湖南省长沙市南雅中学2019-2020学年中考数学模拟质量跟踪监视试题

湖南省长沙市南雅中学2019-2020学年中考数学模拟质量跟踪监视试题
一、选择题
1．|﹣5|的相反数的倒数是（ ） A ．﹣5
B ．5
C ．
15
D ．﹣
15
2．定义：在平面直角坐标系中，圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：y ＝﹣
3
4
x+12与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA （点P 与点O ，A 不重台）上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是（ ）
A.3个
B.5个
C.7个
D.9个 3．已知资阳市某天的最高气温为19℃，最低气温为15℃，那么这天的最低气温比最高气温低（ ） A ．4℃
B ．﹣4℃
C ．4℃或者﹣4℃
D ．34℃
4．下图是由个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ） [Failed to download image :
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A. B. C. D.
5．已知反比例函数(为常数，)的图象经过点，则当-3<x<-2时，函数值的取值范围是
( )
A.
B.
C. D.
6．把一副三角板按如图所示摆放，使FD BC ∕∕，点E 恰好落在CB 的延长线上，则BDE ∠的大小为
（ ）
A ．10︒
B ．15︒
C ．25︒
D ．30°
7．如图是一个33⨯的奇妙方阵，其中每行、每列、两条对角线上的三个数字的和相等，则a 与b 的关系
不正确．．．
的是（ ）
A ．b =
B ．b =
C ．3a b =
D ．3a b = 8．一张矩形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是（ ） A ．平行四边形
B ．矩形
C ．正方形
D ．梯形
9．如图，边长为4个单位长度的正方形ABCD 的边AB 与等腰直角三角形EFG 的斜边FG 重合，△EFG 以每秒1个单位长度的速度沿BC 向右匀速运动（保持FG ⊥BC ），当点E 运动到CD 边上时△EFG 停止运动，设△EFG 的运动时间为t 秒，△EFG 与正方形ABCD 重叠部分的面积为S ，则S 关于t 的函数大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，反比例函数(0)k
y k x
=≠的图象过D 点和边BC 的中点E ，连接DE ，若△CDE 的面积是1，则k 的值是（ ）
A ．3
B ．4
C ．
D ．6
11．由两块大小不同的正方体搭成如图所示的几何体，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
12．在一次数学竞赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则这组数据的众数、中位数、方差分别是（ ） A ．5、3、4.6 B ．5、5、5.6
C ．5、3、5.6
D ．5、5、6.6
二、填空题
13．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且AC ＝16，BD ＝12，DH 垂直BC 于H ，则sin ∠DCH ＝_____．
14α<<的整数a 的值为_____．
15．抛物线y=（2x ﹣1）2
+t 与x 轴的两个交点之间的距离为4，则t 的值是_____． 16．已知x ﹣y=2，则x 2﹣y 2﹣4y=_____． 17．36的算术平方根是 ． 18．因式分解：xy 2
﹣4x ＝_____． 三、解答题
19．如图，一次函数21y =x -与反比例函数k
y x
=在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点B ，与y 轴相交于点C ，且3AB BC =.
（1）求点A 的坐标及反比例函数的解析式；
（2）现以点A 为中心，把线段AC 逆时针旋转90o 得到'AC ； ①请在图中作出线段'AC ；
②请直接写出'C 的坐标，并判断'C 是否在已知得双曲线上.
20．如图1，在△ABC 中，∠ABC=90°，AO 是△ABC 的角平分线，以O 为圆心，OB 为半径作圆交BC 于点D ，
（1）求证：直线AC 是⊙O 的切线；
（2）在图2中，设AC 与⊙O 相切于点E ，连结BE ，如果AB=4，tan ∠CBE=1
2
． ①求BE 的长；②求EC 的长．
21．某公司研发生产的560件新产品需要精加工后才能投放市场．现由甲、乙两个工厂来加工生产，已知甲工厂每天加工生产的新产品件数是乙工厂每天加工生产新产品件数的1.5倍，并且加工生产240件新产品甲工厂比乙工厂少用4天．
（1）求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少件新产品？
（2）若甲工厂每天的加工生产成本为2.8万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元要使这批新产品的加工生产总成本不超过60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？
22．如图，线段BC 所在的直线是以AB 为直径的圆的切线，点D 为圆A 上一点，满足BD BC =，且点C ，D 位于直径AB 两侧，连接CD 交圆于点 E ，F 为BD 上一点，连接 EF ，分别交AB ，BD 于点G ，H ，且EF BD =．
（1）求证：//EF BC ；
（2）若4EH =，2HF =，求BE 的长． 23．如图，已知△ABC 中，D 为AB 的中点．
（1）请用尺规作图法作出边AC 的中点E ，并连接DE （保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）条件下，若S △ADE =2，求△ABC 的面积．
24．某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查．问卷给出了五个社团供学生选择(学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选)，对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如下表：
（1）根据以上信息填空：这5个数的中位数是______；扇形图中没选择的百分比为______；
（2）①补全条形统计图；②若该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；
（3）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团
．．．．．．的概率．
25．（某中学九年级学生共600人，其中男生320人，女生280人．该校对九年级所有学生进行了一次体育模拟测试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：
＝；＝；
（2）若将该表绘制成扇形统计图，那么Ⅲ类所对应的圆心角是°；
（3）若随机抽取的学生中有64名男生和56名女生，请解释“随机抽取64名男生和56名女生”的合理性；
（4）估计该校九年级学生体育测试成绩是40分的人数．
【参考答案】*** 一、选择题
13．
2425
. 14．答案不唯一：2、3、4 15．-16 16．4 17．
18．x （y+2）（y ﹣2） 三、解答题 19．（1）6
;y x
=（2）①详见解析；②'6,1C （）,点在双曲线上. 【解析】 【分析】
（1）过点A 作AD ⊥x 轴，令x=0，y=0，分别求出BO ，OC 的长，再根据△BOC ∽△BDA 求出BD ，AD 的长，从而可求出点A 坐标，得出结论； （2）①根据题意作图即可；
②过点C 作CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，过点C '作C 'E ⊥AD 于点E ，通过证明△C AE '≌△ACF ，可得点C '的坐标，再代入反比例函数进行难即可. 【详解】
（1）分别把0x =，0y =代入21y x =-可得：(0,1), (0.5,0)C -B 过A 作AD x ⊥轴于D ，
则BOC
BDA ∆∆，
∴
3AD BD AB
OC OB BC
===， 1,0.5,OC OB ==Q
∴=3, 1.5,AD BD = ∴2OD =
(2,3)A ∴
6y x
∴=
（2）①作图如下：
②过点C 作CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，过点C '作C 'E ⊥AD 于点E ，
∴90AFC AEC '∠=∠=︒ ∵AC '⊥AC ， ∴∠CAF+∠C AE '=90° ∵∠'C =∠CAF ， ∵AC=A 'C , ∴△ACF ≌△'C AE ， ∴ 'C E=AF ，AE=CF
∵CF=OD=2，AF=AD+DF=AD+OC=3+1=4， ∴点'C 的横坐标为4+2=6，纵坐标为3-2=1，
∴'6,1C （）,
把x=6代入6y x =
得y=6
=16
. 所以，'6,1C （）点在双曲线上.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的相关问题，涉及待定系数法求函数解析式，综合性较强．
20．(1)见解析;(2)①5
；②83.
【解析】 【分析】
(1)作作OE ⊥AC,由AO 是∠BAC 的角平分线,得到∠BAO ＝∠EAO,判断出△ABO ≌△AEO （AAS ）,得到OE ＝OB,所以直线AC 是⊙O 的切线;
(2)先利用AE 与⊙O 相切于点E ， AB ＝AE ＝4,再用三角函数求出OB,BC,然后用三角形相似,得到BC ＝2CE ，12
CD CE = ,用勾股定理求出CD,最后用切割线定理即可 【详解】
证明：（1）如图1，
作OE ⊥AC ， ∴∠OEA ＝90°， ∵∠ABC ＝90，∴∠OEA ＝∠ABC ，
∵AO 是△ABC 的角平分线，∴∠BAO ＝∠EAO ， 在△ABO 和△AEO 中，ABO AEO OA OA ⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∠BA0=∠EAO ∠∠ ，
∴△ABO ≌△AEO （AAS ），∴OE ＝OB ，
∵OB 是⊙O 的半径，∴OE 是⊙O 的半径， ∴直线AC 是⊙O 的切线； （2）①如图2，∵∠ABO ＝90°，
∴AB 切⊙O 于B ，
∵AE 与⊙O 相切于点E ， ∴AB ＝AE ＝4，
∵AO 是△ABC 的角平分线， ∴AO ⊥BE ， ∴∠BAO+∠ABE ＝90°， ∵∠CBE+∠ABE ＝90°， ∴∠BAO ＝∠CBE ， ∵tan ∠CBE ＝
12 ， ∴tan ∠BAO ＝1
2
， 在Rt △ABO 中，AB ＝4，tan ∠BAO ＝
12OB AB = ， ∴1
22
OB AB == ， ∴BD ＝2OB ＝4， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BED ＝90°， 又∵tan ∠CBE ＝
DE BE ＝1
2
， ∴BE ＝2DE ， 在Rt △BDE 中， ∵BE 2+DE 2＝BD 2
， ∴2221
()42
BE BE += ，
解得BE =
； ②∵AC 是⊙O 的切线， ∴∠CED ＝∠CBE ， ∵∠DCE ＝∠ECB ，∴△CDE ∽△CEB ， ∴CE DE CD
BC BE CE
== ， 又∵tan ∠CBE ＝
DE BE ＝12
， ∴BC ＝2CE ，1
2CD CE = ，
∵BD ＝BC ﹣CD ∴1
242
CE CE -= ， 解得83
CE = ． 【点睛】
此题考查切线的判定与性质，利用全等三角形的性质和直角三角形的性质是解题关键
21．（1）甲、乙两个工厂每天分别可加工生产30件、20件新产品；（2）应安排甲工厂加工生产9天．
【解析】
【分析】
（1）设乙工厂每天可加工生产x件新产品，则甲工厂每天可加工生产1.5x件新产品，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设甲工厂加工生产y天，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果．
【详解】
解：（1）设乙工厂每天可加工生产x件新产品，则甲工厂每天可加工生产1.5x件新产品，
根据题意得：240240
4
1.5x x
+=，
去分母得：240+6x＝360，
解得：x＝20，
经检验x＝20是分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝30，
则甲、乙两个工厂每天分别可加工生产30件、20件新产品；（2）设甲工厂加工生产y天，
根据题意得：2.8y+2.4×56030
20
y
-
≤60，
解得：y≥9，
则少应安排甲工厂加工生产9天．
【点睛】
此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．
22．（1）详见解析；（2
【解析】
【分析】
（1）先求出//
BF DC，再利用同位角相等两直线平行进行求证即可
（2）连接DF，根据题意先求出
1
1
2
HG FG HF EF HF
=-=-=，再利用三角函数求出
60
BHG
∠=︒，再由（1）得出圆的半径为【详解】
（1）证明：EF BD
=，
∴EF BD
=
∴EF BF BD BF
-=-
即BE DF
=
∴BDE DBF
∠=∠，
∴//
BF DC．
DF DF
=，
∴DBF DEF
∠=∠，
∴BDE FED
∠=∠．
BD BC
=，
∴C BDE
∠=∠，
∴FED C
∠=∠，
∴//
EF BC．
（2）解：连接 DF ．AB 为直径，BC 为切线，
∴AB BC ⊥， ∴90ABC ∠=︒，
//EF BC ，
∴90BGF ABC ∠=∠=︒， ∴AB EF ⊥，
∴1
2
FG EG EF ==， BF BE =，
∴BDF BDE ∠=∠． 4EH =，2HF =， ∴6EF FH HE =+=，
1
12HG FG HF EF HF =-=-=
=BE BE ，
∴BFE BDE DBF ∠=∠=∠， ∴2BH FH ==．
在 Rt BGH ∆中，1
cos 2
HG BHG BH ∠=
= ∴60BHG ∠=︒，
由（1）得30FED BDE ∠=∠=︒，
∴30BDF ∠=︒，
∴18090DFE BDF BDE DEF ∠=︒-∠-∠-∠=︒， ∴DE 为直径．
在Rt DEF ∆中，cos30EF
DE =
=︒
∴圆的半径为
=BE BE ，30BDE ∠=︒，
∴BE 所对的圆心角为60︒，
∴BE 的长60=1803
π⨯
【点睛】
此题考查平行线的判定与性质，圆周角定理，解题关键在于先判定//BF DC 23．(1)见解析；（2）8 【解析】 【分析】
（1）利用尺规作图作线段AC 的中垂线即可得其中点E ，连接DE 即可；
（2）先由DE 是△ABC 的中位线知DE ∥BC 且
DE BC =12，继而由△ADE ∽△ABC 得ADE ABC S S =（DE BC
）2，据此求解可得．
【详解】
解：（1）如图所示，作AC 的中点E ，即DE 即为所求．
（2）∵D 是AB 中点，E 是AC 中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE ∥BC ，且DE BC =12
， ∴△ADE ∽△ABC ， 则ADE ABC S S =（DE BC ）2=14
， 又S △ADE =2，
∴S △ABC =8．
【点睛】
本题主要考查作图-基本作图和相似三角形性质，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图、相似三角形的判定与性质．
24．（1）10，10%；（2）①见解析，②全校约有280名学生愿意参加环保义工社团；（3）见解析，
14
. 【解析】
【分析】
对于（1），根据中位数的定义得到答案，利用各部分所占的百分比之和为1求出没有选择的百分比, 对于（2），①由（1）即可补全条形统计图，②利用样本估计总体的思想解决问题即可；
对于（3），画出树状图将所有可能出现的情况表示出来，再找出这两名同学同时选择绿植养护社团的情况，根据概率的公式得到答案.
【详解】
解：（1）这5个数从小到大排列：5，5，10，10，15，故中位数为10．
没有选择的占1-10%-30%-20%-10%-20%=10%
故答案为：10；10%
（
2）①补全条形图如下：②1400×20%=280（名），∴全校约有280名学生愿意参加环保义工社团；
（3）酵素制作社团、绿植养护社团分别用A 、B 表示，画树状图如下：
由树状图知共有4种等可能结果，其中两人同时选择绿植养护社团只有一种情况，∴两人同时选择绿植
养护社团的概率为1
4
．
【点睛】
此题考查扇形统计图，条形统计图，用列表法或画树状图求概率，解题关键在于看懂图中数据. 25．（1）a＝54；b＝0.45；（2）72°；（3）“随机抽取64名男生和56名女生”比较合理；（4）该校九年级学生体育测试成绩是40分的人数约为180人．
【解析】
【分析】
（1）先利用一类的频数除以频率计算出总频数c，再用总频数减去其余三类，即可得到a，再用a的频数除以总频数即可得到b
（2）圆周角为360°，第三类占总数的0.2，所以第三类的圆心角=360°×0.2
（3）根据九年级学生共600人，其中男生320人，女生280人进行反推即可解答
（4）利用总人数乘频率即可解答
【详解】
（1）总频数=36÷0.3=120，a的频数=总频数-36-24-6=54，b频率=54÷120=0.45，
a＝54；b＝0.45；
（2）0．2×360°=72°；
（3）∵
6432056280
== 120600120600
，，
∴“随机抽取64名男生和56名女生”比较合理；
（4）0.3×600＝180(人)
答：该校九年级学生体育测试成绩是40分的人数约为180人．
【点睛】
此题考查了频数分布表，圆周角，用样本估计总体，熟练掌握运算法则是解题关键。