【小初高学习】2018高中数学(人教B版)必修五学案：第一章 1.1.1 正弦定理(一) Word版

1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理(一)
[学习目标] 1.通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．
[知识链接]
下列说法中，正确的有________．
(1)在直角三角形中，若C 为直角，则sin A ＝a c .
(2)在△ABC 中，若a ＞b ，则A ＞B .
(3)在△ABC 中，C ＝π－A －B .
(4)利用AAS 、SSA 都可以证明三角形全等．
(5)在△ABC 中，若sin B ＝
22，则B ＝π4
. 答案 (1)(2)(3)
解析 根据三角函数的定义，(1)正确；在三角形中，大边对大角，大角对大边，(2)正确；三角形的内角和为π，(3)正确；AAS 可以证明三角形全等，SSA 不能证明，(4)不正确；若sin B ＝22，则B ＝π4或3π4，(5)不正确，故(1)(2)(3)正确． [预习导引]
1．在Rt △ABC 中的有关定理
在Rt △ABC 中，C ＝90°，则有：
(1)A ＋B ＝90°，0°<A <90°，0°<B <90°；
(2)a 2＋b 2＝c 2(勾股定理)；
(3)a sin A ＝c ；b sin B ＝c ；c sin C
＝c . 2．正弦定理
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C
，这个比值是其外接圆的直径2R .
3．解三角形 一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
要点一 正弦定理的推导与证明
例1 在锐角△ABC 中，证明：a sin A ＝b sin B ＝c sin C
. 证明 如图，在锐角△ABC 中，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，有CD b ＝sin A ，CD a
＝sin B .
∴CD ＝b sin A ＝a sin B ．∴a sin A ＝b sin B
. 同理，b sin B ＝c sin C .∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C
成立． 规律方法 从正弦定理可以推出它的常用变形有：
(1)a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝c sin C
. (2)a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C
. (3)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B .
(4)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .
跟踪演练1 在钝角△ABC 中，如何证明a sin A ＝b sin B ＝c sin C
仍然成立？
证明 如图，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，则
CD b ＝sin A ，即CD ＝b sin A ；
CD a ＝sin(180°
－B )＝sin B ， 即CD ＝a sin B .
因此b sin A ＝a sin B ，即a sin A ＝b sin B
. 同理可证，b sin B ＝c sin C .因此a sin A ＝b sin B ＝c sin C
. 要点二 已知两角及一边解三角形
例2 已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：
(1)a ＝20，A ＝30°，C ＝45°；
(2)a ＝8，B ＝60°，C ＝75°.
解 (1)∵A ＝30°，C ＝45°；∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°，
由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝20sin 105°sin 30°
＝40sin(45°＋60°) ＝10(6＋2)；
c ＝a sin C sin A ＝20sin 45°sin 30°
＝202， ∴B ＝105°，b ＝10(6＋2)，c ＝20 2.
(2)A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°，
由正弦定理b sin B ＝a sin A
， 得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°
＝46， 由正弦定理a sin A ＝c sin C
， 得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6
42
2＝4(3＋1)． ∴A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)．
规律方法 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
跟踪演练2 在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，求边c .
解 由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°，
所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.
由正弦定理a sin A ＝c sin C
， 得c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·sin (60°＋45°)sin 30°
＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)． 要点三 已知两边及一边的对角解三角形
例3 在△ABC 中，分别根据下列条件解三角形：
(1)a ＝1，b ＝3，A ＝30°；
(2)a ＝3，b ＝1，B ＝120°.
解 (1)根据正弦定理，sin B ＝b sin A a ＝3sin 30°1＝32
. ∵b >a ，∴B >A ＝30°，∴B ＝60°或120°.
当B ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋60°)＝90°，
∴c ＝b sin C sin B ＝3sin 60°
＝2； 当B ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A ，∴c ＝a ＝1.
(2)根据正弦定理，sin A ＝a sin B b ＝3sin 120°1＝32
>1. 因为sin A ≤1.所以A 不存在，即无解．
规律方法 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
跟踪演练3 已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：
(1)a ＝2，c ＝6，C ＝π3
；
(2)a ＝2，c ＝6，A ＝π4
. 解 (1)∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22
. ∵c >a ，∴C >A .∴A ＝π4
. ∴B ＝5π12，b ＝c sin B sin C ＝6·sin 5π12sin π3
＝3＋1. (2)∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝32
. 又∵a <c ，∴C ＝π3或2π3
. 当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin B sin A
＝3＋1. 当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin B sin A
＝3－1.
1．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( )
A ．A >B
B ．A <B
C ．A ≥B
D ．A ，B 的大小关系不能确定
答案 A
解析 由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔a >b ⇔A >B .
2．在△ABC 中，一定成立的等式是( )
A ．a sin A ＝b sin B
B ．a cos A ＝b cos B
C ．a sin B ＝b sin A
D ．a cos B ＝b sin A 答案 C
解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B
，得a sin B ＝b sin A ，故选C. 3．在△ABC 中，已知A ＝150°，a ＝3，则其外接圆的半径R 的值为( )
A ．3
B. 3 C ．2
D ．不确定 答案 A
解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝3sin 150°
＝6＝2R ，∴R ＝3.
4．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
答案 B
解析 由sin A ＝sin C 知a ＝c ，
∴△ABC 为等腰三角形．
5．在△ABC 中，已知a ＝5，sin C ＝2sin A ，则c ＝________.
答案 2 5
解析 由正弦定理，得c ＝a sin C sin A
＝2a ＝2 5.
1．正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝c sin C
＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)． 2．正弦定理的应用范围
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．。