高考数学总复习44向量的应用及向量与其它知识的综合问题课后作业试题

2020年1月1日
创 作人：
历恰面 "【走向高考】2021年高考数学总复习 4-4 向量的应用及向量
与其它知识的综合问题课后作业 新人教A 版 "
创 作人：
历恰面 日 期： 2020年1月1日
1.(2021·考试院)如图，在△ABC 中，AB ＝5，C ＝3，CA ＝4，且O 是△ABC 的外心，那么OC →·CA →
＝( )
A ．6
B ．－6
C ．8
D ．－8 [答案] D
[解析] ∵AB 2
＝AC 2
＋BC 2
，∴∠ACB 为直角， ∵O 为△ABC 外心，
∴OC →·CA →＝－CO →·CA →＝－12(CA →＋CB →
)·CA →
＝－12|CA →|2－12
CB →·CA →
＝－8.
2．(2021·实验中学模拟)A 、B 、C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A,1)，q ＝(1，－cos B )，那么p 与q 的夹角是( )
A ．锐角
B ．钝角
C ．直角
D ．不确定 [答案] A
2020年1月1日
创 作人： 历恰面 [解析] p ·q ＝sin A －cos B ，假设p 与q 夹角为直角，那么p ·q ＝0，∴sin A ＝cos B ，∵A 、B ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝B ＝π4，
那么C ＝π2，与条件矛盾；假设p 与q 夹角为钝角，那么p ·q <0，
∴sin A <cos B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，
∵sin x 在⎝
⎛⎭⎪⎫0，
π2上为增函数，∴A <π2－B ，∴A ＋B <π2，∴C >π
2
这与条件矛盾，∴p 与q 的夹角为锐角．
3．(2021·联考)c 、d 为非零向量，且c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，那么|a |＝|b |是c ⊥d 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 因为c ，d 为非零向量，所以c ⊥d ⇔c ·d ＝0⇔a 2
－b 2
＝0⇔|a |2
－|b |2
＝0⇔|a |＝|b |.因此，|a |＝|b |是c ⊥d 的充要条件，选C.
4．(2021·中学期末)向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →
有最小值，那么P 点坐标为( )
A ．(－3,0)
B ．(3,0)
C ．(2,0)
D ．(4,0)
[答案] B
[解析] 设P (x,0)，那么AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，AP →·BP →
＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2
－6x ＋10＝(x －3)2
＋1，∴当x ＝3时AP →
·BP →
有最小值，
∴P (3,0)．
5．(2021·质量调研)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2
＋y 2
＝9相交于两点M 、N ，假设c 2
＝a
2
2020年1月1日
创 作人： 历恰面 ＋b 2
，那么OM →·ON →
(O 为坐标原点)等于( )
A ．－7
B ．－14
C ．7
D ．14 [答案] A
[解析] 记OM →、ON →
的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的间隔 等于|c |
a 2＋
b 2
＝1，∴cos θ＝13，∴cos2θ＝2cos 2
θ－1＝2×(13)2－1＝－79，∴OM →·ON →＝
3×3cos2θ＝－7，选A.
6．(2021·局部中学质量检测)在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，∠BAD ＝120°，P 是平面ABCD 内一点，AP →＝xAB →＋yAD →，当点P 在以A 为圆心，|AC →
|为半径的圆上时，有( )
A ．x 2
＋4y 2
＋2xy ＝3 B ．x 2＋4y 2
－2xy ＝3 C ．4x 2
＋y 2
＋2xy ＝3 D ．4x 2
＋y 2
－2xy ＝3
[答案] B
[解析] 设AB ＝m (m >0)，那么由得BC ＝AD ＝2m ，
AC ＝AB 2
＋BC 2
－2AB ·BC cos60°＝3m ，|AP →|＝|AC →
|＝3m ，
∵AP →＝xAB →＋yAD →，∴AP →2＝(xAB →＋yAD →
)2
，
∴3m 2
＝x 2
·m 2
＋y 2
·(2m )2
＋2xy ·m ·2m cos120°， 即有x 2
＋4y 2
－2xy ＝3，选B.
7．(2021·玉田一中质检)向量a ＝(x 2
，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，假设函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，那么t 的取值范围为________．
[答案] t ≥5
[解析] 由题意知，f (x )＝x 2
(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3
＋x 2
＋tx ＋t ，那么f ′(x )＝－
2020年1月1日
创 作人： 历恰面 3x 2
＋2x ＋t .假设f (x )在(－1,1)上是增函数，那么f ′(x )≥0在(－1，1)上恒成立⇔t ≥3x
2
－2x 在区间(－1，1)上恒成立，令g (x )＝3x 2
－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为x ＝13、开
口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2
－2x 在区间(－1,1)上恒成立，必有t ≥g (－1)成立，即t ≥5成立．故使f (x )在(－1,1)上是增函数的t 的取值范围是t ≥5.
8.
如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，假设P 为半径OC 上的动点，那么(PA →＋PB →)·PC →
的最小值为________．
[答案] －9
2
[解析] 设PC ＝x ，那么0≤x ≤3.(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →
＝－2x ×(3－x )＝2x 2
－6x ＝2(x －32)2－92，所以(PA →＋PB →)·PC →的最小值为－9
2
.
1.(文)(2021·质检)
在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，那么MA →·MD →
＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 [答案] B
2020年1月1日
创 作人：
历恰面 [解析] 由条件知AB ＝2，CD ＝1，BC ＝2， ∴MB ＝MC ＝
22
，
∴MC →·BA →＝|MC →|·|BA →|·cos45°＝22×2×2
2＝1，
MB →·CD →＝|MB →|·|CD →
|·cos135° ＝
22×1×⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－22＝－12， ∴MA →·MD →＝(MB →＋BA →)·(MC →＋CD →) ＝MB →·MC →＋MB →·CD →＋BA →·MC →＋BA →·CD → ＝－⎝
⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＋1＋2×1＝2，应选B. (理)如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，那么AO →·BC →
等于( )
2020年1月1日
创 作人： 历恰面
A.32
B.52 C ．2 D ．3
[答案] B
[解析] AO →
·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB →，因为OA ＝OB .所以AO →在AB →
上的投影为12|AB →|，所以AO →·AB →＝12|AB →|·|AB →|＝2，同理AO →·AC →＝12|AC →|·|AC →|＝9
2，故AO →·BC →＝92－2＝52
. 2．(文)(2021·一中)设O 为坐标原点，A (1,1)，假设点B (x ，y )满足
⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＋y 2
－2x －2y ＋1≥01≤x ≤21≤y ≤2
，那么OA →·OB →
获得最小值时，点B 的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．无数个 [答案] B
[解析] ∵x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0， 即(x －1)2
＋(y －1)2
＝1. ∴可行域为图中阴影局部，
2020年1月1日
创 作人： 历恰面
∵OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos〈OA →，OB →〉，又|OA →|为定值，∴当OB →·cos〈OA →，OB →〉取最小值时，OA →·OB →
取最小值，
∵y ＝cos x 在⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，
π2上为减函数，∴由图可知，当点B 在E 、F 位置时，∠AOB 最大，|OB →|最小，从而OA →·OB →
取最小值，应选B.
[点评]
可用数量积的坐标表示求解，设B (x ，y )，令OA →
·OB →
＝x ＋y ＝t ，那么y ＝－x ＋t ，当
2020年1月1日
创 作人：
历恰面 直线y ＝－x ＋t 过B 1、B 2两点时，t 最小，即t min ＝3.∴当OA →·OB →
获得最小值时，点B 的个数为2.
(理)(2021·理，8)O 是坐标原点，点A (－1,1)，假设点M (x ，y )为平面区域
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2
上的一个动点，那么OA →·OM →
的取值范围是( )
A ．[－1,0]
B ．[0,1]
C ．[0,2]
D ．[－1,2]
[答案] C
[解析] OA →
·OM →
＝(－1,1)·(x ，y )＝y －x ，画出线性约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥2x ≤1
y ≤2
表示的
平面区域如下图．
可以看出当z ＝y －x 过点A (1,1)时有最小值0，过点C (0,2)时有最大值2，那么OA →·OM →
的取值范围是[0,2]，应选C.
2020年1月1日
创 作人： 历恰面 3．设F 1、F 2为椭圆x 2
4
＋y 2
＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q
两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→
·PF 2→
的值等于( )
A ．0
B ．2
C ．4
D ．－2 [答案] D
[解析] 由题意得c ＝a 2
－b 2
＝3，
又S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝2×1
2×F 1F 2·h (h 为F 1F 2边上的高)，所以当h ＝b ＝1
时，S 四边形PF 1QF 2取最大值，此时∠F 1PF 2＝120°.
所以PF 1→
·PF 2→
＝|PF 1→
|·|PF 2→
|·cos120° ＝2×2×(－1
2
)＝－2.
4．(2021·二检)如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，那么AE →·BD →
＝________.
[答案] 1
[解析] 以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过A 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．那么由题设条件得A (0,0)、B (2,0)、E (2，3)、D (1，3)，可得AE →·BD →
＝1.
5．(2021·质检)在平面直角坐标系xOy 中，i ，j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，
2020年1月1日
创 作人： 历恰面 假设直角三角形ABC 中，AB →＝i ＋j ，AC →
＝2i ＋mj ，那么实数m ＝________.
[答案] 0或者－2
[解析] ∵△ABC 为直角三角形，
∴当A 为直角时，AB →·AC →
＝(i ＋j )·(2i ＋mj )＝2＋m ＝0⇒m ＝－2；
当B 为直角时，AB →·BC →＝AB →·(AC →－AB →
)＝(i ＋j )·[i ＋(m －1)j ]＝1＋m －1＝0⇒m ＝0； 当C 为直角时，AC →·BC →＝AC →·(AC →－AB →
)＝(2i ＋mj )·[i ＋(m －1)j ]＝2＋m 2
－m ＝0，此方程无解．
∴实数m ＝0或者m ＝－2.
6．(文)圆C ：(x －3)2
＋(y －3)2
＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →
，求点N 的轨迹方程．
[解析] 设M (x 0，y 0)、N (x ，y )．
由MA →＝2AN →
得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .∵点M (x 0，y 0)在圆C 上，
∴(x 0－3)2
＋(y 0－3)2
＝4，
即(3－2x －3)2
＋(3－2y －3)2
＝4.∴x 2
＋y 2
＝1. ∴所求点N 的轨迹方程是x 2
＋y 2
＝1.
(理)点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32
MQ →
，当点A 在x 轴上挪动时，求动点M 的轨迹方程．
2020年1月1日
创 作人：
历恰面 [解析] 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b >0)，
那么PA →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →
＝(－x ，b －y )， 由PA →·AM →
＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.① 由AM →＝－32
MQ →
得，
(x －a ，y )＝－3
2(－x ，b －y )
＝(32x ，3
2(y －b ))， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x －a ＝32x y ＝32y －3
2b
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－x 2
b ＝y
3.
把a ＝－x
2代入①，得－x
2(x ＋x
3)＋3y ＝0，
整理得y ＝14
x 2
(x ≠0)．
7．(文)(2021·正定中学模拟)向量a ＝
1sin x ，－1sin x ，b ＝(2，cos2x )，其中x ∈⎝
⎛⎦⎥⎤0，π2.
(1)试判断向量a 与b 能否平行，并说明理由？ (2)求函数f (x )＝a ·b 的最小值． [解析] (1)假设a ∥b ，那么有
1sin x ·cos2x ＋1
sin x
·2＝0. ∵x ∈⎝
⎛⎦⎥⎤0，π2，∴cos2x ＝－2，这与|cos2x |≤1矛盾，
∴a 与b 不能平行．
2020年1月1日
创 作人： 历恰面 (2)∵f (x )＝a ·b ＝2sin x －cos2x
sin x
＝2－cos2x sin x ＝1＋2sin 2
x sin x ＝2sin x ＋1sin x
，
∵x ∈⎝
⎛⎦⎥⎤0，π2，∴sin x ∈(0,1]，
∴f (x )＝2sin x ＋1
sin x ≥2
2sin x ·
1
sin x
＝2 2. 当2sin x ＝
1sin x ，即sin x ＝2
2
时取等号， 故函数f (x )的最小值为2 2. (理)
点D 是三角形ABC 内一点，并且满足AB 2
＋CD 2
＝AC 2
＋BD 2
，求证：AD ⊥BC .
[分析] 要证明AD ⊥BC ，那么只需要证明AD →·BC →＝0，可设AD →＝m ，AB →＝c ，AC →＝b ，将BC →
用m ，b ，c 线性表示，然后通过向量的运算解决．
[证明] 设AB →＝c ，AC →＝b ，AD →
＝m ，
那么BD →＝AD →－AB →＝m －c ，CD →＝AD →－AC →
＝m －b . ∵AB 2
＋CD 2
＝AC 2
＋BD 2
，
2020年1月1日
创 作人：
历恰面 ∴c 2
＋(m －b )2
＝b 2
＋(m －c )2
，即
c 2＋m 2－2m ·b ＋b 2＝b 2＋m 2－2m ·c ＋c 2，
∴m ·(c －b )＝0，即AD →·(AB →－AC →
)＝0， ∴AD →·CB →
＝0，∴AD ⊥BC .
1．a 、b 、c 为△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．假设m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，那么角A 、B 的大小分别为( )
A.
π6，π
3 B.2π3，π
6 C.π3，π6
D.
π3，π3
[答案] C
[解析] 解法1：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0， ∴cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫
A ＋
π6＝0， 又∵0<A <π，∴A ＋
π6＝π2，∴A ＝π3
. 在△ABC 中，由正弦定理得 sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2
C ， ∴sin(A ＋B )＝sin 2
C ，
又sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴sin C ＝1， ∴C ＝
π2，故B ＝π
6
.
2020年1月1日
创 作人： 历恰面 解法2：接解法1中，A ＝π
3
，在△ABC 中，由余弦定理得
a ·a 2＋c 2－
b 22a
c ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc
＝c sin C ，
∴2c 2
2c ＝c ＝c sin C ，∴sin C ＝1，∴C ＝π2，故B ＝π6
. 2．不一共线向量OA →
、OB →
，且2OP →
＝xOA →
＋yOB →
，假设PA →
＝λAB →
(λ∈R)，那么点(x ，y )的轨迹方程是( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．2x ＋y －1＝0
C ．x ＋2y －2＝0
D ．2x ＋y －2＝0
[答案] A
[解析] 由PA →＝λAB →得，OA →－OP →＝λ(OB →－OA →
)， 即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →
＝xOA →＋yOB →
，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋2λy ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2，应选A.
3．O 为原点，点A 、B 的坐标分别为A (a,0)、B (0，a )，其中常数a >0，点P 在线段AB 上，且有AP →＝tAB →(0≤t ≤1)，那么OA →·OP →
的最大值为( )
A ．a
B ．2a
C ．3a
D ．a 2
[答案] D
[解析] ∵AP →＝tAB →
，
2020年1月1日
创 作人：
历恰面 ∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋t (OB →－OA →) ＝(1－t )OA →＋tOB →
＝(a －at ，at ) ∴OA →·OP →
＝a 2
(1－t )， ∵0≤t ≤1，∴OA →·OP →
≤a 2
.
4．(2021·六校联考)设F 为抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，假设FA →＋FB →＋FC →＝0，|FA →|＋|FB →|＋|FC →
|＝3，那么该抛物线的方程是( )
A ．y 2
＝2x B ．y 2
＝4x C ．y 2＝6x D ．y 2
＝8x
[答案] A
[解析] ∵F (p
2，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，
由FA →＋FB →＋FC →
＝0得，
(x 1－p 2)＋(x 2－p 2)＋(x 3－p
2)＝0，
∴x 1＋x 2＋x 3＝32p .
又由抛物线定义知，
|FA →
|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋p 2)＋(x 2＋p 2)＋(x 3＋p
2)＝3p ＝3，
∴p ＝1，
因此，所求抛物线的方程为y 2
＝2x ， 应选A.
2020年1月1日
创 作人：
历恰面 5．M 是△ABC 内的一点，且AB →
·AC →
＝23，∠BAC ＝30°，假设△MBC 、△MCA 和△MAB 的面积分别为12、x 、y ，那么1x ＋4
y
的最小值是________．
[答案] 18
[解析] ∵AB →·AC →
＝23，∴bc cos A ＝23， ∵∠BAC ＝30°，∴bc ＝4， ∴S △ABC ＝1，∴x ＋y ＝1
2，
1x ＋4y
＝
2x ＋y x ＋8x ＋y y ＝(2y x ＋8x
y
)＋10 ≥18.
等号成立时，⎩⎪⎨⎪⎧
2y x ＝8x y
x ＋y ＝1
2，
∴x ＝16，y ＝1
3，
∴在⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝16y ＝1
3
时，1x ＋4
y
获得最小值18.
6．在△ABC 中，D 是AB 边上一点，假设AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →
，那么λ等于________．
[答案]
23 [解析] CD →
＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →＝13
CA →＋λCB →
，
2020年1月1日
创 作人： 历恰面 ∴λ＝23.。