上海市浦东新区达标名校2018年高考五月质量检测数学试题含解析

上海市浦东新区达标名校2018年高考五月质量检测数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．()cos sin x
e f x x
=在原点附近的部分图象大概是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）
A ．36
B ．45
C ．36-
D ．45-
4．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知函数()sin()(0,0)3f x x π
ωφωφ=+><<
满足()(),()12f x f x f ππ+==1，则()12
f π
-等于
（ ） A ．-
22
B ．
22
C ．-
12
D ．
12
6．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ） A ．
45
B ．45
-
C ．45
±
D ．
35
7．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．
85
B ．
65
C ．
45
D ．
25
8．若双曲线22
2:14x y C m
-=的焦距为45，则C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）
A ．2
B ．4
C ．19
D ．219
9．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
10．函数1()ln |
|1x
f x x
+=-的图象大致为 A ． B ． C ．
D ．
11．如图示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且2PA PB AB ===，
3PC =，则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）
A ．1
3
B．
6
3
C
．
3
3
D．
2
3
12．函数()
2cos2
cos2
21
x
x
f x x
=+
-
的图象大致是（）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数()24
f x sin x
π
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
的最小正周期为________;若函数()
f x在区间()
0α
，上单调递增，则α的最大值为________.
14．已知点()
0,1
A-是抛物线22
x py
=的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且
PF m PA
=，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为______.
15．已知向量a，b满足2
a=，1
b=，3
a b
-=，则向量a在b的夹角为______.
16．设
ln
,0
()
2019,0
e x
x
f x x
x x
⎧
>
⎪
=⎨
⎪-≤
⎩
（其中e为自然对数的底数），2
()()(21)()2
g x f x m f x
=--+，若函数()
g x恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，AD CD
⊥，AB//CD，3,4,5,32
AB AD CD AE AF
=====.
（1）证明：DF//平面BCE.
（2）设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ，求cos2θ.
18．诚信是立身之本，道德之基，我校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“
周实际回收水费
周投入成本
”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十
二周（共三个周期）的诚信数据统计：
（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x ；
（Ⅱ）若定义水站诚信度高于90%的为“高诚信度”，90%以下为“一般信度”则从每个周期的前两周中随机抽取两周进行调研，计算恰有两周是“高诚信度”的概率；
（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.
19．（6分）已知定点()30A -,
，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为1
9
-，记动点M 的轨迹为曲线C 。

（1）求曲线C 的方程；
（2）过点()1,0T 的直线与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点()0,0S x ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在，求出S 坐标；若不存在，请说明理由。

20．（6分）已知函数2
()x f x ae x =-.
（1）若曲线()f x 存在与y 轴垂直的切线，求a 的取值范围. （2）当1a ≥时，证明：2
3()12
f x x x +-
.
21．（6分）已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为e =且短轴的一个端点B 与两焦点A ，
C （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）若点P 为椭圆E 上的一点，过点P 作椭圆E 的切线交圆O ：2
2
2
x y a +=于不同的两点M ，N （其中M 在N 的右侧），求四边形ACMN 面积的最大值.
22．（8分）设抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，AB 为抛物线C 过焦点F 的弦，已知
以AB 为直径的圆与l 相切于点()1,0-.
（1）求p 的值及圆的方程；
（2）设M 为l 上任意一点，过点M 作C 的切线，切点为N ，证明：MF NF ⊥.
23．（8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，2PD AD =，PD DA ⊥，PD DC ⊥，底面ABCD 为正方形，M 、N 分别为AD 、PD 的中点．
（1）求证：//PA 平面MNC ；
（2）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
求出复数z ，得出其对应点的坐标，确定所在象限． 【详解】 由题意i i(1i)11i 1i (1i)(1i)22z +===-+--+,对应点坐标为11(,)22
- ，在第二象限． 故选：B ． 【点睛】
本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题． 2．A 【解析】 【分析】
分析函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.
令sin 0x ≠，可得{}
,x x k k Z π≠∈，即函数()y f x =的定义域为{}
,x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，
()()()()cos cos sin sin x x
e e
f x f x x x
--==-=--，则函数()y f x =为奇函数，排除C 、D 选项；
当0πx <<时，cos 0x
e >，sin 0x >，则()cos 0sin x
e f x x
=
>，排除B 选项. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 3．A 【解析】 【分析】
列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值. 【详解】
18i =≤满足，执行第一次循环，()1
20111S =+-⨯=-，112i =+=； 28i =≤成立，执行第二次循环，()2
21123S =-+-⨯=，213i =+=； 38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=； 48i =≤成立，执行第四次循环，()4
261410S =-+-⨯=，415i =+=； 58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=； 68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=； 78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=； 88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=； 98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选：A.
【点睛】
本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题. 4．A 【解析】
根据直线平行的等价条件，求出m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
当m=1时，两直线方程分别为直线l 1：x+y ﹣1=0，l 2：x+y ﹣2=0满足l 1∥l 2，即充分性成立， 当m=0时，两直线方程分别为y ﹣1=0，和﹣2x ﹣2=0，不满足条件． 当m≠0时，则l 1∥l 2⇒322
11
m m m --=≠-， 由
321m m
m -=得m 2﹣3m+2=0得m=1或m=2， 由211
m -≠-得m≠2，则m=1， 即“m=1”是“l 1∥l 2”的充要条件， 故答案为：A 【点睛】
（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合. 5．C 【解析】 【分析】
设()f x 的最小正周期为T ，可得,nT n N π*=∈，则*
2,n n ω=∈N ，再根据112f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
得*2,,2
6
k n k Z n N π
π
φπ=
+-⋅
∈∈，又03
π
φ<<
，则可求出122n k -=，进而可得()12
f π
-
.
【详解】
解：设()f x 的最小正周期为T ，因为()()f x f x π+=，
所以,nT n N π*
=∈，所以*2,T n n
π
π
ω
=
=
∈N ，
所以*
2,n n ω=∈N ， 又112f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，所以当12x π=时，262x n k ππωϕφπ+=⋅+=+， *2,,2
6
k n k Z n N π
π
φπ∴=+-⋅∈∈，因为03
π
φ<<
022
6
3
k n π
π
π
π∴<
+-⋅
<
，
整理得1123n k <-<，因为12n k Z -∈，
122n k ∴-=，
()22122
6
6
k k π
π
π
φπ∴=+-+⋅
=
，则26
6
2
n k π
π
π
π⋅
+
=
+
263
n k ππ
π∴
=+ 所以()sin 212126sin 66f n n ππ
πππ⎛⎫-
-- ⎪⎝⎡⎤⎛⎫
=⋅+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎭ 1sin 2sin 3662k ππππ⎛⎫⎛⎫
=--+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故选：C. 【点睛】
本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目. 6．B 【解析】 【分析】
根据题意可得：tan 2α，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tan 2α代入计算即可求出值．
【详解】
由于直线2y x =-的倾斜角为α，所以tan 2α，
则22222sin cos 2tan 224
sin 22sin cos sin cos tan 1(2)15
ααααααααα-⨯=====-++-+
故答案选B 【点睛】
本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键． 7．B 【解析】 【分析】
由题意知，3~(5,)3X B m +，由3
533EX m =⨯
=+，知3~(5,)5X B ，由此能求出()D X ． 【详解】
由题意知，3
~(5,
)3
X B m +， 3
533EX m ∴=⨯
=+，解得2m =， 3
~(5,)5X B ∴，
336
()5(1)555
D X ∴=⨯⨯-=．
故选：B ． 【点睛】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用． 8．B 【解析】 【分析】
根据焦距即可求得参数m ，再根据点到直线的距离公式即可求得结果. 【详解】
因为双曲线22
2:14x y C m
-=的焦距为
故可得(2
2
4m +=，解得2
16m
=，不妨取4m =；
又焦点()
F ，其中一条渐近线为2y x =-，
由点到直线的距离公式即可求的4d ==.
故选：B. 【点睛】
本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题. 9．C 【解析】 【分析】
设抛物线的解析式2
2(0)y px p =>，得焦点为,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，对称轴为x 轴，准线为2p x =-，这样可设A
点坐标为,22p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，代入抛物线方程可求得p ，而P 到直线AB 的距离为p ，从而可求得三角形面积． 【详解】
设抛物线的解析式2
2(0)y px p =>， 则焦点为,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，对称轴为x 轴，准线为2p x =-，
∵ 直线l 经过抛物线的焦点，A ，B 是l 与C 的交点， 又AB x ⊥轴，∴可设A 点坐标为,22p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
代入2
2y px =，解得2p =，
又∵点P 在准线上，设过点P 的AB 的垂线与AB 交于点D ，||222
p p
DP p =+-==， ∴11
||||24422
ABP S DP AB ∆=⋅=⨯⨯=. 故应选C. 【点睛】
本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出A 点坐标，从而求得参数p 的值．本题难度一般． 10．D 【解析】 【分析】 【详解】
由题可得函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠±， 因为1()ln |
|1x f x x --==+1ln ||()1x
f x x
+-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除选项B ； 又(1.1)ln 211f =>，(3)ln 21f =<，所以排除选项A 、C ，故选D ． 11．A 【解析】 【分析】
首先找出PC 与面PAB 所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值. 【详解】
由题知ABC 是等腰直角三角形且90ACB ∠=︒，ABP △是等边三角形，
设AB 中点为O ，连接PO ，CO ，可知6
2
PO =，2CO =
同时易知AB PO ⊥，AB CO ⊥，
所以AB ⊥面POC ，故POC ∠即为PC 与面PAB 所成角，
有222cos 23
PO CO PC POC PO CO +-∠==
⋅，
故1
sin 3
POC ∠==. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题. 12．C 【解析】 【分析】
根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 【详解】
∵()2cos221
cos2cos22121
x x
x x f x x x +=+=⨯--， ()()()2121
cos 2cos22121
x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，
∴函数()f x 为奇函数， ∴排除选项A ，B ；
又∵当04x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，时，()0f x >，
故选：C. 【点睛】
本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．π 8
π
【解析】 【分析】
直接计算得到答案，根据题意得到2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭
，242ππ
α+≤，解得答案.
【详解】
()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，故22T π
π==，当()0,x α∈时，2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，
故24
2
π
π
α+
≤
，解得8
π
α≤
.
故答案为：π；8
π. 【点睛】
本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 14．21+ 【解析】 【分析】
由点A 坐标可确定抛物线方程，由此得到F 坐标和准线方程；过P 作准线的垂线，垂足为N ，根据抛物线定义可得
PN m PA
=，可知当直线PA 与抛物线相切时，m 取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可
求得P 点坐标，根据双曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率. 【详解】
()0,1A 是抛物线22x py =准线上的一点 2p ∴=
∴抛物线方程为24x y = ()0,1F ∴，准线方程为1y =-
过P 作准线的垂线，垂足为N ，则PN PF =
PF m PA = PF PN m PA
PA
∴
=
=
设直线PA 的倾斜角为α，则sin m α=
当m 取得最小值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切 设直线PA 的方程为1y kx =-，代入2
4x y =得：2440x kx -+=
216160k ∴∆=-=，解得：1k =± ()2,1P ∴或()2,1-
∴双曲线的实轴长为)
21PA PF -=，焦距为2AF =
∴双曲线的离心率1
e =
=
1 【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能够确定当m 取得最小值时，直线PA 与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得P 点坐标. 15．
3
π 【解析】 【分析】
把3a b -=平方利用数量积的运算化简即得解. 【详解】
因为2a =，1b =，3a b -=， 所以2
2
23a a b b -⋅+=，∴1a b ⋅=， ∴1
cos 2
θ=，因为[0,]θπ∈ 所以3
π
θ=
.
故答案为：3
π 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的运算法则，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16．2m > 【解析】 【分析】
求函数()f x '，研究函数的单调性和极值，作出函数()f x 的图象，设()t f x =，若函数()g x 恰有4个零点，则等价为函数2()(21)2h t t m t =--+有两个零点，满足1t >或01t <<，利用一元二次函数根的分布进行求解即可． 【详解】
当0x >时，2
(1)
()e lnx f x x -'=
， 由()0f x '>得：10lnx ->，解得0x e <<，
由()0f x '<得：10lnx -<，解得x e >，
即当x e =时，函数()f x 取得极大值，同时也是最大值，f （e ）1=， 当x →+∞，()0f x →， 当0x →，()f x →-∞， 作出函数()f x 的图象如图，
设()t f x =，
由图象知，当1t >或0t <，方程()t f x =有一个根， 当0t =或1t =时，方程()t f x =有2个根， 当01t <<时，方程()t f x =有3个根，
则2
()()(21)()2g x f x m f x =--+，等价为2()(21)2h t t m t =--+，
当0t =时，(0)20h =≠，
∴若函数()g x 恰有4个零点，
则等价为函数2()(21)2h t t m t =--+有两个零点，满足1t >或01t <<，
则(0)20
(1)0
h h =>⎧⎨
<⎩，
即h （1）1212420m m =-++=-< 解得：2m >， 故答案为：2m > 【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及．求的导数，研究函数的()f x 的单调性和极值是解决本题的关键，属于难题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）证明见解析（2）7
25
- 【解析】
（1）根据线面垂直的性质定理，可得DE//BF ，然后根据勾股定理计算可得BF ＝DE ，最后利用线面平行的判定定理，可得结果.
（2）利用建系的方法，可得平面ABF 的一个法向量为n ，平面CDF 的法向量为m ，然后利用向量的夹角公式以及平方关系，可得结果. 【详解】
（1）因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AD ， 因为AD ＝4，AE ＝5，DE ＝3，同理BF ＝3， 又DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ， 所以DE//BF ，又BF ＝DE ， 所以平行四边形BEDF ，故DF//BE ， 因为BE ⊂平面BCE ，DF ⊄平面BCE 所以DF//平面BCE ；
（2）建立如图空间直角坐标系，
则D （0，0，0），A （4，0，0）， C （0，4，0），F （4，3，﹣3），
()()0,4,0,4,3,3DC DF ==-，
设平面CDF 的法向量为m x y z =（，，），
由404330
m DC y m DF x y z ⎧⋅==⎨
⋅=+-=⎩，令x ＝3，得()3,0,4m =，
易知平面ABF 的一个法向量为()1,0,0n =， 所以3
5
m n =
cos ＜，＞， 故2
7cos 22cos 125
θθ=-=-.
本题考查线面平行的判定以及利用建系方法解决面面角问题，属基础题. 18．（Ⅰ）91%；（Ⅱ）2
3
；（Ⅲ）两次活动效果均好，理由详见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）结合表中的数据，代入平均数公式求解即可；
（Ⅱ）设抽到“高诚信度”的事件为i A ，则抽到“一般信度”的事件为B ，则随机抽取两周，则有两周为“高诚信度”事件为C ，利用列举法列出所有的基本事件和事件C 所包含的基本事件，利用古典概型概率计算公式求解即可；
（Ⅲ）结合表中的数据判断即可. 【详解】
（Ⅰ）表中十二周“水站诚信度”的平均数
9598928894948380859295961
91%12100
x +++++++++++=
⨯=.
（Ⅱ）设抽到“高诚信度”的事件为i A ，则抽到“一般信度”的事件为B ，则随机抽取两周均为“高诚信度”事件为C ，总的基本事件为
1213141523242534354512453,A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B A B A B A B B 、、、、、、、、、、、、、、共15种， 事件C 所包含的基本事件为12131415232425343545 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 、
、、、、、、、、共10种， 由古典概型概率计算公式可得，102
()153
P C ==. （Ⅲ）两次活动效果均好.
理由：活动举办后，“水站诚信度'由88%94%→和80%→85%看出，后继一周都有提升. 【点睛】
本题考查平均数公式和古典概型概率计算公式；考查运算求解能力；利用列举法正确列举出所有的基本事件是求古典概型概率的关键；属于中档题、常考题型.
19． (1) ()2
2139
x y x +=≠± ；(2) 存在定点()3,0S ±，见解析
【解析】 【分析】
（1）设动点(,)M x y ，则,(3)33MA MB y y k k x x x =
=≠±+-，利用19
MA MB k k =-，求出曲线C 的方程． （2）由已知直线l 过点(1,0)T ，设l 的方程为1x my =+，则联立方程组22
1
99x my x y =+⎧⎨+=⎩
， 消去x 得2
2
(9)280m y my ++-=，设1(P x ，1)y ，2(x Q ，2)y 利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解
指向性方程，推出结果． 【详解】
解：（1）设动点(),M x y ，则()33
MA y
k x x =
≠-+， ()33
MB y
k x x =
≠-， 19
MA MB k k ⋅=-，即1
339y y x x ⋅=-+-，
化简得：2
219
x y +=。

由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为()2
2139
x y x +=≠±。

（2）由已知直线l 过点()1,0T ，设l 的方程为1x my =+，
则联立方程组22
1,19x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()22
9280m y my ++-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1221222,9
8.
9m y y m y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨
⎪=-⎪+⎩
又直线SP 与SQ 斜率分别为11
1010
1SP y y k x x my x =
=-+-，
22
2020
1SQ y y k x x my x =
=-+-，
则()()()()1222
21020008
11991SP SQ y y k k my x my x x m x -⋅=
=+-+--+-。

当03x =时，m R ∀∈，()
2
082991SP SQ k k x -⋅=
=--；
当03x =-时，m R ∀∈，()
208118
91SP SQ k k x -⋅=
=--。

所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值。

【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题． 20．（1）2
a e
（2）证明见解析 【解析】
【分析】
（1）()20x
f x ae x '=-=在x ∈R 上有解，2x x a e =
，设2()x
x
g x e
=，求导根据函数的单调性得到最值，得到答案.
（2）证明23()12f x x x +-
，只需证223
12
x e x x x -+-，记21()12x h x e x x =+--，求导得到函数
的单调性，得到函数的最小值，得到证明. 【详解】
（1）由题可得，()20x
f x ae x '=-=在x ∈R 上有解， 则2x x a e =
，令2()x x g x e =，22()x
x
g x e -'=，
当1x <时，()0,()'>g x g x 单调递增；当1x >时，()0,()g x g x '<单调递减. 所以1x =是()g x 的最大值点，所以2
a e
. （2）由1,x
x a ae
e ∴，所以2()x
f x e x -，
要证明23()12f x x x +-，只需证22312x e x x x -+-，即证21
102
x e x x +--. 记2
1()1,()1,()2
x
x h x e x x h x e x h x ''=+
--=+-在R 上单调递增，且(0)0h '=， 当0x <时，()0,()h x h x '
<单调递减；当0x >时，()0,()h x h x '
>单调递增.
所以0x =是()h x 的最小值点，()(0)0h x h =，则2
1102
x
e x x +
--， 故23()12
f x x x +-. 【点睛】
本题考查了函数的切线问题，证明不等式，意在考查学生的综合应用能力和转化能力.
21．（Ⅰ）2
214
x y +=；
（Ⅱ）4. 【解析】 【分析】
（Ⅰ） 结合已知可得
c a =
bc =a ，b 的值，即可得椭圆方程； （Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0可得
2241m k =+，联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得MCO ANO S S ∆∆+，利用弦长公式及点到
直线的距离公式，求出MON S ∆，得到ACMN MON MCO ANO S S S S ∆∆∆=++，整理后利用基本不等式求最值. 【详解】
解：（Ⅰ
）可得
c a =
bc =222a b c =+， 解得2a =
，c =，1b =，得椭圆方程2
214
x y +=；
（Ⅱ）易知直线MN 的斜率k 存在，设MN ：y kx m =+， 由22
44
y kx m x y =+⎧⎨
+=⎩，得()()222
418410k x kmx m +++-=， 由(
)(
)
2
2
2
2
64164110k m k m ∆=-+-=，得2241m k =+， ∵ACMN MON MCO ANO S S S S ∆∆∆=++，
设点O 到直线MN ：0kx y m -+=的距离为d ，
d =
MN ==
12MON
S ∆=⨯==，
由22
4
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()2221240k x kmx m +++-=， 12221km x x k -+=+，21224
1
m x x k -⋅=+，
∴()1212122y y kx m kx m k x x m +=+++=++
2222211km m k m k k ⎛⎫
=-+= ⎪
++⎝⎭
∴)12122
1|
(||)221
MCO NAO m S S y y y y k ∆∆+=
+=+=+
， ∴(
)ACMN MON NAO MCO S S S S ∆∆∆==
++而2
2
41m k =+，22
1
4
m k -=，易知20k ≥，∴21m ≥，则1m ≥，
四边形ACMN
的面积
4
31
4
S m m =
==≤=++
当且仅当
3
m m
=，即m =“=”.
∴四边形ACMN 面积的最大值为4.
【点睛】
本题考查了由,,a b c 求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于难题.
22．（1）2，()2
214x y -+=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）由题意得l 的方程为2
p
x =-
，根据AB 为抛物线C 过焦点F 的弦，以AB 为直径的圆与l 相切于点()1,0-..利用抛物线和圆的对称性，可得12
p -=-，圆心为()1,0F ，半径为2.
（2）设()01,M y -，MN 的方程为()01y k x y =++，代入C 的方程，得()2
0440ky y y k -++=，根据直
线与抛物线相切，令()016160k y k ∆=-+=，得01y k k +=
，代入()2
0440ky y y k -++=，解得2y k
=.将2y k =代入C 的方程，得21x k
=，得到点N 的坐标为212,k k ⎛⎫
⎪⎝⎭，然后求解FM FN ⋅.
【详解】
（1）解：由题意得l 的方程为2
p
x =-， 所以12
p
-
=-，解得2p =. 又由抛物线和圆的对称性可知，所求圆的圆心为()1,0F ，半径为2. 所以圆的方程为()2
214x y -+=.
（2）证明：易知直线MN 的斜率存在且不为0，
设()01,M y -，MN 的方程为()01y k x y =++，代入C 的方程，
得()2
0440ky y y k -++=.
令()016160k y k ∆=-+=，得01y k k
+=
， 所以()222
044
440k y ky ky y y k k -+-++=
=，解得2y k
=.
将2y k =代入C 的方程，得21x k =，即点N 的坐标为212,k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()02122,,1,FM y FN k k ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 022********FM FN y k k k k k k
⎛⎫⋅=-+⋅=-+-⋅= ⎪⎝⎭， 故MF NF ⊥.
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义几何性质以及直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
23．（1）见解析；（2）
16
. 【解析】
【分析】
（1）利用中位线的性质得出//PA MN ，然后利用线面平行的判定定理可证明出//PA 平面MNC ；
（2）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2AD =，利用空间向量法可求得直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值.
【详解】
（1）因为M 、N 分别为AD 、PD 的中点，所以//PA MN ．
又因为PA ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ，所以//PA 平面MNC ；
（2）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设2AD =，
则()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,4P ，()1,0,0M ，()0,0,2N ，
()2,2,4PB =-，()0,2,2NC =-，()1,0,2MN =-．
设平面MNC 的法向量为(),,n x y z =，
则
n MN
n NC
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
，即
20
220
x z
y z
-+=
⎧
⎨
-=
⎩
，令1
z=，则2
x=，1
y=，所以()
2,1,1
n =．
设直线PB与平面MNC所成角为α，所以
1 sin cos,
6
n PB
n PB
n PB
α
⋅
=<>==
⋅
．
因此，直线PB与平面MNC所成角的正弦值为1 6 .
【点睛】
本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成的角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。