(整理)定积分 笔记.

第三节定积分
一、定积分的定义
设函数在上有界，在中任意插入若干个分点
把区间分成个小区间，各小区间的长度依次为，，在各小区间上任
取一点()，作乘积并作为，记
，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和总趋于确定的极限我们称这个极限为函数在区间上的定积记为：
二、定积分的性质
性质1：
性质2：(为常数)
性质3：假设，
性质4：
性质5：在区间上，则
性质6：设及分别是函数在区间上的最大值及最小值，则
性质7(定积分中值定理)如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点，使
积分中值公式的几何解释：
在区间上至少存在一个点，使得以区间为底边，以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积。

三、微积分的基本公式
1．原函数存在定理：如果在上连续，则变上限积分的函数在可导，还是在上的一个原函数。

2．微积分基本公式（牛顿—莱布尼茨公式）
如果是连续函数在区间上的一个原函数，则场。

微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间上的定积分等于它的任意一个原函数在区间上的增量。

求定积分问题转化为求原函数的问题。

第四节 定积分的积分方法与无穷区间上的广义积分 一、 定积分的积分方法
1、定积分的换元积分法
例1
求4
⎰.
解一
2d 1t t
t +⎰
1
2(1)d 1t t =-
+⎰2(ln 1)t t C =-++
=
ln 1C
++
于是
440
ln(1=-+⎰
= 42ln3- .
解二 设
t =，即2
(0)x t t =>. 当0x =时,0t =;当 4x = 时，2t =.
于是
42
22
002d 12(1)d 2(ln 1)2(2ln 3)
11t t t t t t t ==-=-+=-++⎰
⎰
⎰.
一般地，定积分换元法可叙述如下，设()f x 在[,]a b 上连续,而()x x ϕ=满足下列条件：
（1）()x x ϕ=在[,]αβ上有连续导数；
（2）(),()a b ϕαϕβ==,且当 t 在[,]αβ上变化时,()x t ϕ=的值在[,]a b 上变化，则有换元公
式：
()d [()]()d b a
f x x f t t t
β
α
ϕϕ'=⎰
⎰.
例2
求
ln 0
x
⎰
.
解
t =，即22
2ln(1),d d 1t
x t x t t =+=
+.
换积分限：当 0x = 时，0t =, 当 ln2x =时，1t =,于是
ln 1
1220
021d 2(1)d 11t x t t t t t =⋅
=-++⎰
⎰⎰1
0π2(arctan )22t t =-=-.
例3 求
24d a a
x x ⎰
.
解 设sec x a t =，则 d sec tan d x a t t t =. 换积分限:当x a =时，0t =; 2x a = 时，
π
3t =
,
于是
π
234440tan d sec tan d sec a a
a t x a t t t x a t =⎰
⎰ =π
23201sin cos d t t t a ⎰
π2
32
1
sin d(sin )t t a =
⎰
2
1a =.3π30
sin 3
t =
.
例4 求
π20
d 1sin x I x =+⎰
.
解一 （换元法）令
2222d tan ,sin ,d 211x t t t x x t t ===
++， 所以，当0x =时，0t =；当
π
2x =
时，1t =，
于是
1
11
2
20002d 2d 2112(1)1t I t t t t t ===-=++++⎰
⎰. 解二 （凑微分法）
ππ
220
2
22
d d (sin cos )(tan 1)cos 22
22x x
I x x x x ==++⎰
⎰
ππ
220
2d tan
1
2
221
(tan 1)tan 1
22
x x x ==-=++⎰
.
注意:求定积分一定要注意定积分的存在性.
2、定积分的分部积分法
设()u x ,()v x 在[a,b]上有连续导数，则有
d d b b
b a
a
a
u v uv v u
=-⎰
⎰.[,]a b
该公式称为定积分分部积分公式，使用该公式时要注意，把先积出来得那一部分代上下限求值，余下的部分继续积分.这样做比完全把原函数求出来再代上下限简便一些.
例5 求
π220
cos d x x x
⎰
.
解
ππ22220
cos d d(sin )x x x x x =⎰⎰ππ2
2
20
0sin 2sin d x x x x x
=-⎰
ππ22
2
22000
ππ2d(cos )2cos 2cos d 44x x x x x x π=+=+-⎰⎰
π22
20
ππ2sin 244
x
=-=-.
例6 求
e 1e
ln d x x
⎰
.
解
e 1e
111
e
e
ln d ln d ln d x x x x x x
=+⎰
⎰⎰.因为1
1e x <<时, ln 0x <,这时ln ln x x =-;x ≥1时,ln x ≥
0,这时
ln ln x x
=.于是
e 1
e
1
11
e
e
ln d ln d ln d x x x x x x
=-+⎰
⎰⎰
分别用分部积分求右端两个积分得
1
11
1
1111e e e e
1112
ln d ln d ln 1e e e x x x x x x x x -=-+=+=-
⎰⎰,
e e e
1
1
1
ln d ln 1
x x x x x =-=⎰
,最后得e 1e
2ln d 2e x x =-
⎰
.
二、 无穷区间上的广义积分
设函数f (x) 在区间[a , )+∞上连续，取b >a ，如果极限lim
()b
a
b f x dx
→+∞
⎰
存在，则称此
极限为函数f (x) 在无穷区间[ a, )+∞上的广义积分，记作()a f x dx
+∞
⎰
即
()a
f x dx
+∞
⎰
=lim ()b
a b f x dx
→+∞⎰
这时也称广义积分()a
f x dx
+∞
⎰收敛。

如果上述极限不存在，此时称广义积分()a
f x dx
+∞
⎰发散。

例题1 计算广义积分: 2
1
1dx x
+∞
-∞+⎰. 解21
1dx x
+∞
-∞+⎰=[arc tan x ]|+∞-∞
=lim arctan lim arctan x x x x →+∞
→-∞
-
=
()22
π
π
π--=.
第五节 定积分的应用
一、 微元法
定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.
可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U （总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：
(1) 由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ，任取],[b a 的一个区间微元],[dx x x +，求出相应于这个区间微元上部分量U ∆的近似值，即求出所求总量U 的微元
dx x f dU )(=；
(2) 由微元写出积分 根据dx x f dU )(=写出表示总量U 的定积分
⎰⎰==b
a
b a
dx x f dU U )(
二、平面区域的面积
1、直角坐标的情形
由曲线)0)(()(≥=x f x f y 及直线 x a =与 x b = ( a b < ) 与 x 轴所围成的曲边梯形
面积
A 。

A f x dx a
b
=⎰() 其中：f x dx ()为面积元素。

由曲线
y f x =() 与 y g x =() 及直线 x a =，x b =( a b < )且f x g x ()()≥所
围成的图形面积A 。

⎰⎰⎰-=-=
b
a
b
a
b
a
dx x g x f dx x g dx x f A ])()([)()(
其中：dx x g x f ])()([- 为面积元素。

例1 计算抛物线x y 22
=与直线4-=x y 所围成的图形面积。

解：1、先画所围的图形简图
解方程 ⎩⎨⎧-==4
22x y x
y , 得交点：)2,2(- 和 )4,8(。

2. 选择积分变量并定区间 选取x 为积分变量，则08≤≤x
3. 给出面积元素
在20≤≤x 上，
dx
x dx x x dA 22])2(2[=--=
在82≤≤x 上，
dx
x x dx x x dA )24(])4(2[-+=--=
4. 列定积分表达式
18
2132243
24]24[22
8
2
223
20
2
38
2
2
=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-++=
-+
+=⎰⎰x x x x
dx
x x dx x A 另解：若选取
y 为积分变量，则 42≤≤-y
dy y y dA ]2
1)4([2
-
+= 18
642)21
4(4
2
322
4
2
=-
+=-+=
--⎰y y y dy
y
y A
显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。

2、极坐标情形
设平面图形是由曲线 )(θϕ=r 及射线αθ=，βθ=所围成的曲边扇形。

取极角θ为积分变量，则 βθα≤≤,在平面图形中任意截取一典型的面积元素A ∆，它是极角变化区间为],[θθθd +的窄曲边扇形。

A ∆的面积可近似地用半径为r ， 中心角为θd 的窄圆边扇形的面积来代替， 从而得到了曲边梯
形的面积微元为 θθd dA 2])(r [2
1
=
从而面积为
⎰=β
αθθd A )(r 2
1
2
例2 计算心脏线r
a a =+>(cos )()10θ所围成的图形面积。

解： 由于心脏线关于极轴对称，
ππθθ
θ
θθθπ
θ
π
π
π2
2
2
4
2
20
4
2
2
0220222
32!!4!)!14(8cos 82
cos
42cos 2)cos 1(212a a tdt a
d a
d a d a A t =⋅-==⎪⎭⎫ ⎝
⎛
=+=⎰⎰⎰⎰=令
三、求体积
1、旋转体的体积
旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴。

计算由曲线
y f x =()直线x a =，x b =及x 轴所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转一周而生成
的立体的体积。

取x 为积分变量，则],[b a x ∈，对于区间],[b a 上的任一区间],[dx x x +，它所对应的窄曲边梯形绕x 轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以)(x f 为底半径，dx 为高的圆柱体体积。

即：体积微元为
[]dx x f dV 2
)(π=
所求的旋转体的体积为
[]dx x f V b
a
⎰=2
)(π
例3 求由曲线x h
r
y ⋅=及直线0=x ，
)0(>=h h x 和x 轴所围成的三角形绕x 轴旋转而生成的立体的体积。

解：取x 为积分变量，则],0[h x ∈
h r dx x h r dx x h r V h
h
20
2
2
20
2
3
π
ππ=
⋅=⎪⎭⎫
⎝⎛=⎰⎰
2、平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法 )
由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这
个立体的体积也可以用定积分来计算。

取定轴为x 轴， 且设该立体在过点a x =，b x =且垂直于x 轴的两个平面之内， 以)(x A 表示过点x 且垂直于x 轴的截面面积。

取x 为积分变量，它的变化区间为],[b a 。

立体中相应于],[b a 上任一小区间],[dx x x +的一薄片的体积近似于底面积为)(x A ，高为dx 的扁圆柱体的体积。

即：体积微元为 dx x A dV )(=
于是，该立体的体积为 dx x A V b
a
⎰=
)(
例4 计算椭圆122
22=+b
y a x 所围成的图形绕x 轴旋转而成的立体体积。

解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆22x a a
b
y -=
及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所生成的立体。

在x 处)(a x a ≤≤-，用垂直于x 轴的平面去截立体所得截面积为
222
)(
)(x a a
b x A -⋅=π 2
2222
3
4)()(ab dx x a a b dx x A V a
a a
a
ππ=-=
=
⎰⎰--
四、 平面曲线的弧长
1、直角坐标情形
设函数)(x f 在区间],[b a 上具有一阶连续的导数，计算曲线)(x f y =的长度s 。

取x 为积分变量，则],[b a x ∈,在],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度s ∆可以用它的弧微分ds 来近似。

于是，弧长元素为 []dx x f ds 2
)(1'+= 弧长为 []⎰'+=b
a dx x f s 2
)(1 例5 计算曲线)(3
223b x a x y ≤≤=的弧长。

解：dx x dx x ds +=+=1)(12
])1()1[(3
2)1(321232323a b x dx x s b a b a +-+=+=
+=⎰ 2、参数方程的情形
若曲线由参数方程
)()()(βαφϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x 给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成 [][]dt t t dy dx ds 2222)()()()(φϕ'+'=
+=
的形式，从而有 [][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()(
例6 计算半径为r 的圆周长度。

解： 圆的参数方程为
)20(sin cos π≤≤⎩⎨⎧==t t r y t r x
rdt dt t r t r ds =+-=22)cos ()sin (
r rdt s ππ
220
==⎰
3、极坐标情形
若曲线由极坐标方程
)()(βθαθ≤≤=r r
给出，要导出它的弧长计算公式，只需要将极坐标方程化成参数方程，再利用参数方程下的弧长计算公式即可。

曲线的参数方程为
x r y r ==⎧⎨⎩≤≤()cos ()sin ()θθθθαθβ
此时θ变成了参数，且弧长元素为
θ
θθθθθθd r r d r r d r r dy dx ds 2222222
2)()cos sin ()()sin cos ()()('+=+'+-'=+=
从而有
⎰'+=β
α
θd r r s 22
例7 计算心脏线r a =+≤≤(cos )()102θθπ的弧长。

解：θθθd a a ds 222)sin ()cos 1(-++=
=
+42222422a d [cos sin cos ]θθθθ
θθd a 2
cos 2=
a
d d a d a d a s 8]
cos cos [4cos 42cos
22
20020=-+===⎰⎰⎰⎰ππ
π
ππ
ϕϕϕϕϕϕθθ
五、变力作功 例8 半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为 1 ，现将这球从水中取出，需作多少功?
解：建立如图所示的坐标系
将高为r 的球缺取出水面，所需的力)(x F 为：浮F G x F -=)( 其中：g r G ⋅⋅=13
43
π是球的重力，浮F 表示将球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力。

由球缺公式 )3
(2x r x V -⋅=π 有 g x r x r F ⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-⋅=1)3(3423ππ浮
从而 )]2,0[()3
()(2r x g x r x x F ∈-⋅=π。

从水中将球取出所作的功等于变力)(x F 从0改变至r 2时所作的功。

取x 为积分变量，则]2,0[r x ∈，对于]2,0[r 上的任一小区间],[dx x x +，变力)(x F 从0到dx x +这段距离内所作的功。

g x r x dx x F dW )3
()(2-⋅==π 这就是功元素，并且功为
g r x x r g dx x r gx W r
r 4204320
234123)3(⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰ππππ。