第一章 金融时间序列分析基础

2、随机游走过程 随机过程Yt 满足方程
Yt 1 Yt t 1
Yt 为第 t 时刻的观测值， Y0 0 ； 其中， t 1 期望值为零、方差为 2 、相互独立。 随机过程满足 t
E Yt E i 0 i 1
t Var Yt Var i t 2 i 1
1.2时间序列数据的平稳性检验
1、为什么要进行平稳性检验 “伪回归”（Spurious Regression）现象 例
Yt 0 1 X t t
X t X t 1 xt
Yt Yt 1 yt
yt 和 xt 是相互独立的白噪音过程。 其中，
Y0 0 ； 0 0 时，为 假设 X 0 0 ，

①
具体检验方法
建立一个VAR（P）的差分向量自回归模型
X t 0 X t 1 1X t 1 2X t 2 p X t p et

9.1.1 随机时间序列的数字特征 均值函数 t E(Yt ) f (t ),
t 1,2,...,n
自协方差函数
t s E[(Yt t )(Ys s )] t tt E[(Yt t ) ]
2 2
t , s 1,2,...,n ts
为Yt、Ys的协方差函数 , 或Yt的自协方差函数 Yt的方差函数
3、构造的 1，2，3
为：
RSS (约束) RSS (无约束) /r i RSS (约束) / (n k 1)
其中，RSS（约束）和RSS（无约束）分别 表示有约束和无约束的残差平方和，r为约束 条件个数，n为样本观测值个数，k为无约束模 型中解释变量个数。 i ，拒绝联合假设； 若 i > i ，接受联合假设 。 若 i <
广义上讲，若 Yt ut f (t ) f (t )是趋势函数，则 ut Yt f (t )应该是平稳的 ˆ ˆ X） 考察e Y （
t t 0 1 t
若et 是平稳的，则称 et为Yt的除趋势序列
季节识别 经济变量的含义、散点图、季节数据的自相关和 偏相关函数（领先或落后4个季度和领先或落 后12个月的时间序列数据的自相关函数和偏相 关函数应该出现高峰） 季节调整 把季节性数据某一个时刻的观察值与下一个周期 相应时刻的观察值相减，可能将周期性变化消 除掉，获得一个近似平稳的时间序列。
1.3.2 多个时间序列之间的协整
非平稳经济变量之间可能存在长期稳定的均衡关系,如两 个非平稳时间序列的线性组合却可能是平稳的 协整：如果X1t, X2t …..Xkt是I(d),存在一个向量
ß =(ß1, ß2,… ßk), 使得Zt = ßXt是I(d-b),b≥1, 则称X1t, X2t …..Xkt是CI(d,b),即它们产生了协整。 ß 为其协整向量之一。 用 et 表示X1t, X2t …..Xnt期的线性组合，亦是其对长期 均衡关系的偏离，该均衡误差一定是平稳的。
t Var Yt Var i t 2 i 1

两种随机游走过程均不满足平稳性随机过程条件
3、平稳时间序列和非平稳时间序列 平稳时间序列 时间序列符合平稳随机过程的条件 非平稳时间序列 判断：时间序列数据的均值、方差是否都为常 数，且两个时期的协方差是否只与时间的间隔 有关，与时间的起点无关
Yt 0 1 X t ut ˆ ˆ X） e Y （
t t 0 1 t
若et 是平稳的，则称 et为Yt的
注意:大多数宏观经济时间序列都是DSP而不是 TSP,而微观经济数据TSP较多
线性（非线性）除趋势 序列
趋势的识别： 数据本身的动态特征、散点图、差分原理或对数 变换等数学变换 差分原理：若数据呈现水平趋势，则一阶差分近 似为0；若线性趋势，则一阶差分近似为常数； 若二次曲线趋势，则二阶差分近似为常数。
2、协整D-W检验（CRDW） （1）提出零假设H0 ：d=0，即两时间序列不存 在协整 （2）对下式做OLS回归，得d值
Yt X t t
（3）若d≥CRDW的临界值，则拒绝零假设，两 时间序列存在协整
3、 Johansen协整检验（JJ检验） 指导思想： 对于多变量之间的协整关系， Johansen （1988）以及Johansen与Juselius(1990)提出了一种 向量自回归模型进行检验的方法。
2 l 1 m
渐进服从自由度为 m的 2 分布 一般m ln(T )
1.1.2时间序列数据的（弱）平稳性检验
1.平稳随机过程 随机过程 Yt ，对于任意的 t , s，满足：
2 Var Yt Var Yt s y 常数
E Yt E Yt s
t Yt 1 X t yi 1 xi
i 1 Байду номын сангаас 1
t t 2 Var t Var yi 1 xi t y t12 z2 i 1 i 1
t
t
随着t的增加，随机干扰项的误差会趋于无穷大， 出现“伪回归现象”。
第一章 金融时间序列分析基础
时间序列：博克斯与詹金斯的理念 “让数据自己说话”，着重于分析经济 时间序列本身的概率或随机性质，Yt而 可由自身的过去或滞后值以及误差项来 解释，不是寻求经济变量之间的联系。 （泛理论性）
1.1 时间序列的基本概念
随机时间序列（随机过程）： Yt（t=1，2……n) 依赖于参数时间 t 的随机变量 的集合 {Y1 ，Y2，。。。 Yt} 。 一个具体的时间序列数据集则是该随机时间序列的一个样本
i 1
p
Yt Yt 1 i Yt i ut
i i1
p
Yt t Yt 1 i Yt i t
i 1
P
的 i 阶滞 后项；p 为滞后阶结束，采用赤池信息准则（AIC）或 施瓦茨信息准则确定
为常数项；t 为时间趋势项；Yt i 为 Yt
t s Var Yt s E i t s 2 i 1

具有确定性趋势（常数项）的随机游走过程
Yt 1 0 Yt t 1
若Y0 0 ，则
t E Yt E 0 i t 0 i 1
2、平稳性检验的ADF检验法 单整过程，单位根过程
Yt 0 1Yt 1 t
如果 1 1 ,存在一个单位根的时间序列 Yt 称为单位根过程或单整过程。 1 1 与否表明时间序列 Yt 是否平稳， 对其的检验称为单位根检验。
ADF单位根检验

检验模型
Yt Yt 1 i Yt i ut
et 1 X1t 2 X 2t
n X nt
协整的意义在于:多个非平稳经济变量只要能发生协 整,存在一个协整向量使得其线形组合成为CI(d,d), 即I(0),则这种线形回归是合适的,随机误差项是白噪 声,不存在虚假回归 协整理论是从经济变量的数据显示的关系,确定模 型包含的变量和变量之间的理论关系,而不是从经济 理论确定模型.
Cov Yt , Yt s E Yt Yt s s

白噪声过程 随机过程 Yt ，对于任意的 t , s ，满足：
E Yt E Yt s 0
Var Yt Var Yt s 2
Cov Yt , Yt s E Yt Yt s 0
ADF单位根检验的假设为 原假设： ， 存在单位根 H0 : 0 备择假设： ，不存在单位根 H1 : 0 结果： 得到的ADF统计量小于给定显著水平下所对 应的ADF临界值，则拒绝原假设，表明不存在 单位根，时间序列是平稳的，否则，存在单位 根，时间序列是非平稳的。


补充说明 1、在判断是否 0 的时候用的是ADF统 计量而非 t 统计量； 2、构造三个F 统计量（1，2，3 ）来检 验系统的联合假设。 （1）对无截距带趋势的模型，采用 1 对 联合假设 0 进行检验； （2）对无截距和无趋势的模型，采用 2 对联合假设 0 进行检验； （3）对带截距无趋势的模型，采用 3 对 联合假设 0 进行检验；
2
2
。。。。 ˆ ˆ ˆ ˆ 得到偏自相关函数 1， 2， 3。。。 p
市场有效性检验

检验股价收益率的序列相关性 Ljung-Box 的Q统计量可用于检验时间序列的相 关性 H 0：1 ... m 0 H a : 存在一个 i 0
ˆ l T 1） Q(m) T (T 2) （ ,
ts t s 自相关函数 tt ss
为Yt的自相关函数
样本自相关系数和偏相关的计算
ˆ rt 与rt l的样本偏自相关系数 l，
rt 与rt l的样本自相关系数 rt rt rt l rt rt 2 rt 2 l
l




rt 0 1rt 1 u1t rt 0 1rt 1 2 rt 2 u2t ... rt 0 1rt 1 .. p rt p u pt ˆ ˆ1，记为 P 1，估计 1 ˆ ˆ ，记为 P 2，估计
时间序列平稳化的方法------差分、除趋势、 季节调整
选择那种方法取决于时间序列不平稳的原因 差分平稳过程(DSP)考察△Y,会使原始数据中包含的信息滤去
Yt Yt Yt 1, Yt (Yt ),..., Yt ( Yt )
2 d
d 1
一个时间序列在其趋势线附近是平稳的,则可用除趋势平 稳过程(TSP)
1.4 协整的检验
1、ENGLE-GRANGER检验 步骤（1）先用OLS方法估计下式，得到et
Yt X t t
（2）检验残差的单整性，用DF和ADF方法，但t统 计量服从ENGLE-GRANGER分布，临界值查ENGLEGRANGER分布表 若残差稳定，则认为Yt，Xt为（d，d）协整，若 残差是I（1），则认为Yt，Xt为（d，d-1）协整。。。。 协整检验的重要意义：只要我们检验过两个时间序列 的线形回归的残差是平稳的（I（0）），传统的回归方法 （估计、检验、预测等）就可以用于研究的时间序列数据。
随机时间序列平稳性检验 散点图:围绕Y的均值随机波动 样本自相关函数:样本相关系数为0的置信区间（0.2089,0.2089),当K增大时,样本相关系数迅速 衰减直至为0 单位根检验（unit root test）

金融时间序列的统计特性
价格序列一般都是非平稳的 收益率序列一般都认为是平稳的，而且是序列不相 关的或很弱的序列相关性（有效市场假说） 日收益率的均值接近于零，月收益率的均值要稍大 些 收益率序列的分布与矩
1.3 时间序列的单整与协整
1.3.1 单整性 若一个非平稳的时间序列{Yt}必须经过d次差分后 才能变成一个平稳的时间序列,则称其具有d阶单 整性, 即Yt ~I(d)
Yt Yt Yt 1, Yt (Yt ),..., Yt ( Yt )
2 d
d 1
单整的检验即平稳性检验,用单位根检验即可 时间序列平稳化的方法------差分方法会使原始数 据中包含的信息滤去