平面向量统计算法测试题

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平面向量专题练习(带答案详解)

平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。

3 B。

2 C。

1 D。

02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。

-4 B。

-1 C。

1 D。

43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。

1 B。

5/3 C。

3/5 D。

7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。

-4 B。

-2 C。

2 D。

45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。

充分必要条件 B。

必要不充分条件 C。

充分不必要条件 D。

既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。

$\frac{8}{3}$ B。

$\frac{26}{9}$ C。

$\frac{2}{3}$ D。

$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{6}$ B。

$\frac{\pi}{4}$ C。

$\frac{\pi}{3}$ D。

$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。

18 B。

平面向量测试题

ABCDE F ABCDE FO平面向量测试题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10一、选择题：(5×10=50’) 1、下列各式中正确的是（）（1）(λ·a ) ·b =λ·(a b )=a · (λb ), （2）|a ·b |=|a |·|b |, （3）(a ·b )· c =a · (b ·c ), （4）(a +b ) · c = a ·c +b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2、在ΔABC 中,若( +) · (－)=0,则ΔABC 为（）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定3、若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120° 4、已知|a |=1,|b |=2 ,且(a －b )和a 垂直,则a 与b 的夹角为（） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45°5、若· + = 0,则ΔABC 为（） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形6、设|a |= 4,|b |= 3, 夹角为60°, 则|a+b |等于（） A ．37 B ．13 C ．37D ．137、己知|a |=1,|b |=2, a 与的夹角为60,c =3a+b , d = λa －b ,若c ⊥d ,则实数λ的值为（） A ．74B ．75C ．47D ．578、设 a ,b ,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则其中真命题是（） ①(a b )c －(ca )b =0 ②|a | －|b |< |a －b |③(bc )a －(ca )b 不与c 垂直 ④(3a +2b )(3a －2b )= 9|a |2－4|b |2A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④9、已知平面内不共线的四点0,A,B,C 满足12OB OA OC 33=+,则|AB |:|BC |=( ) A.3:1 B.1:3 C.2:1 D.1:210、如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 是DC 的中点, F 是EC 的中点,若AB =a ,AC =b ,则AF =( )A.1344+a bB.1344-a bC.1788+a bD.1788-a b 二、填空题：(5’×5=25’)11、已知e 是单位向量,求满足a ∥e 且a ·e =－18的向量a =__________. 12、设a =(m+1)i －3j, b =i +(m －1)j , (a +b ) ⊥(a －b ), 则m=________. 13、|a |=5, |b |=3,|a －b |=7,则a 、b 的夹角为__________. 14、 a 与d =b －2||)(a b a a ⋅⋅关系为________. 15、如图,在正六边形ABCDEF 中,已知AC =c ,AD =d ,则AE = (用c 与d 表示). 三、解答题：16、（12’）已知| a |=4,|b |=5,|a +b |=21 ,求:①a . b ②(2a －b ) . (a +3b )17、(12’)四边形ABCD 中,= a ,= b , DA= d ,且a ·b =b ·c =c ·d =d ·a , 判断四边形ABCD 是什么图形？218、(12’)已知：|a |=5,|b|=4,且a 与b 的夹角为60°,问当且仅当k 为何值时,向量k a －b 与a +2b 垂直？ 19、（13’）己知向量a,b 均为非零向量,当|a +t b |取最小值时, ①求t 的值；②求证：b 与a +t b 垂直.20、(13’)已知非零向量1e ,2e ,a ,b 满足122=-a e e ,12k =+b e e . (1)若1e 与2e 不共线,a 与b 是共线,求实数k 的值;(2)是否存在实数k ,使得a 与b 不共线,1e 与2e 是共线？若存在,求出k 的值,否则说明理由.21、(13’)已知向量a =(sin ,cos 2sin )θθθ-,b =(2,1). (1)若a .b ,求tan θ的值;(2)若=a b ,4θπ<<π,求θ的值.平面向量测试题答案一、CCADA CCD C C 二、（11）－18e （12）－2 （13）120° （14）a ⊥b（1532-d c 连接BE 、CF,它们交于点O,则CD =-d c ,由正六边形的性质得OE BO CD ===-d c ,又AO =12d ,∴AE AO OE =+=13()22+-=-d d c d c .三、（16）解： ①|a +b |2=（a+b ）2=a 2+2ab +b 2=|a |2+2a b +|b |2，2||||||222b a b a b a --+=⋅∴=102251621-=--. ②（2a －b ）·（a +3b ）=2a 2+5a ·b －3b 2=2|a |2+5a ·b －3|b |2=2×42+5×（－10）－3×52=－93. 注a 2仅仅是一种记号，并不表示平方. a 2=a ·a =|a |·|a|cos θ=|a |2，同理b 2=|b |2.（17）分析：在四边形ABCD 中，a+b+c+d =0，这是一个隐含条件，对a+b =－（c+d ），两边平方后，用a ·b=b ·c=d ·c 代入，从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状.∵a+b+c+d =0，∴a+b =－（c+d ），∴（a+b ）2=（c+d ）2，即|a |2+2a ·b +|b |2=|c |2+2c ·d +|d |2，∵a ·b=c ·d ，∴|a |2+|b |2=|c |2+|d|2……①同理：|a |2+|d |2=|b |2+|c |2……②①，②两式相减得：|b |2=|d |2，|a |2=|c |2，即|b |=|d |，|a |=|c |. ∴ABCD 为平行四边形. 又∵a ·b=b ·c ，即b ·（a －c ）=0，而a =－c ，∵b ·（2a ）=0 ∴a ⊥b ，∴四边形ABCD 为矩形.（18）分析：利用两个向量垂直的充要条件是这两个数量积为0，解：)2()(b a b ka +⊥- 04260cos 45)12(5,02)12(,0)2()(2222=⨯-⨯⨯⨯-+⨯∴=--+=+⋅-∴k k b ab k ka b a b ka 即，1514=∴k . （19）分析：因为|a+tb|为实数，且|a +t b |2=（a +t b ）2展开以后成为关于t 的二次函数. 解①22222)(2||)(||a t b a t b tb a tb a +⋅+=+=+，∴当22||||2)(2b b a b b a t ⋅-=⋅-=时，|a+tb|取得最小值. ②当2||b b a t ⋅-=时，b ·（a+tb ）b ·a+tb ·b=b ·a+t|b|2=a ·b 0||||22=⋅-b b b a . ∴b ⊥（a +t b ）.注：对|a +t b |变形，有两种基本的思考方法. 一是通过|a +t b |2=（a +t b ）2进行数量积运算；二是设a 、b 的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的变形，请同学们试用后一种方法解答本例.20.解:(1)由=λa b ,得12122k -=λ+λe e e e ,而1e 与2e 不共线, ∴221k k λ=⎧⇒=-⎨λ=-⎩;(2)若1e 与2e 是共线,则21=λe e ,有11(2(k =-λ)⎧⎨=+λ)⎩a b e e ,∵1e ,2e ,a ,b 为非零向量,∴λ≠2且k λ≠-,∴112k =-λ+λa b ,即2k -λ=+λa b ,这时a 与b 共线,∴不存在实数k 满足题意. 21.解:(1)因为//a b ,所以2sin cos 2sin θθθ=-,于是4sin cos θθ=,故1tan 4θ=. (2)由=a b 知,22sin (cos 2sin )5θθθ+-=,∴212sin24sin 5θθ-+=,从而2sin 22(1cos2)4θθ-+-=,即sin2cos21θθ+=-. ∴12sin2cos21θθ+=,即sin40θ=, ∴4k θ=π,即k θπ=4,由4θπ<<π,得14,4k k k ππ<<π⇒<<∈4Z , ∴2k =或3,即2θπ=或4θ3π=.。

平面向量测试题及含

平面向量测试题及答案平面向量测试题一. 选择题1．以下说法错误的选项是（）A．零向量与任一非零向量平行 B. 零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向同样D.平行向量一定是共线向量2．以下四式不可以化简为AD的是（）A．（AB＋CD）＋BC；B．（AD＋MB）＋（BC＋CM）；C．MB＋AD－BM；D．OC－OA＋CD；3．已知a =（3，4），b =（5，12），a与b则夹角的余弦为（）A．63B．65C．13D．13 6554．已知a、b均为单位向量 , 它们的夹角为 60°, 那么 | a+ 3b| = （）A．7B．10C．13D．45．已知 ABCDEF是正六边形，且AB＝a，AE＝b，则BC＝（）（B）12(ba) （C）a ＋12b（D）12(a b)（A）12(ab)6．设a，b为不共线向量，AB＝a+2b,BC＝－4a－b,CD＝－5a－3b , 则以下关系式中正确的选项是（）2（A ） AD ＝ BC（B ） AD ＝2 BC（C ） AD ＝－ BC （D ）AD＝－ 2 BC7．设 e 1与 e 2是不共线的非零向量，且k e 1＋ e 2与 e 1＋k e 2共线，则 k 的值是（）（A ） 1（B ）－1（C ） 1（D ）任意不为零的实数8．在四边形 ABCD 中， AB ＝ DC ，且 AC · BD ＝0，则四边形 ABCD 是（）（A ）矩形（B ）菱形（C ）直角梯形（D ）等腰梯形9．已知 M （－ 2，7）、N （10，－ 2），点 P 是线段 MN 上的点，且 PN ＝－2PM ，则P 点的坐标为（）（A ）（－ 14，16）（ B ）（22，－11）（C ）（6，1）（D ）（2，4）10．已知a ＝（1，2），b ＝（－2，3），且 k a +b 与a －k b垂直，则 k ＝（）（A ）1 2 （B ）2 1（C ）2 3 （D ） 32r r(2 x 3,x)相互平行，此中 x R . 则11、若平面向量 a (1, x) 和 br r）a b（A.2或 0； B.2 5；C. 2或 2 5 ； D.2或 10.312、下边给出的关系式中正确的个数是（）①0 a 0 ② a b b a ③a2a 2④(a b)ca(b c) ⑤ a b a b(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3二.填空题13．若AB (3,4),Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为．14．已知a (3, 4), b (2,3)，则2 | a | 3a b．15 、已知向量a 3, b (1,2)，且a b，则 a 的坐标是_________________。

高考数学专题之平面向量及算法

一层堆起来的，形成了堆垛．沈括在其代表作《梦溪笔谈》中提出了计算堆垛中酒缸的总数
的公式．图 1 是长方垛：每一层都是长方形，底层长方形的长边放置了 a 个酒缸，短边放置
了 b 个酒缸，共放置了 n 层．某同学根据图 1，绘制了计算该长方垛中酒缸总数的程序框
图，如图 2，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )
6．(2019·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
7．(2019·湖南省五市十校联考)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a
＋b|＝( )
A. 6
B． 5
C．2
D． 3
8．(2019·湖南省湘东六校联考)若向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，a·(a－b)＝32，则向量 a，
B．6 D．8
[专题过关检测]
一、选择题
1．(2019·蓉城名校第一次联考)已知向量 e1，e2，|e1|＝1，e2＝(1， 3)，e1，e2 的夹角为 60°，则(e1＋e2)·e2＝( )
35 A. 5
B．2 55
C．5
D． 5
2．(2019·武昌区调研考试)已知向量 a＝(2,1)，b＝(2，x)不平行，且满足(a＋2b)⊥(a－
1 A.3
B．34
4 C.7
D．171
5．(2019·广州市调研测试)已知△ABC 的边 BC 上有一点 D 满足―B→D ＝
4―D→C ，则―AD→可表示为( )
A．―A→D ＝14―A→B ＋34―A→C
B．―A→D ＝34―A→B ＋14―A→C
C．―A→D ＝45―A→B ＋15―A→C

平面向量运算测试题

平面向量运算测试题在解决平面向量运算测试题之前，我们先来回顾一下平面向量及其运算的相关概念。

平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

平面向量运算包括加法、减法、数量乘法等操作。

一、平面向量的加法给定两个平面向量a和b，它们的加法可以通过将它们的起点放在一起，将它们的末端相连来实现。

连接起点和终点后所得的新向量称为这两个向量的和，用a + b表示。

二、平面向量的减法给定两个平面向量a和b，它们的减法可以通过将a的起点和b的终点放在一起，将a的终点和b的起点相连来实现。

连接起点和终点后所得的新向量称为这两个向量的差，用a - b表示。

三、数量乘法给定一个平面向量a和一个实数k，数量乘法可以通过将向量a的长度乘以k来实现。

结果向量的方向与原向量相同（若k > 0），或者相反（若k < 0），但长度为原向量长度的|k|倍，用ka表示。

在进行平面向量运算时，我们需要注意以下几点：1. 向量的加法和减法满足交换律和结合律。

即，a + b = b + a，(a +b) + c = a + (b + c)，a - b ≠ b - a。

2. 数量乘法满足分配律。

即，k(a + b) = ka + kb，(k + m)a = ka + ma。

通过上述基本概念和运算法则，我们现在来解决平面向量运算测试题。

题目一：已知向量a = 3i + 4j，向量b = 2i + j，求向量c = 2a - b的结果。

解答：首先，我们计算2a得到2(3i + 4j) = 6i + 8j。

然后，计算2a - b得到(6i + 8j) - (2i + j) = 4i + 7j。

因此，向量c = 4i + 7j。

题目二：已知向量a = 2i - j，向量b = -3i + 5j，求向量c = 3a + 2b的结果。

解答：首先，我们计算3a得到3(2i - j) = 6i - 3j。

然后，计算2b得到2(-3i + 5j) = -6i + 10j。

高中数学平面向量测试题及答案

高中数学平面向量测试题及答案一、选择题1、下列哪一组向量是平行向量？A. (3，4)与(4，3)B. (3，4)与( - 4，- 3)C. (3，4)与( - 4，9)D. (3，4)与(7，8)2、下列哪一组向量是共线向量？A. (1，2)与(2，3)B. (1，1)与(2，2)C. (1，2)与( - 2，4)D. (1， - 1)与( - 2，2)3、下列哪一组向量是垂直向量？A. (1，2)与(2，1)B. (3，4)与(4，3)C. ( - 3，4)与(4， - 3)D.平面向量是数学中的一个重要概念，是解决许多实际问题的重要工具。

以下是一些经典的平面向量测试题，可以帮助大家了解和评估自己的平面向量水平。

给出平面向量的基本概念和性质，包括向量的表示、向量的模、向量的加法、减法和数乘等。

给出一个向量的坐标表示，包括在直角坐标系中的表示和在极坐标系中的表示。

给定两个向量 a和 b，求它们的数量积、夹角和模长。

给定一个向量 a，求它的单位向量、零向量和负向量。

给定一个平面向量场，求其中的平行向量、共线向量和线性无关向量。

给定一个三维平面向量场，求其中的法向量和切线向量。

给定一个向量的模长和夹角，求这个向量的坐标表示。

给定两个三维向量 a和 b，求它们在空间中的位置关系，如平行、共线和垂直等。

给定一个平面向量 a和一个非零向量 b，求 a和 b的垂直平分面和a和 b的中垂线。

给定一个向量的正交分解和极坐标表示，求这个向量的直角坐标表示和极坐标表示。

以上是平面向量经典测试题的一些例子，这些题目可以帮助大家巩固平面向量的基本概念和性质，提高解决实际问题的能力。

解释：平面向量是由两个数值和一个字母组成的，其中字母表示向量的方向，而数值表示向量的模长。

选项A符合这个要求，而其他选项都不符合。

解释：平面向量的基本运算包括加法、减法和数乘，而D选项中的“数乘和加法”实际上是包含了这三种运算，因此不是平面向量的运算。

平面向量测试题及答案

平面向量测试题一、选择题：1。

已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且−→−AB =→a ，−→−AD ＝→b ，则−→−BE ＝（ B ）（A ） →b +→a 21（B ） →b －→a 21 （C ） →a ＋→b 21 （D ） →a －→b 21 2．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ D ）（A ） −→−AB ＝－−→−BC （B ） −→−AC ＝−→−BC 21（C ） −→−BA ＝−→−BC （D ） −→−BC ＝−→−AC 213．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ D ）（A ）)(21→→-b a （B ）)(21→→-a b （C ） →a ＋→b 21 （D ）)(21→→+b a4．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是（ B ）（A ）−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC（C ）−→−AD ＝－−→−BC（D ）−→−AD ＝－2−→−BC5．将图形F 按→a ＝（h,k ）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F （A ）（A ）向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。

（B ）向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。

（C ）向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。

（D ）向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。

6．已知→a ＝（)1,21，→b ＝(),2223-，下列各式正确的是（ A ）（A ） 22⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（ C ）（A ） 1 （B ）－1 （C ） 1± （D ）任意不为零的实数8．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（B ）（A ）矩形（B ）菱形（C ）直角梯形（D ）等腰梯形9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P 点的坐标为（ D ）（A ）（－14，16）（B ）（22，－11）（C ）（6，1）（D ）（2，4）10．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（ A ）（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±11．把函数2)sin(3--=πx y 的图象经过按→a 平移得到x y sin =的图象，则→a ＝（ A ）（A ） ()2,3π-（B ） ()2,3π（C ） ()2,3--π（D ） ()2,3-π 12．△ABC 的两边长分别为2、3，其夹角的余弦为31 ，则其外接圆的半径为（ C ）（A ）229（B ）429（C ）829（D ）922二、填空题：13．已知M 、N 是△ABC 的边BC 、CA 上的点，且−→−BM ＝31−→−BC ,−→−CN ＝31−→−CA ,设−→−AB ＝→a ，−→−AC ＝→b ，则−→−MN ＝→→-a b 323114．△ABC 中，C A B cos sin sin =,其中A 、B 、C 是△ABC 的三内角，则△ABC 是三角形。

（完整版）《平面向量》测试题及答案

（完整版）《平面向量》测试题及答案《平面向量》测试题一、选择题1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（）A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k 4)C.(-10,2)D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为43，则A 分所成的比是（）A.73B. 37C.- 37D.-73 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103B.-103C.102D.106．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.? ????79，73B.? ????－73，－79C.? ????73，79D.? ????－79，－737.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A.323B.233C.2D.-52 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-21) 9.设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。

平面向量测试题及答案

第五章平面向量测试题一、选择题：1.已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且−→−AB =→a ,−→−AD ＝→b ,则−→−BE ＝ A →b +→a 21B →b －→a 21 C →a ＋→b 21 D →a －→b 212．已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是 A −→−AB ＝－−→−BC B −→−AC ＝−→−BC 21C −→−BA ＝−→−BCD −→−BC ＝−→−AC 213．已知ABCDEF 是正六边形,且−→−AB ＝→a ,−→−AE ＝→b ,则−→−BC ＝ A )(21→→-b a B )(21→→-a b C →a ＋→b 21 D )(21→→+b a4．设→a ,→b 为不共线向量,−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 A −→−AD ＝−→−BC B −→−AD ＝2−→−BC C −→−AD ＝－−→−BCD −→−AD ＝－2−→−BC5．将图形F 按→a ＝h,k 其中h>0,k>0平移,就是将图形F（A ）向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位.（B ）向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位. （C ）向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位. D 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位. 6．已知→a ＝)1,21,→b ＝),2223-,下列各式正确的是A 22⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→b a B →a ·→b ＝1 C →a ＝→b D →a 与→b 平行 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量,且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线,则k 的值是 A 1 B －1 C 1± D 任意不为零的实数8．在四边形ABCD 中,−→−AB ＝−→−DC ,且−→−AC ·−→−BD ＝0,则四边形ABCD 是 A 矩形 B 菱形 C 直角梯形 D 等腰梯形9．已知M －2,7、N10,－2,点P 是线段MN 上的点,且−→−PN ＝－2−→−PM ,则P 点的坐标为（A ）－14,16B 22,－11C 6,1 D 2,410．已知→a ＝1,2,→b ＝－2,3,且k →a +→b 与→a －k →b 垂直,则k ＝ A 21±- B 12± C 32± D 23±11．把函数2)sin(3--=πx y 的图象经过按→a 平移得到x y sin =的图象,则→a ＝A ()2,3π-B ()2,3πC ()2,3--πD ()2,3-π12．△ABC 的两边长分别为2、3,其夹角的余弦为31 ,则其外接圆的半径为 A 229 B 429 C 829 D 922 二、填空题：13．已知M 、N 是△ABC 的边BC 、CA 上的点,且−→−BM ＝31−→−BC ,−→−CN ＝31−→−CA ,设−→−AB ＝→a ,−→−AC ＝→b ,则−→−MN ＝14．△ABC 中,C A B cos sin sin =,其中A 、B 、C 是△ABC 的三内角,则△ABC 是三角形.三、解答题：15．ABCD 是梯形,AB ∥CD,且AB=2CD,M 、N 分别是DC 和AB 的中点,已知−→−AB ＝→a ,−→−AD ＝→b ,试用→a 、→b 表示−→−MN .16．设两非零向量→a 和→b 不共线,如果−→−AB ＝→a ＋→b ,−→−CD ＝3→a －→b ,→→−→−+=b a BC 82,求证：A 、B 、D 三点共线.17．利用向量法证明：顺次连接菱形四边中点的四边形是矩形.18．在△ABC 中,已知A>B>C,且A=2C,A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,又a 、b 、c 成等差数列,且b ＝4,求a 、c 的长.19．已知三角形内角的余切值成等差数列,求证：此三角形相应各边的平方也成等差数列.陈文运 2005年11月19日16：55排版、打印.平面向量测试题答案BDDBA ACBDA AC13．→→-a b 3231；14.直角15.→→-ba 41;516524,==c a .由CA B cot cot cot 2+=得AAB B sin cos sin cos 2=+C C sin cos CA C A sin sin )sin(+=C A B B sin sin sin cos 22=⇒ac b c a 222-+⇒=acb 22222b c a =+⇒…。

平面向量测试题

平面向量测试题一、选择题1. 下列符合向量共线的条件是：A. 它们模相等B. 它们方向相同C. 乘以一个非零实数得到另一个向量D. 以上皆是2. “a·b=b·a”意味着向量a和向量b满足：A. a平行于bB. a与b垂直C. a与b成锐角D. a与b成钝角3. 平面向量a和b的数量积a·b=0，则a与b：A. 垂直B. 平行C. 无法确定D. 共线但方向相反4. 设向量a=3i+4j，向量b=5i+6j，则a和b的和是：A. 15i+10jB. 17i+22jC. 8i+10jD. 2i+2j5. 若向量a=(1,2)和向量b=(-3,4)，则向量a-b的模长为：A. 2B. 4C. √10D. √20二、填空题1. 已知向量a=(2,3)，向量b=(-1,4)，则a·b的结果为______。

2. 如果向量a与向量b平行，且a的模长为5，b的模长为3，则a 与b的数量积为______。

3. 已知向量a=(3,4)，向量b=(5,2)，则a+b的结果为______。

4. 已知向量a=(2,-3)，向量b=(1,4)，则a-b的结果为______。

5. 若向量a与向量b平行，a的模长为4，b的模长为2，则a·b的结果为______。

三、计算题1. 设向量a=(2,5)，向量b=(4,-3)，求a与b的数量积。

2. 已知向量a=(-1,3)，向量b=(-2,-4)，求a与b的夹角。

3. 设向量a=(3,2)，向量b=(-1,4)，求a与b的和向量c。

4. 已知向量a=(2,3)，向量b=(4,1)，求a与b的差向量d。

5. 设向量a=(4,1)，向量b=(5,-2)，求a与b的数量积。

四、应用题1. 平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点分别为A(1,2)，B(-3,-1)，C(2,-2)。

求三角形的边长AB、AC和BC。

2. 设锐角三角形ABC的顶点分别为A(1,3)，B(4,2)，C(0,-1)。

平面向量专项训练(含答案)

平面向量专题训练知识点回顾1向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。

每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下:运算图形语言付号语言坐标语言记OA =(x 1,y 1) , OB =(x 1,y 2)OA +OB =OC贝V OA + OB =(x i+X2,y i+y2)0A OB - OA =AB ULU加法与减法AB OB - OA = (x2-x i,y 2-y i)"AOA + AB = OB实数与向量・寸、AB =入a 记a =(x,y)的乘积A, ,D入€ R 则入a =(入x,入y) 两个向量 a • b =| a || b | 记a =(x i,y i), b=(x2,y2)的数量积/1 .cos< a , b > 贝卩a • b =xx+y i y2(3) 两个向量平行：设a=(x i,y 1)，b=(x2,y2)，则a // b b a x i y2-x2y i=0r r(4) 两个向量垂直：设 a =(x i,y i), b =(x 2,y 2)，则a 丄b a?b 0 x i x2+y i y2=0课堂精练、选择题A平行于x轴 B. 平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴D. 平行于第二、四象限的角平分线2.已知向量a (i,2), b(2, 3) •若向量c满足(c a)//b , c (a b)，则c7 7C3,9i.已知平面向量a=(x,i) , b=(—x, x2),则向量a b ()uuir uuu uuu r A. AD BE CF 0B.uuuBDuuuCFuuurDFC. uuirADuuuCEuuuCFrD.uuuBDuuuBEuuuFCr3.已知向量a (1,0),b (0,1),c ka b(k R), d a b，如果c//d 那么()C • k 1且c与d同向D .k 1且c与d反向4已知平面向量a (1,1), b (1,1),贝恫量1 3a b (2 2)A. ( 2, 1)B. ( 2,1)c. ( 1, 0) D. (1,2)5.设P是厶ABC所在平面内的一点，uuiu uuuBC BAuuu2BP,则()uuu uuu ruuuruuuPAr0 C.uuu uuiu r PB PC0 D.uuu uuuPA PBuuur rPC 0A. .5B. .10c是单位向量，且a - b = 0,贝U a c ? b c的最小值为A. 2B.、、2 28已知向量a (1 , n) , b ( 1 , n)A. 1B.9平面向量a 与b的夹角为60°, aA. .3B. 2 i 3C. 1D. 1 x 2，若2a b与b垂直，则a ( )C • 2 D. 4(2,0) , b 1 则a 2b ()C. 4),c= (4 , 2),则c=A.3a+bB. 3a-b +3b D. a+3b11.如图1 , D , E , F分别是ABC的边AB, BC CA的中点，贝U ()A • k 1且c与d同向B k 1且c与d反向6.已知向量a = (2,1) , a • b = 10 , a + b I = 5. 2，则丨b I =()7.设a、b10.若向量a= (1, 1), b= (-1,12.设向量a (1,2, b (2,3)，若向量a b 与向量c(4, 7)共线，则 __________________3.已知向量a 与b 的夹角为120o ，且ab 4，那么 bg(2ab)的值为uuu uuu imr12.已知O 是厶ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC13.设非零向量 a 、 b 、c 满足|a | | b| |c |,abc ，贝Ua,b()A . 150°ooo14.已知 a3,2 ,b1,0 ，向量 a b 与a 2b 垂直，则实数的值为()1111A.B.C.D.776 615.已知 a 1,b 6,ag(b a)2，则向量a 与向量b 的夹角是() A .B . -C.-D.—64 3216.已知向量a (1,1),b(2,x),若a+ b 与4b 2a 平行，则实数x 的值是 ()A . -2B . 0C. 1D. 2uuu uuruuu uuir uur17.在△ ABC中，AB c , ACb .若点 D 满足BD 2DC ，贝V AD ( ) A 2, 1 5 2,2, 11 , 2A . — b c B.- c b C. b c D. b c3 3 3 33 33 318.在平行四边形 ABCD 中, AC 为条对角线， uuu 若AB uur (2,4) , AC (1,3), uuu 则BD()A . (-2,— 4)B . (-3,- 5) C. (3, 5) D (2, 4) ―ir19.设 a(1, 2), b (3,4), c (3,2)则(a2b) c () A.( 15,12) B. 0C.3D.1二、填空题rrrr rr rr 1.若向量a , b 满足a 1,b 2且a 与b 的夹角为一，贝U a b ________________3rr rUJLT uuir A.AO ODuuir uuir B. AO 2OD uuir C. AO UUL T3ODuuir uuir D. 2AO OD4. 已知平面向量a (2,4) , b (1,2) •若c a (a b)b，则|c | _____________________5. a , b 的夹角为120 , a 1 , b 3 则5a b _______________ •6.已知向量a= 2,4, b= 1,1 •若向量b (a+ b)，则实数的值是______________________7. 若向量a、b满足a b 1, a与b的夹角为120°,则a -b a -b = ___________________8. 已知向量a (3,1), b (1,3), c (k,2)，若(；c) b 则k= __________________ •9. 已知向量a (3,1), b (1,3), c (k,7)，若(：c) // b,则k= ____________ •10.在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD勺边AB// DC,AD// BC,已知点A( —2, 0) , B (6 , 8), C(8,6), 贝UD点的坐标为 _____________ .平面向量专题训练答案:一选择题1 C2 D3 D4 D5 B6 C7 D8 C9 B 10 B11 A 12 A13 B 14 A 15 C 16 D 17 A 18 B 19 C二填空题1、： 2 5 77 7 2 2 3 0 4 8「3 7 -1 8 _0 95_ 10_ (0, —2)。

平面向量统计算法测试题

平面向量统计算法测试题一、选择题1、复数3223i i+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i2、已知向量()k a ,1=→，()1,2=→b ，若→a 与→b 的夹角为090，则实数k 的值为（） A 、21- B 、21 C 、-2 D 、2 3、已知点A ()1,1-，点B ()y ,2，向量()2,1=→a ，若→→a AB //，则实数y 的值为：（）A 、5B 、6C 、7D 、84、已知向量→→b a ,满足3||=→a ，3||=→b ，→→060的夹角为与b a ，则→→⋅b a =____________;若→→→⊥⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b m a ，则实数m=___________ 5、ABC ∆中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，→→→+=AC AB AN μλ，则μλ+的值为（）A 、21B 、31C 、41 D 、16、已知非零向量→→b a ,满足⎪⎭⎫ ⎝⎛+⊥=→→→→→b a b b a 且||2||，则向量→→b a 与的夹角为____________;7、执行右图所示的程序框图，若输入10x =，则输出y 的值为．8、如图是求2222100321+⋅⋅⋅+++的值的程序框图，则正整数n=9、已知向量()()x x b x x a cos ,cos ,sin ,cos -==→→，()0,1-=→c（1）若6π=x ，求向量→a 、→c 的夹角；（2）当]89,2[ππ∈x 时，求函数()12+⋅=→→b a x f 的最大值； 10、甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次记录如下：甲82 81 79 78 95 88 93 84乙92 95 80 75 83 80 90 85（1）画出甲乙两位同学成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数，并说明它在数据中的含义；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认主派哪位学生参加合适？请说明理由（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望)(ξE11、为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)；[15,20)；[20,25)；[25,30)；[30,35)，频率分布直方图如图所示，已知生产产品数量在[20,25)之间的工人有6位；（1）求m ；（2）工厂规定从各组中任选1人进行再培训，则选取5人不同在一组的概率是多少？产品数量112233。

(完整版)平面向量综合检测、解析及答案

平面向量综合检测、分析及答案一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1. 平面向量a与b的夹角为 60°，a＝(2,0)，|b| ＝1，则 | a＋2b| ＝ ()A. 3B．2 3C．4D．12分析： | a＋2b| ＝( a＋2b) 2＝4＋4＋4＝2 3.答案： B2. 已知 |a| ＝1，|b| ＝6，a·(b －a) ＝2，则向量 a 与 b 的夹角是 ()ππA. 6B. 4ππC. 3D. 2分析：由 a·(b－a)＝2得 a·b＝2＋1＝3＝6×cos<a，b>，∴cos<a，1b>＝2，又<a，b>∈[0，π]，π∴<a，b>＝3.答案： C3.一质点遇到平面上的三个力 F1、F2、F3( 单位：牛顿 ) 的作用而处于均衡状态．已知 F1、F2 成 60°角，且 F1、F2 的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小为()A．2 7B．2 5C．2D．6分析：由题意得 F1＋F2＋F3＝0.答案： A4.(2009 ·福建福州模拟 ) 把一颗骰子扔掷两次，并记第一次出现的点数为 a，第二次出现的点数为b，向量 m＝ (a ，b) ，n＝(1,2) ，则向量 m与向量 n 不共线的概率为 ()15A. 12B. 12711C.12D. 12分析： m 与 n 共线的情况共有三种： m ＝(1,2) ，m ＝(2,4) ，m ＝(3,6) ，3 11故 m 与 n 不共线的概率 P ＝1－36＝12.答案： D5. 已知向量 a ＝(λ2＋6和 j ＝(0,1) ，若 a ·j ＝－ 3，3 ，λ) ，i ＝(1,0)且向量 a 与 i 的夹角为 θ，则 cos θ 的值为 ()3 3A ．－ 2 B. 2 1 1 C ．－2 D. 2答案： Buuur uuur uuur uuur)6．四边形 ABCD 中，AB · BC ＝0，且 AB ＝ DC，则四边形 ABCD 是( A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 uuuruuuruuur分析：由AB ＝可知为平行四边形，由 AB ·BC ＝0 知∠＝DCABCDABC90°，故 ABCD 为矩形．答案： B7．设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－ (b －2a) 共线，则λ＝ ( )1A ．0B ．－ 21C ．－ 2D.2分析：由题意得 a ＋λb ＝－ k ( b －2a ) ∴2k ＝1,，＝－ k1∴λ＝－ 2. 答案： B8. 设向量 a ，b 知足： |a| ＝3，|b| ＝4，a ·b ＝0，以 a ，b ，a －b 的模为第2页共 8页分析：三角形的内切圆半径为 1，将圆平移，最多有 4 个公共点．答案： B9．设 a ，b ，c 是非零向量，以下命题中正确的选项是 ( )A ．( a ·b ) ·c ＝a ·(b ·c )B ．| a －b | 2＝| a | 2－2| a || b | ＋| b | 2C ．若 | a | ＝| b | ＝| a ＋b | ，则 a 与 b 的夹角为 60°D ．若 | a | ＝| b | ＝| a －b | ，则 a 与 b 的夹角为 60°分析：A 、B 明显不正确．由平行四边形法例可知，若| a | ＝| b | ＝| a ＋b | ，可知 <a ，b >＝120°，故 C 不正确．答案为 D.答案： D10. 设 a 、b 、c 是单位向量，且 a ·b ＝0，则 (a －c) ·(b －c) 的最小值为()A ．－ 2B. 2－2C ．－ 1D ．1－ 2分析：( a －c ) ·(b －c ) ＝a ·b －b ·c ＋c 2－a ·c ＝1－( a ＋b ) · c ，又 a ·b＝0，| a | ＝| b | ＝1，∴|a ＋b | ＝ 2.设 a ＋b 与 c 的夹角为 θ，则上式＝ 1－2cos θ当 cos θ＝1 时( a －c ) ·(b －c ) 获得最小值 1－ 2. 答案： Duuur uuuruuur11．点 O 在△ABC 内部且知足 OA ＋2 OB ＋2 OC＝0，则 △ABC 的面积与△OBC 的面积之比为 ( )5A.4 B ．3 C ．4 D ．5uuuruuuruuur1 uuuruuur1 uuur分析：由 OA ＋2 OB ＋2OC ＝0，∴2( OB ＋ OC ) ＝4AO ，∴△ABC△OBC底边 BC 的高之比为 5 1，∴ S △ABC S △OBC ＝5 1.答案： D12．在直角 △ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，则以下等式不建立的是( )uuur2uuuruuurA ．| AC | ＝AC· AB uuur2uuuruuurB ．|BC | ＝BA · BCuuur 2uuuruuurC ．| AB | ＝AC · CDuuurD ．| CD |uuur uuuruuur uuur2 （ACgAB ）（BA gBC ）＝uuur 2ABuuur uuur uuur分析：∵AB ·AC ＝| ACuuur uuur uuur uuur（AC gAB ）（BA gBC ）同理：uuur 2AB| 2 uuuruuur 2，故 B 建立．故 A 建立，又 BA ·BC ] ＝| BC |uuur uuurACBA＝uuur 2ABuuuruuur uuuruuur又| AC |·|BC | ＝| AB || CD |uuuruuuruuuruuur uuuruuur 2ACACuuur 2∴|CD |2 ＝uuur2，故 D 也正确．，又AC ·CD ＝| CD≠|| ，故AB AB选 C.答案： Cm13．设两个向量 a ＝( λ＋2，λ2－cos2α) 和 b ＝(m ，2＋sin α) ，此中λλ， m ，α 为实数，若 a ＝2b ，则 m 的取值范围是 ()A ．[ －6,1]B ．[4,8]C ．[ －1,1]D ．[ －1,6]＋＝①,分析：由 a ＝2b 知2 2m,2－2＝＋ ②)cos m 2sin , ＝2m －2,∴2－m ＝ cos 2 ＋2sin又 cos 2α＋2sin α＝－ (sin α－1) 2＋2∴－ 2≤cos 2 α＋2sin α≤2，即－ 2≤ λ2－m ≤2，由 λ＝2m －22 1 －2≤(2 m －2) －m ≤2，得 4≤m ≤2λ 2m －22∴＝＝2－ ∈[ －6,1] ． mm m答案： A二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．uuur uuur uuur uuuruuuur14．在? ABCD 中， AB ＝a ，AD ＝b ，AN＝3 NC ，M 为 BC 的中点，则 MNuuur uuur分析：由 AN ＝3 NC 得 4 AN ＝3 AC ＝3( a ＋b ) ．uuuur1AM ＝a ＋2b ，uuuur 3111∴ MN ＝4( a ＋b ) －( a ＋2b ) ＝－ 4a ＋4b .1 1答案：－ 4a ＋4b711715．向量 c 与 a ＝( 2，2) ，b ＝( 2，－ 2) 的夹角相等，且 |c| ＝1，则 c ＝________.x2＋ 2＝分析：设 c ＝( x ，y ) ，由题意得：y 1,得＝bgcagcx= 4 , x=-455 ,y= 3 y=- 355434 3答案： ( 5，－ 5) 或( －5，5)16．已知点 G 为△ABC 的重心，过 G 作直线与 AB 、AC 两边分别交于 M 、Nuuuur uuur uuur uuur 1 1两点，且 AM ＝xAB ， AN ＝ y AC ，则＋＝________.xyuuur1 uuuruuur1 1 uuuur1 uuur1分析： AG ＝3( AB ＋ AC ) ＝3( x AM ＋y AC ) ，∵M 、N 、G 三点共线， ∴3x11 1＋3y ＝1，即 x ＋y ＝3.答案： 317. 如图，在平面斜坐标系 xOy 中， ∠xOy ＝60°，平面上任一点 P 在斜uuur OPuuur轴方向同样的单位向量 ) ，则点 P 的斜坐标为 (x ，y) ．若点 P 知足 |OP| ＝1，则点 P 在斜坐标系 xOy 中的轨迹方程是 ________．uuuruuur22122又| OP | ＝1，∴ x ＋y ＋2xy ×2＝1，即 x ＋y ＋xy ＝1. 答案： x2＋y2＋xy ＝1三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．uuur uuur uuur uuur uuur18．(10 分) 在△ ABC 中， AB · AC ＝ | AB － AC | ＝2，求|AB|2 ＋| AC|2. 解：由题意可知uuur uuuruuurABgAC 2uuur 2 uuur2＝8.2 uuur uuur uuur 得| AB | ＋| AC| AB2 ABgAC AC 4uuuruuuruuuruuur uuur19．(12 分) 如图 |OA| ＝|OB|＝1，| OC|＝3，∠AOB ＝60°，OB ⊥ OC.uuuruuuruuur设 OC ＝x OA ＋y OB，求 x 、y 的值．uuur uuur uuur解： ∵ OC ＝x OA ＋y OB uuur 2uuur uuur uuur uuur①∴ OB · OC ＝x OA · OB＋y OBuuur 2uuur uuur uuuruuurOC ＝x OA· OC ＋y OB · OC ②将①②联立得12x ＋y ＝0332×( － 2 ) x ＝3 得 x ＝－2,y ＝1π20．(12 分 ) 已知 a ，b 知足 |a| ＝3，|b| ＝ 1，a 与 b 的夹角为 3 ，求 2a＋3b 与 a －b 的夹角的余弦值．1 3解： ∵a ·b ＝| a || b |cos< a ，b >＝3×1× 2＝2又(2 a ＋3b ) 2＝4a 2＋9b 2＋12a ·b ＝36＋9＋18＝63， ∴|2 a ＋3b | ＝3 7.同理可得 | a －b | ＝ 7 ∵ (2 a ＋3b ) ·(a －b ) ＝2a 2＋a ·b －3b 23 33 ＝18＋2－3＝ 2＋ · －333b )211(2 a( a b ) ＝∴cos 〈 (2 a ＋3b ) ，( a －b ) 〉＝a －b | ＝ .|2 a ＋3b ||37·7 1421．(12 分) (2009 ·上海 ) 已知 △ABC 的角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ，b ，c ，设 m ＝(a ，b) ，n ＝(sinB ，sinA) ，p ＝(b －2，a －2)(1) 若 m ∥n ，求证 △ABC 为等腰三角形；π(2) 若 m ⊥p ，边长 c ＝2，∠C ＝ 3 ，求 △ABC 的面积．解： (1) 证明：∵ m ∥n ，∴ a sin A ＝b sin B .由正弦定理得 a 2＝b 2，a ＝b ，∴△ ABC 为等腰三角形． (2) ∵m ⊥p ，∴ m ·p ＝0. 即 a ( b －2) ＋b ( a －2) ＝0 ∴a ＋b ＝ab由余弦定理得 4＝a 2＋b 2－ab ＝( a ＋b ) 2－3ab 即( ab )2－3ab －4＝0，∴ ab ＝4 或 ab ＝－ 1( 舍)11 π∴S △ABC ＝2ab sin C ＝2×4×sin 3 ＝ 3.uuur uuuruuur22．(12 分) 已知 OA ＝(3 ，－ 4) ， OB ＝ (6 ，－ 3) ， OC＝(5 －m ，－ 3－m)．(1) 若点 A 、B 、C 不可以组成三角形，务实数 m 知足的条件；(2) 若△ABC 为直角三角形，务实数 m 的值．解： (1) uuur uuur∵ OA ＝(3 ，－ 4) ， OB ＝(6 ，－ 3)uuurOC ＝(5 －m ，－3－m ) ．若 A 、B 、C 三点不可以组成三角形，则这三点共线，uuur∵ AB ＝(3,1)uuur1AC ＝(2 －m,1－m ) ，∴ 3(1 － m ) ＝2－m ，得 m ＝2(2) ∵△ ABC 为直角三角形．uuuruuur7若∠ A ＝90°，则 AB · AC ＝0，∴ 3(2 － m ) ＋(1 －m ) ＝0，得 m ＝4.uuuruuuruuur若∠ B ＝90°，则 AB · BC ＝0，又 BC ＝( －1－m ，－ m )3∴ 3( －1－m ) ＋( －m ) ＝0 得 m ＝－ 4.uuur uuur若∠ C ＝90°，则 BC ⊥ AC .1± 5∴(2 －m ) ·( － 1－m ) ＋(1 －m ) ·( －m ) ＝0，得 m ＝2731±5综上得 m＝4或 m＝－4或 m＝223．(12 分) 已知 a＝(1,2) ，b＝( －2,1) ，k、t 为正实数， x＝a＋(t2 ＋1 11)b ，y＝－k a＋t b(1)若 x⊥y，求 k 的最大值；(2)能否存在 k、t ，使 x∥y？若存在，求出 k 的取值范围，若不存在，说明原因．解： x＝a＋( t 2＋1) b＝(1,2)＋( t 2＋1)(－2,1)＝(－2t2－1，t2＋3)1111y＝－k a＋t b＝－k(1,2)＋t(－2,1)1 2 2 1＝( －k－t，－k＋t )2 1 22 2 1(1) 若x⊥y，则x·y＝ 0，即：( －2t－1) ·( －k－t ) ＋( t＋3)( －k＋t )＝0t111整理得：k＝t2＋1＝1≤2(当且仅当t＝t即t＝1时“＝”建立)故k maxt＋t1＝2.(2)假定存在正实数 k、t ，使 x∥y，则221212( －2t－1)(－k＋t ) －( t＋3)( －k－t ) ＝0t 2＋113整理得k＋t＝0，即t＋t ＋k＝0∵k、t 为正实数，故知足上式的k、t 不存在．即不存在这样的正实数k、t 使 x∥y.。

平面向量测试题(含答案)

平面向量章末检测一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1、下面给出的关系式中正确的个数是（）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 2．下列四式不能化简为AD 的是（）A ．）＋＋（B ．（C ．；－＋BM AD MB D ．；＋－CD OA OC 3．已知a =（3，4），b =（5，12），a 与b 则夹角的余弦为（）A ．6563B ．65C ．513 D ．134．已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么3a b +=（）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（）（A ） 1()2a b →→-（B ） 1()2b a →→-（C ） →a ＋12b → （D ） 1()2a b →→+6．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是（）（A ）−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC （D ）−→−AD ＝－2−→−BC 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（）（A ） 1 （B ）－1 （C ） 1± （D ）任意不为零的实数8．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P 点的坐标为（）（A ）（－14，16）（B ）（22，－11）（C ）（6，1）（D ）（2，4） 9．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（）（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±10、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（）A. 2-或0；B. C. 2或 D. 2或10.二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分.11．若),4,3(=Ａ点的坐标为（-2，-1），则Ｂ点的坐标为． 12．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．13、已知向量3,(1,2)a b ==，且b a⊥，则a 的坐标是_________________。

(完整版)平面向量测试题及详解

平面向量第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．(文)(2011·北京西城区期末)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] C[解析] AB →＝(3，y －1)，∵AB →∥a ，∴31＝y －12，∴y ＝7.(理)(2011·福州期末)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．2[答案] D[解析] a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)， ∵a ＋b 与4b －2a 平行，∴36＝x ＋14x －2，∴x ＝2，故选D.2．(2011·蚌埠二中质检)已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] B[解析] AB →＝(2,3)，∵AB →⊥a ，∴2(2k －1)＋3×2＝0，∴k ＝－1，∴选B.3．(2011·北京丰台期末)如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6，k ＋1)共线且方向相反，那么k 的值为( )A ．－3B ．2C ．－17D.17[答案] A[解析] 由条件知，存在实数λ<0，使a ＝λb ，∴(k,1)＝(6λ，(k ＋1)λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6λ(k ＋1)λ＝1，∴k ＝－3，故选A.4．(文)(2011·北京朝阳区期末)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43C.43D.49[答案] A[解析] 由条件知，P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·(2PM →) ＝P A →·AP →＝－|P A →|2＝－⎝⎛⎭⎫23|MA →|2＝－49.(理)(2011·黄冈期末)在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →、BC →分别为a 、b ，则AH →＝( )A.25a －45bB.25a ＋45b C ．－25a ＋45bD ．－25a －45b[答案] B[解析] AF →＝b ＋12a ，DE →＝a －12b ，设DH →＝λDE →，则DH →＝λa －12λb ，∴AH →＝AD →＋DH →＝λa＋⎝⎛⎭⎫1－12λb ， ∵AH →与AF →共线且a 、b 不共线，∴λ12＝1－12λ1，∴λ＝25，∴AH →＝25a ＋45b .5．(2011·山东潍坊一中期末)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，n )，若|a ＋b |＝a ·b ，则n ＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3[答案] D[解析] ∵a ＋b ＝(3,1＋n )，∴|a ＋b |＝9＋(n ＋1)2＝n 2＋2n ＋10，又a ·b ＝2＋n ，∵|a ＋b |＝a ·b ，∴n 2＋2n ＋10＝n ＋2，解之得n ＝3，故选D.6．(2011·烟台调研)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( ) A ．最大值为8 B ．是定值6 C ．最小值为2 D ．与P 的位置有关[答案] B[解析] 设BC 边中点为D ，则 AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·(2AD →)＝2|AP →|·|AD →|·cos ∠P AD ＝2|AD →|2＝6.7．(2011·河北冀州期末)设a ，b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件[答案] B[解析] |a ＋b |＝|a |＋|b |⇔a 与b 方向相同，或a 、b 至少有一个为0；而a 与b 共线包括a 与b 方向相反的情形，∵a 、b 都是非零向量，故选B.8．(2011·甘肃天水一中期末)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°[答案] C[解析] 由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°.∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.9．(文)(2011·福建厦门期末)在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] B[解析] 解法1：如图以C 为原点，CA 、CB 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (3,0)，B (0,3)，设M (x 0，y 0)，∵BM →＝2MA →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2(3－x 0)y 0－3＝2(－y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2y 0＝1，∴CM →·CB →＝(2,1)·(0,3)＝3，故选B. 解法2：∵BM →＝2MA →，∴BM →＝23BA →，∴CB →·CM →＝CB →·(CB →＋BM →)＝|CB →|2＋CB →·⎝⎛⎭⎫23BA → ＝9＋23×3×32×⎝⎛⎭⎫－22＝3.(理)(2011·安徽百校联考)设O 为坐标原点，点A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最大值时，点B 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数[答案] A[解析] x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，即(x －1)2＋(y －1)2≥1，画出不等式组表示的平面区域如图，OA →·OB →＝x ＋y ，设x ＋y ＝t ，则当直线y ＝－x 平移到经过点C 时，t 取最大值，故这样的点B 有1个，即C 点．10．(2011·宁夏银川一中检测)a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1·λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝0[答案] D[分析] 由于向量AC →，AB →有公共起点，因此三点A 、B 、C 共线只要AC →，AB →共线即可，根据向量共线的条件可知存在实数λ使得AC →＝λAB →，然后根据平面向量基本定理得到两个方程，消去λ即得结论．[解析] ∵A 、B 、C 共线，∴AC →，AB →共线，根据向量共线的条件知存在实数λ使得AC →＝λAB →，即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，由于a ，b 不共线，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧1＝λλ1λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.11．(文)(2011·北京学普教育中心)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量运算a ⊕b ＝(a 1，a 2)⊕(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝⎛⎭⎫2，12，n ＝⎝⎛⎭⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊕OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值及最小正周期分别为( )A ．2；πB ．2；4π C.12；4π D.12；π [答案] C[解析] 设点Q (x ′，y ′)，则OQ →＝(x ′，y ′)，由新定义的运算法则可得： (x ′，y ′)＝⎝⎛⎭⎫2，12⊕(x ，y )＋⎝⎛⎭⎫π3，0 ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，12y ，得⎩⎨⎧x ′＝2x ＋π3y ′＝12y，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′－π6y ＝2y ′，代入y ＝sin x ，得y ′＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x ′－π6，则 f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6，故选C. (理)(2011·华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考)如图，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF →其中λ，μ∈R ，则λ＋μ是( )A.83B.32C.53 D ．1[答案] B[解析] OF →＝OB →＋BF →＝OB →＋13OA →，OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋13OB →，相加得OE →＋OF →＝43(OA →＋OB →)＝43OC →，∴OC →＝34OE →＋34OF →，∴λ＋μ＝34＋34＝32.12．(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12，则△ABC 的形状为( )A ．等腰非等边三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形 [答案] A[分析] 根据平面向量的概念与运算知，AB →|AB →|表示AB →方向上的单位向量，因此向量AB →|AB →|＋AC→|AC →|平行于角A 的内角平分线．由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0可知，角A 的内角平分线垂直于对边，再根据数量积的定义及AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12可求角A .[解析] 根据⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0知，角A 的内角平分线与BC 边垂直，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12可知A ＝120°.故三角形是等腰非等边的三角形．[点评] 解答本题的关键是注意到向量AB →|AB →|，AC →|AC →|分别是向量AB →，AC →方向上的单位向量，两个单位向量的和一定与角A 的内角平分线共线．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(文)(2011·湖南长沙一中月考)设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于________．[答案]5[解析] 3a ＋b ＝(3,6)＋(－2，y )＝(1,6＋y )， ∵a ∥b ，∴－21＝y2，∴y ＝－4，∴3a ＋b ＝(1,2)，∴|3a ＋b |＝ 5.(理)(2011·北京朝阳区期末)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.[答案] 2 3[解析] a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝2×1×12＝1，|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝4＋4＋4×1＝12， ∴|a ＋2b |＝2 3.14．(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知a ＝(2＋λ，1)，b ＝(3，λ)，若〈a ，b 〉为钝角，则λ的取值范围是________．[答案] λ<－32且λ≠－3[解析] ∵〈a ，b 〉为钝角，∴a ·b ＝3(2＋λ)＋λ＝4λ＋6<0， ∴λ<－32，当a 与b 方向相反时，λ＝－3，∴λ<－32且λ≠－3.15．(2011·黄冈市期末)已知二次函数y ＝f (x )的图像为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都有f (1＋x )＝f (1－x )．若向量a ＝(m ，－1)，b ＝(m ，－2)，则满足不等式f (a ·b )>f (－1)的m 的取值范围为________．[答案] 0≤m <1[解析] 由条件知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1)＝f (3)，∵m ≥0，∴a ·b ＝m ＋2≥2，由f (a ·b )>f (－1)得f (m ＋2)>f (3)， ∵f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴m ＋2<3，∴m <1，∵m ≥0，∴0≤m <1.16．(2011·河北冀州期末)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin θ，14，b ＝(cos θ，1)，c ＝(2，m )满足a ⊥b 且(a ＋b )∥c ，则实数m ＝________.[答案] ±522[解析] ∵a ⊥b ，∴sin θcos θ＋14＝0，∴sin2θ＝－12，又∵a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫sin θ＋cos θ，54，(a ＋b )∥c ， ∴m (sin θ＋cos θ)－52＝0，∴m ＝52(sin θ＋cos θ)，∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝12，∴sin θ＋cos θ＝±22，∴m ＝±522.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2011·甘肃天水期末)已知向量a ＝(－cos x ，sin x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ，x ∈[0，π]．(1)求函数f (x )的最大值；(2)当函数f (x )取得最大值时，求向量a 与b 夹角的大小． [解析] (1)f (x )＝a ·b ＝－cos 2x ＋3sin x cos x ＝32sin2x －12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12. ∵x ∈[0，π]，∴当x ＝π3时，f (x )max ＝1－12＝12.(2)由(1)知x ＝π3，a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，设向量a 与b 夹角为α，则cos α＝a ·b |a |·|b |＝121×1＝12， ∴α＝π3.因此，两向量a 与b 的夹角为π3.18．(本小题满分12分)(2011·呼和浩特模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证MF 1→·MF 2→＝0.[解析] (1)解：∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ， ∵过(4，－10)点，∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(－3＋23，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝－3＋m 2，又∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0，即MF 1→⊥MF 2→.19．(本小题满分12分)(2011·宁夏银川一中月考，辽宁沈阳二中检测)△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(2sin B,2－cos2B )，n ＝(2sin 2(π4＋B2)，－1)，m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝1，求c 的值．[分析] 根据向量关系式得到角B 的三角函数的方程，解这个方程即可求出角B ，根据余弦定理列出关于c 的方程，解这个方程即可．[解析] (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0， ∴4sin B ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋B 2＋cos2B －2＝0， ∴2sin B [1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋B ]＋cos2B －2＝0， ∴2sin B ＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0， ∴sin B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π6或56π.(2)∵a ＝3，b ＝1，∴a >b ，∴此时B ＝π6，方法一：由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴c 2－3c ＋2＝0，∴c ＝2或c ＝1. 方法二：由正弦定理得b sin B ＝asin A，∴112＝3sin A ，∴sin A ＝32，∵0<A <π，∴A ＝π3或23π，若A ＝π3，因为B ＝π6，所以角C ＝π2，∴边c ＝2；若A ＝23π，则角C ＝π－23π－π6＝π6，∴边c ＝b ，∴c ＝1. 综上c ＝2或c ＝1.20．(本小题满分12分)(2011·山东济南一中期末)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈[π2，π]．(1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)求函数f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |的最大值，并求使函数取得最大值时x 的值． [解析] (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos2x ，|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2⎝⎛⎭⎫cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2 ＝2＋2cos2x ＝2|cos x |， ∵x ∈[π2，π]，∴cos x <0，∴|a ＋b |＝－2cos x .(2)f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |＝cos2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32 ∵x ∈[π2，π]，∴－1≤cos x ≤0，∴当cos x ＝－1，即x ＝π时f max (x )＝3.21．(本小题满分12分)(2011·河南豫南九校联考)已知OA →＝(2a sin 2x ，a )，OB →＝(－1,23sin x cos x ＋1)，O 为坐标原点，a ≠0，设f (x )＝OA →·OB →＋b ，b >a .(1)若a >0，写出函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[π2，π]，值域为[2,5]，求实数a 与b 的值．[解析] (1)f (x )＝－2a sin 2x ＋23a sin x cos x ＋a ＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋b ， ∵a >0，∴由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴函数y ＝f (x )的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )(2)x ∈[π2，π]时，2x ＋π6∈[7π6，13π6]，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－1，12] 当a >0时，f (x )∈[－2a ＋b ，a ＋b ]∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4，当a <0时，f (x )∈[a ＋b ，－2a ＋b ]∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2－2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝3综上知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4 22．(本小题满分12分)(2011·北京朝阳区模拟)已知点M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|PN →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若－187≤NA →·NB →≤－125，求直线l 的斜率的取值范围．[解析] 设动点P (x ，y )，则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，PN →＝(1－x ，－y )．由已知得－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，化简得3x 2＋4y 2＝12，得x 24＋y 23＝1. 所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1 消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.因为N 在椭圆内，所以Δ>0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.因为NA →·NB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(1＋k 2)(x 1－1)(x 2－1)＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝(1＋k 2)4k 2－12－8k 2＋3＋4k 23＋4k 2＝－9(1＋k 2)3＋4k 2，所以－187≤－9(1＋k 2)3＋4k 2≤－125.解得1≤k 2≤3. 所以－3≤k ≤－1或1≤k ≤ 3.。

平面向量练习题

平面向量练习题【题目一】向量运算1. 已知向量A = 2A− 3A，A = 4A + AA，A = A + (A + 1)A，求当A为何值时，向量A + A = A成立。

解答：由题意，向量A + A = A成立，即 (2A− 3A) + (4A + AA) = A + (A + 1)A。

按照各分量相等，得到以下方程组：2 + 4 = 1，−3 + A = A + 1。

化简方程组得：6 = 1，−3 = 1。

由于方程组无解，所以不存在A使得向量A + A = A成立。

【题目二】向量的模和方向2. 已知向量A = 3A + 4A，求向量A的模和方向。

解答：向量A的模记为 |A|，根据向量模的定义：|A| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。

向量A的方向记为A，根据向量方向的定义：A = arctan(A/A) = arctan(4/3)。

所以，向量A的模为 5，方向为 arctan(4/3)。

【题目三】向量共线3. 已知向量A = AA− 2A，向量A = 5AA− 10AA，且向量A与向量A共线，求A、A的值。

解答：由题意，向量A与向量A共线，即A = AA，其中A为比例系数。

根据共线性的定义，A = AA可以得到以下方程组：A = 5AA，−2 = −10AA。

化简方程组得：A = 5A，−2 = −10A。

由第一个方程得：A = A/(5A)，代入第二个方程得：−2 =−10(A/(5A))。

化简方程得：A = A/10。

所以，A = 5A = 5(A/10) = A/2。

两边同乘以2得：2A = A。

由此可得A = 0，代入A = A/10 可得A = 0。

因此，A和A的值均为0。

【题目四】向量垂直4. 已知向量A = AA + AA，向量A = 4A− 3A，且向量A与向量A垂直，求A、A的值。

解答：由题意，向量A与向量A垂直，即A·A = 0。

高中数学平面向量测试题及答案

平面向量测试题一、选择题：1。

已知ABCD 为矩形,E 是ＤC 的中点,且−→−AB =→a ，−→−AD ＝→b ，则−→−BE =( ) (A) →b +→a 21 (Ｂ） →b －→a 21 (C ） →a ＋→b 21 （D) →a －→b 212．已知B 是线段A Ｃ的中点，则下列各式正确的是( ）（Ａ） −→−AB =-−→−BC (B) −→−AC =−→−BC 21（Ｃ） −→−BA ＝−→−BC (D ） −→−BC ＝−→−AC 213．已知ＡB ＣDEF 是正六边形，且−→−AB =→a ,−→−AE ＝→b ,则−→−BC ＝（）（A))(21→→-b a (B) )(21→→-a b (C) →a +→b 21 （D ） )(21→→+b a４．设→a ，→b 为不共线向量,−→−AB ＝→a +2→b ，−→−BC ＝－4→a -→b ,−→−CD = －5→a -3→b ,则下列关系式中正确的是 ( )（Ａ）−→−AD =−→−BC （Ｂ）−→−AD ＝2−→−BC (C)−→−AD ＝－−→−BC(D ）−→−AD =－2−→−BC5．将图形F 按→a ＝(h,k ）(其中h>0,k ＞0)平移，就是将图形F( ) （A ）向x 轴正方向平移h 个单位,同时向ｙ轴正方向平移k 个单位。

（B ）向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移ｋ个单位。

（C ）向x 轴负方向平移h 个单位，同时向ｙ轴负方向平移k 个单位。

（D ）向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。

６.已知→a ＝()1,21,→b =（),2223-，下列各式正确的是（ )(A) 22⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→b a (Ｂ） →a ·→b ＝1 (C ） →a =→b (D ） →a 与→b 平行 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量,且k →1e +→2e 与→1e ＋k →2e 共线,则k 的值是（ ) （A ） 1 (B ）－１（Ｃ） 1± (Ｄ) 任意不为零的实数８．在四边形AB ＣＤ中,−→−AB =−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD =０，则四边形A ＢCD 是( ) （A) 矩形 (B) 菱形 (C) 直角梯形 (Ｄ）等腰梯形9.已知M （－2,7)、N （１0,-２），点P 是线段MN 上的点,且−→−PN ＝-２−→−PM ，则P 点的坐标为（ )（A ）（-14,１６)(B ）（2２，－11）（C ） (6,1）（D ） (2,４）10.已知→a ＝（1,２），→b ＝(-2，3），且ｋ→a ＋→b 与→a －ｋ→b 垂直,则ｋ=( ) (A) 21±-(Ｂ) 12±（C)32±（D ） 23±11．把函数2)sin(3--=πx y 的图象经过按→a 平移得到x y sin =的图象，则→a =（ )(Ａ） ()2,3π-(B) ()2,3π（C ） ()2,3--π(Ｄ） ()2,3-π12.△ABC 的两边长分别为2、3，其夹角的余弦为31 ，则其外接圆的半径为（ ) (A ）229（Ｂ)429（C ）829（D ）922二、填空题：13.已知M 、N 是△A ＢC 的边BC 、CA 上的点，且−→−BM =31−→−BC ，−→−CN =31−→−CA ,设−→−AB ＝→a ,−→−AC ＝→b ，则−→−MN =14.△ABC 中,C A B cos sin sin =，其中A 、B 、Ｃ是△A ＢC 的三内角,则△ABC 是三角形。

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平面向量统计算法测试题
一、选择题
1、复数3223i i
+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i
2、已知向量()k a ,1=→，()1,2=→b ，若→a 与→b 的夹角为0
90，则实数k 的值为（） A 、2
1- B 、21 C 、-2 D 、2 3、已知点A ()1,1-，点B ()y ,2，向量()2,1=→a ，若→
→a AB //，则实数y 的值为：（）
A 、5
B 、6
C 、7
D 、8
4、已知向量→→b a ,满足3||=→a ，3||=→b ，→→060的夹角为与b a ，则→
→⋅b a =____________;
若→
→→⊥⎪⎭
⎫ ⎝⎛-a b m a ，则实数m=___________ 5、ABC ∆中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，→→→+=AC AB AN μλ，则μλ+的值为（）
A 、21
B 、31
C 、4
1 D 、1
6、已知非零向量→→b a ,满足⎪⎭⎫ ⎝⎛+⊥=→→→
→→b a b b a 且||2||，则向量→→b a 与的夹角为____________;
7、执行右图所示的程序框图，若输入10x =，则输出y 的值为．
8、如图是求2
222100321+⋅⋅⋅+++的值的程序框图，
则正整数n=
9、已知向量()()x x b x x a cos ,cos ,sin ,cos -==→→，()0,1-=→c
（1）若6π
=x ，求向量→a 、→
c 的夹角；（2）当]89,2[π
π∈x 时，求函数()12+⋅=→
→b a x f 的最大值； 10、甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次记录如下：
甲82 81 79 78 95 88 93 84
乙92 95 80 75 83 80 90 85
（1）画出甲乙两位同学成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数，并说明它在数据中的含义；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认主派哪位学生参加合适？请说明理由
（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望)(ξE
11、为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)；[15,20)；[20,25)；[25,30)；[30,35)，频率分布直方图如图所示，已知生产产品数量在[20,25)之间的工人有6位；
（1）求m ；（2）工厂规定从各组中任选1人进行再培训，则选取5人不同在一组的概率是多少？
产品数量
112233。