义域内存在．．实数x ，满足()()f x f x -=-，称()f x 为“局部奇函数”，若()1
242
3x
x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取
值范围是______
三、解答题
21．已知函数()2()01
ax
f x a x =
≠+. （1）判断函数()f x 在()1,1-上的单调性，并用单调性的定义加以证明； （2）若2a =，函数满足44
()55
f x -
≤≤，求x 的取值范围. 22．已知二次函数()2
f x x bx c =++的图象经过点()1,13，且函数12y f x ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
是偶函数.
（1）求()f x 的解析式；
（2）已知2t <，()()2
13g x f x x x ⎡⎤=--⋅⎣⎦，求函数()g x 在区间[],2t 上的最大值和
最小值； 23．已知22()2
x a
f x x -=
+. （1）若0a =，证明：()f x
在递增，若()f x 在区间(12,1)m m --递增，求实数m 的范围；
（2）设关于x 的方程1
()f x x
=
的两个非零实根为1x ，2x ，试问：是否存在实数m ，使得
不等式2
121m tm x x ++≥-对任意[1,1]a ∈-及[1,1]t ∈-恒成立？如果存在求出m 的范围，如果不存在请说明理由. 24．已知函数()()21
0f x x x a
=-
+>. （1）判断()f x 在()0,∞+上的增减性，并用单调性定义证明. （2）若()20f x x +≥在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围. 25．在①()()121f x f x x +=+-，②()()11f x f x +=-且()03f =，③()2
f x ≥恒成立且
()03f =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知二次函数()f x 的图象经过点()1,2，_________． （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 在[]1,4-上的值域． 26．已知11012x f x x x ⎛⎫⎛⎫=<≤
⎪ ⎪-⎝⎭⎝
⎭.
（1）求()f x 的表达式；
（2）判断()f x 在其定义域内的单调性，并证明.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
首先根据函数(1)f x +为偶函数，得到(1)(1)f x f x +=-+，所以有(2)(4)f f -=，结合题中所给的函数解析式，代入求得结果. 【详解】
∵函数(1)f x +为偶函数，
所以图象关于y 轴对称，即(1)(1)f x f x +=-+， 构造(2)(31)(31)(4)f f f f -=-+=+=，而40>， 所以23(4)4+4=16(14)80f =⨯+=. 故选：D. 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题思路如下：
（1）根据函数(1)f x +为偶函数，得到(1)(1)f x f x +=-+； （2）根据(1)(1)f x f x +=-+，得到(2)(4)f f -=； （3）结合当0x >时，23()f x x x =+，将4x =代入求得结果.
2．B
解析：B 【分析】 根据A
B 为点集，可判断（1）的正误；根据奇函数的性质，可判断（2）的正误；分解
反比例函数的单调性，可判断（3）的正误；根据映射的概念，可判断（4）的正误. 【详解】 （1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}(3,1)A
B =，所以（1）
错误；
（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，所以（2）正确； （3）函数1
y x
=
的单调区间是(),0-∞和()0,∞+，所以（3）错误； （4）设A 中元素为(,)x y ，由题意可知1031x y -=⎧⎨
-=⎩，解得1
2
x y =⎧⎨=⎩，所以A 中元素是
()1,2，所以（4）正确；
所以正确命题的个数是2个， 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关命题的真假判断，在解题的过程中，关键点是要熟练掌握基础知识，此类题目综合性较强，属于中档题目.
3．C
解析：C 【分析】
根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断. 【详解】
解：对于①：3x
y =的定义域是R ，所以1
2
12()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.
对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=， 所以函数3x
y =具有性质M ，①正确；
对于②：函数3
y x x =-的定义域为R ，
所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，
所以函数3
y x x =-不具有性质M ，②错误；
对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，
要使得其具有M性质，则
8
8
8
8
1
log2
log(2)
1
log(2)
log2
t
t
⎧
≤
⎪+
⎪
⎨
⎪+≤
⎪⎩
，即88
log2log(2)1
t
⨯+=，
解得3
(2)8
t+=，510
t=，
故③正确；
故选：C.
【点睛】
本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.
4．D
解析：D
【分析】
根据所给条件，结合二次函数的图像与性质，分类讨论，即可得解.
【详解】
当0
m<时，二次函数2
()(3)1
f x mx m x
=--+的图像开口向下，()
g x mx
=单调递减，故存在x使得()
f x与()
g x同时为负，不符题意；
当0
m=时，()31
f x x
=-+，()0
g x=显然不成立；
当0
m>时，2109
m m
∆=-+，
若∆<0，即19
m
<<时，显然成立，
∆=，1
m=或9
m=，则1
m=时成立，9
m=时，
1
3
x=-时不成立，
若0
∆>，即01
m
<<或9
m>，由(0)1
f=可得：
若要()
f x与()
g x的值至少有一个为正数，如图，
则必须有
3
2
m
m
-
>，解得01
m
<<，
综上可得：09
m
<<，
故答案为：D.
【点睛】
本题考查了二次函数和一次函数的图像与性质，考查了分类讨论思想和计算能力，属于中
档题.解决此类问题的关键主要是讨论，涉及二次函数的讨论有： （1）如果平方项有参数，则先讨论； （2）再讨论根的判别式； （3）最后讨论根的分布.
5．D
解析：D 【分析】
令t =
()0,t ∈+∞
()0,+∞，记
函数()2
2(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，进而分0m =和0m ≠两种情况，分别讨论，可求出m 的取值范围. 【详解】
令t =
1
y t
=的值域为0,
，
根据反比例函数的性质，可知()0,t ∈+∞
()0,+∞， 记函数()2
2(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，
若0m =，则()41g x x =-+，其值域为R ，满足()0,A +∞⊆；
若0m ≠，则00m >⎧⎨∆≥⎩，即()2
4240
m m m >⎧⎪⎨--≥⎪⎩，解得4m ≥或01m <≤. 综上所述，实数m 的取值范围是[][)0,14,+∞.
故选：D.
6．C
解析：C 【分析】
由函数定义域的定义，结合函数0(2)y x =-有意义，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】
由题意，函数()y f x =的定义域为[]0,4，即[]
0,4x ∈，
则函数0(2)y x =-满足014
1020
x x x ≤+≤⎧⎪
->⎨⎪-≠⎩
，解得13x <≤且2x ≠，
所以函数0(2)y x =+-的定义域是(1,2)(2,3]⋃. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义，根据题设条件和函数的解析式有意义，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
7．C
解析：C 【分析】
根据函数()f x 的图象，得出值域为[2-，6]，利用存在实数m ，使2()24f m a a =-成立，可得22246a a --，求解得答案． 【详解】
作出函数2
2
|1|,7()ln ,x x e f x x e x e --⎧+-<=⎨⎩
的图象如图： (7)6f -=，2()2f e -=-，∴值域为[2-，6]，
若存在实数m ，使得2
()24f m a a =-成立，
22246a a ∴--，解得13a -，
∴实数a 的取值范围是[1-，3]．
故选：C
【点睛】
本题考查分段函数的性质，考查函数值域的求解方法，同时考查了数形结合思想的应用，属于中档题．函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
8．A
解析：A 【分析】
函数()f x 是偶函数，判断出自变量的大小，利用函数的单调性比较大小得出答案． 【详解】
函数()f x 的图像关于y 轴对称，
∴函数()f x 为偶函数， ∵0.50.5log 3log 10<=，
∴()
()120.52log 3log 3log 3f f f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
， ∴2221log 2log 3log 42=<<=， 1.3 1.30.522-=>，600.71<<． ∵当0x >时，()f x 单调递减，∴c a b >>， 故选：A 【点睛】
本题考查函数性质的综合应用，考查函数的单调性和奇偶性，考查指数和对数的单调性，属于中档题．
9．C
解析：C 【详解】
由图象可知，函数在[-5，-3]和[1，4]两个区间单调递增，则A 、B 选项是正确的； 又因为函数在[-3，1]和[4，5]两个区间上分别单调递减， 但在区间[-3，1]∪[4，5]上没有单调性，则C 选项错误； 观察函数图象可知函数在[-5，5]上没有单调性，则D 选项正确. 故选C.
要知道四个选项中哪个是错误的，考虑先根据函数图象写出函数的单调区间； 根据题意可知，函数在[-5，-3]和[1，4]两个区间单调递增，据此可判断A 、B 选项； 函数在[-3，1]和[4，5]上单调递减，据此判断其余选项，试试吧！
10．B
解析：B 【分析】
由已知得函数f （x ）图象关于x=1对称且在（-∞，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，从而可判断出大小关系. 【详解】
解：∵当x 1，x 2∈（-∞，1]（x 1≠x 2）时有（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））＜0， ∴f （x ）在（-∞，1]上单调递减， ∵f （x ）=f （2-x ），
∴函数f （x ）的图象关于x=1对称，则f （x ）在∈（1，+∞）上单调递增， ∴f （-1）=f （3）>f （2）＞f （1） 即f （-1）＞f （2）＞f （1） 故选B ． 【点睛】
本题考查函数的对称性及单调性的应用，解题的关键是函数性质的灵活应用．
11．A
解析：A
【分析】
根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣2）=﹣f （2）=0，结合函数的单调性分析可得在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0，再结合函数的奇偶性可得在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0，综合即可得答案． 【详解】
根据题意，函数y=f （x ）为奇函数，且f （2）=0， 则f （﹣2）=﹣f （2）=0，
又由f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，
则在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0， 又由函数y=f （x ）为奇函数，
则在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0， 综合可得：不等式f （x ）＞0的解集（﹣2，0）∪（2，+∞）； 故选A ． 【点睛】
本题考查函数单调性奇偶性的应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．
12．D
解析：D 【分析】
根据()()()f xy f x f y =+且()21f =可得()42f =，8
3f ，则
()()23f x f x +-≤可化为()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，然后根据单调性求解.
【详解】
根据()()()f xy f x f y =+可得，()()23f x f x +-≤可转化为()23f x x -≤⎡⎤⎣⎦， 又()()()()422222f f f f =+==，
所以()()()842213f f f =+=+=，即()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，
因为()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，所以只需满足()28
020x x x x ⎧-≤⎪
>⎨⎪->⎩
，解得：24x <≤.
故选：D. 【点睛】
本题考查抽象函数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，难度一般，根据题目条件将问题灵活转化是关键.
二、填空题
13．【分析】根据条件作出函数图象求解出的范围利用和换元法将变形为二次函数的形式从而求解出其取值范围【详解】由解析式得大致图象如下图所示：
由图可知：当时且则令解得：又令则即故答案为：【点睛】思路点睛：根据
解析：31,162⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【分析】
根据条件作出函数图象求解出1x 的范围，利用()()12f x f x =和换元法将()12x f x ⋅变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围. 【详解】
由解析式得()f x 大致图象如下图所示：
由图可知：当12x x <时且()()12f x f x =，则令2
11322x ⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭
，解得：14x =， 111,42x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，又()()12f x f x =，221221333,124x x x ⎛⎫
⎡⎫∴+=∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝
⎭，
()2222121332x f x x x ⎛
⎫∴⋅=⋅- ⎪⎝
⎭，
令2
233,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则()()22
11113,124164x f x g t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎡⎫⋅==-=--∈ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎭
，
()31,162g t ⎡⎫
∴∈⎪⎢⎣⎭
，即()2131,162x f x ⎡⋅⎫∈⎪⎢⎣⎭.
故答案为：31,162⎡⎫
⎪⎢⎣
⎭ 【点睛】
思路点睛：根据分段函数的函数值相等关系可将所求式子统一为一个变量表示的函数的形式，进而根据函数值域的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误.
14．【分析】根据函数的解析式分和两种情况讨论利用一次二次函数的性质即可求解【详解】由已知函数在上单调递增可得当时函数在上单调递减不满足题意；当时则满足解得综上所述实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题主
解析：25⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
， 【分析】
根据函数的解析式，分0k =和0k ≠两种情况讨论，利用一次、二次函数的性质，即可求解. 【详解】
由已知函数()()2
325f x kx k x =+--在[
)1
+∞，上单调递增可得， 当0k =时，函数()25f x x =--在[)1
+∞，上单调递减，不满足题意； 当0k ≠时，则满足0
3212k k k >⎧⎪
-⎨-≤⎪⎩，解得25k ≥，
综上所述，实数k 的取值范围是2
5
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，
. 故答案为：25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，
. 【点睛】
本题主要考查了函数单调性的应用，其中解答中熟记一次函数、二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
15．【分析】本题首先可讨论的情况此时然后根据函数的解析式求出和通过即可求出的值最后讨论的情况此时通过得出此时无解即可得出结果【详解】若则因为函数所以因为所以解得若则因为函数所以因为所以无解综上所述的取值
解析：32⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
【分析】
本题首先可讨论0a >的情况，此时11a -<、11a +>，然后根据函数()f x 的解析式求出()1f a -和()1f a +，通过()()11f a f a -=+即可求出a 的值，最后讨论0a <的情况，此时11a ->、11a +<，通过()()11f a f a -=+得出此时a 无解，即可得出结果. 【详解】
若0a >，则11a -<，11a +>，
因为函数()2,1
2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨-+≥⎩
，
所以1212f a
a a a ，1121f a a a
a ，
因为()()11f a f a -=+，所以21a a ，解得3
2
a =
， 若0a <，则11a ->，11a +<，
因为函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨-+≥⎩
，
所以11213f a
a a a ，12123f a a a a ，
因为()()11f a f a -=+，所以1323a a ，无解，
综上所述，32a =
，a 的取值范围是32⎧⎫⎨⎬⎩⎭
, 故答案为：32⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
.
【点睛】
本题考查分段函数的相关问题的求解，在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键，考查分类讨论思想，考查计算能力，是中档题.
16．【解析】由对任意成立可知函数在定义域上为增函数所以：解得答案为：
解析：3[,2)2
【解析】
由对任意()()121212
,0f x f x x x x x -≠>-都有成立可知，函数()y f x =在定义域上为增函
数，
所以：20121
a a a a ->⎧⎪>⎨
⎪≥-+⎩
，解得3
22a ≤< 答案为：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭
.
17．【分析】讨论的符号去绝对值得到的分段函数形式根据其函数图象及对称轴即可确定单调递减区间【详解】函数图像如下图示可知的单调递减区间为故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调区间利用函数的图象及其对称性确
解析：33
(,],[0,]44
-∞-
【分析】
讨论x 的符号去绝对值，得到()f x 的分段函数形式，根据其函数图象及对称轴，即可确定单调递减区间 【详解】
函数2
2
223,0()23||23,0
x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨+<⎪⎩图像如下图示
可知，()f x 的单调递减区间为33(,],[0,]44
-∞- 故答案为：33(,],[0,]44
-∞- 【点睛】
本题考查了函数的单调区间，利用函数的图象及其对称性确定单调区间，属于简单题
18．【分析】采用换元法令分别在和两种情况下求得的范围进而继续通过讨论和来求得结果【详解】令则①若则解得：不满足舍去；②若则解得：即若则解得：；若则解得：综上所述：的取值范围为故答案为：【点睛】思路点睛：
解析：15,48⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
采用换元法，令()0f x t =，分别在t A ∈和t B ∈两种情况下求得t 的范围，进而继续通过讨论0x A ∈和0x B ∈来求得结果. 【详解】
令()0f x t =，则()f t A ∈. ①若t A ∈，则()12f t t =+，11022
t ∴≤+<，解得：1
02t -≤<，不满足t A ∈，舍
去；
②若t B ∈，则()()21f t t =-，()1
0212t ∴≤-<
，解得：314
t <≤，即()03
14
f x <≤，
若0x A ∈，则()0012f x x =+
，031142x ∴<+≤，解得：01142x <≤，011,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭
； 若0x B ∈，则()()0021f x x =-，()032114x ∴
<-≤，解得：015
28
x ≤<，015,28x ⎡⎫
∴∈⎪⎢⎣⎭
.
综上所述：0x 的取值范围为15,48⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故答案为：15,48⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
思路点睛：求解复合函数()()
f g x 类型的不等式或方程类问题时，通常采用换元法，令
()g x t =，通过求解不等式或方程得到t 满足的条件，进一步继续求解x 所满足的条件. 19．；【分析】根据函数的函数值结合函数的图象即可求解【详解】又故由二次函数图象可知：要使函数的定义域为值域为的值最小为；最大为3的取值范围是：故【点睛】本题考查了二次函数的定义域值域特别是利用抛物线的对
解析：
3
32m ≤≤； 【分析】
根据函数的函数值325
()24f =-，()(0)34f f ==-，结合函数的图象即可求解.
【详解】
22325
()34()24
f x x x x =--=--，
325
()24f ∴=-，又()(0)34f f ==-，
故由二次函数图象可知：
要使函数2
34y x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25
[,4]4
-
- m 的值最小为3
2
；
最大为3．
m 的取值范围是：
3
32
m ． 故
3
32
m
【点睛】
本题考查了二次函数的定义域、值域，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，考查了数形结合思想，属于基础题．
20．【解析】∵局部奇函数∴存在实数满足即令则即在上有解再令则在上有解函数的对称轴为分类讨论：①当时∴解得；②当时解得综合①②可知点睛：新定义主要是指即时定义新概念新公式新定理新法则新运算五种然后根据此新 解析：1322m ≤【解析】
∵()f x “局部奇函数”，∴存在实数x 满足()()f x f x -=-，
即2242234223x x x x m m m m ---⨯+-=-+⨯-+，令2(0)x
t t =>， 则
22
2112()260t m t m t t +-++-=， 即2
2
11()2()280t m t m t
t
+-++-=在(0,)t ∈+∞上有解，
再令1(2)h t h t
=+≥，则22
()2280g h h mh m =-+-=在[2,)h ∈+∞上有解，
函数的对称轴为h m =，分类讨论：
①当2m ≥时，()()g h g m ≥，∴222()2280g m m m m =-+-≤，解得222m ≤≤ ②当2m <时，()()2g h g ≥，2(2)44280g m m ∴=-+-≤，解得132m -≤<. 综合①②，可知1322m ≤
点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．
三、解答题
21．（1）答案见解析；（2）(][)11,2,2,22⎡⎤-∞--+∞⎢⎥⎣⎦
.
【分析】
（1）先设﹣1＜x 1＜x 2＜1，然后利用作差法比较f （x 2）与f （x 1）的大小即可判断函数的单调性，
（2）把a ＝2代入后，然后把分式不等式转化为二次不等式组求解即可． 【详解】
（1）当0a >时，函数()f x 在()1,1-上是增函数；当0a <时，()f x 在()1,1-上是减函数. 理由如下：当0a >时，任取1211x x -<<<，
21
212
221()()11
ax ax f x f x x x -=-++ 21122
221()(1)
(1)(1)
a x x x x x x --=
++. 因为111x -<<，211x -<<，∴1211x x -<<，1210x x ->，
2212(1)(1)0x x ++>，210x x ->，
所以
211222
12()(1)
0(1)(1)
x x x x x x -->++， 当0a >时，得21()()f x f x >，故函数()f x 在()1,1-上是增函数；
同理可证，当0a <时，21()()f x f x <，所以函数()f x 在()1,1-上是减函数，得证.
（2）2a =时，得22()1
x
f x x =
+， ∴44()55f x -≤≤，即2
424
515
x x -≤≤+，∴22
252011
2,,2222520
x x x x x x x ⎧++≥⇒≤--≤≤≥⎨-+≥⎩. 由此可得，x 的取值范围是(][)11,2,2,22⎡⎤
-∞--+∞⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】
过程点睛：用定义证明单调性时，第一步，任取12,x x 并规定大小；第二步，将函数值作差并化简；第三步，判断每个因式符号进而得到函数值大小；第四步，下结论. 22．（1）()2
11f x x x =++；（2）见详解.
【分析】
（1）根据二次函数过点()1,13，得到12b c +=，根据函数奇偶性，得到()y f x =关于直线1
2
x =-对称，求出b ，得出c ，即可得出函数解析式；
（2）先由（1）得到()222,0
2,0x x x g x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，分别讨论12t ≤<，01t ≤<，
10t ≤<，1t <四种情况，结合二次函数的性质，即可求出最值. 【详解】
（1）因为二次函数()2
f x x bx c =++的图象经过点()1,13，
所以131b c =++，即12b c +=①； 又函数12y f x ⎛⎫=-
⎪⎝⎭是偶函数，所以12y f x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭关于y 轴对称，
因此()y f x =关于直线1
2
x =-对称；
所以1
22
b -
=-，即1b =，代入①式可得11c =， 所以()2
11f x x x =++； （2）由（1）()2
11f x x x =++，
所以()()()22
2
22,0111322,0
x x x g x x x x x x x x x x ⎧-≥=++--⋅=-⋅=⎨-+<⎩，
因为()11g =-，当0x <时，由221x x -+=-解得1x = 因为[],2x t ∈，所以当12t ≤<时，()2
2g x x x =-在[],2t 上单调递增；
所以()()max 20g x g ==，()()2
min 2g x g t t t ==-；
当01t ≤<时，()2
2g x x x =-在(),1t 上单调递减，在()1,2上单调递增；
所以()()max 20g x g ==，()()min 11g x g ==-；
当10t <时，因为0x <时，()2
2g x x x =-+在[),0t 上单调递增，
则(()()()1100g g t g x g -=≤≤<=； []
0,2x ∈时，()2
2g x x x =-在()0,1上
单调递增，在()1,2上单调递增，所以()()()[]1,21,0g x g g ∈=-⎡⎤⎣⎦， 所以()()max 20g x g ==，()()min 11g x g ==-；
当1t <时，因为0x <时，()2
2g x x x =-+在[),0t 上单调递增，所以
()(()()
1100g t g g x g <-=-≤<<；[]0,2x ∈时，()[]221,0g x x x =-∈-，
所以()()max 20g x g ==，()()2
min 2g x g t t t ==-+；
综上，函数()g x 在区间[],2t 上的最大值()()max 20g x g ==，最小值为
(
)2min
22,11,112,12t t t g x t t t t ⎧-+<⎪⎪
=--≤<⎨⎪-≤<⎪⎩
. 【点睛】 方法点睛：
二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：（1）轴定区间定；（2）轴动区间定；（3）轴定区间动；不论哪种类型，解题时，都是讨论对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论. 23．（1
）证明见解析；2132
m +<≤
；（2）存在；2m ≥或2m ≤-. 【分析】
（1）运用单调性的定义，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤，可得f （x
）在
递增，由奇函数的性质推得f （x
）在(递增，可得m 的不等式组，解得
m 的范围；
（2）运用韦达定理和配方，可得|x 1﹣x 2|的最大值，再由m 2+tm ﹣2≥0对任意t ∈[﹣1，1]恒成立，设g （t ）＝m 2+tm ﹣2＝tm +m 2﹣2，由一次函数的单调性可得m 的不等式组，解不等式可得所求范围． 【详解】
（1）当0a =
时，任取12,x x ∈，12x x <， 则
()()()()()()()()
()()22
1221211212122222
2212212122222222222222x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+--⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭
，
12x x <∈()()211220x x x x ∴--<，()()120f x f x ∴-<，即()f x
在
递增；
∵()f x 为R 上的奇函数，∴()f x
在(递增，
又∵()f x 在区间(12,1)m m --
递增，则121121
m m m m ⎧≤-⎪⎪-≤⎨⎪-<-⎪⎩
，解得2132m +<≤
（2）由
2
21
2x a x x
-=+，得220x ax --=，此时280a ∆=+>恒成立，由于1x ，2x 是方程220x ax --=的两实根， 所以12122
x x a
x x +=⎧⎨
=-⎩，从而
12x x -=
=11a -≤≤，
123x x ∴-=，不等式2
121m tm x x ++≥-对任意[1,1]a ∈-及[1,1]t ∈-恒成
立，
当且仅当213m tm ++≥对任意[1,1]t ∈-恒成立，即220m tm +-≥对任意[1,1]t ∈-恒成立，
设22()22g t m tm tm m =+-=+-，则()0g t ≥对任意[1,1]t ∈-恒成立，
(1)0
(1)0g g ≥⎧∴⎨-≥⎩，即22
2020
m m m m ⎧+-≥⎨-+-≥⎩，解得2m ≥或2m ≤-. 【点睛】
方法点睛：证明函数的单调性.
定义法：在定义域内任意取值、作差和变形、定符号和下结论；
导数法：给函数求导，在定义域内判断导数的正负，若导数为正，则函数递增，若导数为负，则函数递减.
24．（1）答案见详解；（2）0a <. 【分析】
（1）根据定义法证明函数单调性即可； （2）先分离参数，即转化为21
2x x a
≤+在()0,∞+上恒成立，只需求二次函数值域，即得结果. 【详解】
解：（1）任取120x x <<，则12120,0x x x x +>-<，
()1f x ()()()222212*********=1x x x x x x x x f a x a ⎛⎫⎛⎫
-+--+=-=+-< ⎪ ⎭-⎪⎝⎝⎭
故()()12f x f x <，故()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）()20f x x +≥，即2120x x a -
++≥，即21
2x x a
≤+在()0,∞+上恒成立， 而二次函数()()2
2
211,0y x x x x =+=+->的值域为()0+∞，
，故1
0a
≤，故0a <. 所以a 的取值范围为0a <. 【点睛】
对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有： （1）分离参数法：参变分离，转化为函数最值问题；
（2）构造函数法：直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．
（3）数形结合法：画出函数图像，结合图象，根据关键点处的大小关系得到结果. 25．（1）()2
23x x x f =-+；（2）[]2,11.
【分析】
（1）若选①：利用待定系数法并结合()f x 的图象经过点()1,2求解二次函数()f x 的解析式；若选②：根据对称轴方程以及()03f =并结合()f x 的图象经过点()1,2求解二次函数()f x 的解析式；若选③：根据已知条件判断出()1,2为图象的最低点，由此分析出对称轴，则二次函数的解析式可求;
（2）根据（1）得到()f x 的解析式，然后利用配方法和整体替换的方法求解出()212x -+的取值范围，则()f x 在[]1,4-上的值域可求.
【详解】
解：若选①，
（1）设()()2
0f x ax bx c a =++≠， 则()()()()2
21112f x a x b x c ax a b x a b c +=++++=+++++．
因为()()121f x f x x +=+-，
所以()22221ax a b x a b c ax bx c x +++++=+++-， 所以221a a b =⎧⎨+=-⎩
，解得1a =，2b =-． 因为()f x 的图象经过点()1,2，
所以()1122f a b c c =++=-+=，所以3c =．
故()2
23x x x f =-+． 若选②，
（1）设()()2
0f x ax bx c a =++≠， 则()f x 图象的对称轴方程为2b x a
=-． 由题意可得()()120312b a f c f a b c ⎧-=⎪⎪==⎨⎪=++=⎪⎩
，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．
故()2
23x x x f =-+． 若选③，
（1）()()2
0f x ax bx c a =++≠． 因为()03f =，所以3c =．
因为()()21f x f ≥=，所以()13212f a b b a ⎧=++=⎪⎨-=⎪⎩
，
解得1a =，2b =-．故()2
23x x x f =-+． （2）由（1）可知()()222312f x x x x =-+=-+．
因为14x -≤≤，所以213x -≤-≤，
所以()2019x ≤-≤，所以()221211x ≤-+≤．
即()f x 在[]1,4-上的值域为[]2,11．
【点睛】
方法点睛：求解函数解析式常用的方法有：
（1）换元法：适用于求解已知()()f g x 的解析式求解()f x 的解析式的类型；
（2）待定系数法：适用于已知函数的类型求解函数解析式，如已知函数为一次函数可设()()0f x kx b k =+≠或已知函数为二次函数可设()()20f x ax bx c a =++≠； （3）方程组法：适用于已知()(),f x f x -组成的方程求解()f x 的解析式或已知
()1,f x f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
组成的方程求解()f x 的解析式的类型. 26．（1）()1(2)1f x x x =
≥-；（2）()f x 在[)2,+∞上递减，证明见解析. 【分析】
（1）令1(2)t t x =≥，则1x t
=，求得()1(2)1f t t t =≥-，从而可得答案. （2）()f x 在[)2,+∞上递减，证任取122x x >≥，则210x x -<，1110x ->>，2110x -≥>，可证明()()120f x f x -<，从而可得结论.
【详解】
（1）令1(2)t t x =≥，则1x t
= 因为11012x f x x x ⎛⎫⎛⎫=<≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝
⎭ 所以()1
11(2)11t t
f t t t ==≥--， 所以()1(2)1
f x x x =≥-； （2）()f x 在[)2,+∞上递减，证明如下：
任取122x x >≥，则210x x -<，1110x ->>，2110x -≥>，
因为()()12121111
f x f x x x -=---
()()()()
21121111x x x x ---=-- ()()
2112011x x x x -=<-- 所以()()12f x f x <，
则()f x 在[)2,+∞上递减.
【点睛】
方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x -> 可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数.。