八年级数学下册第12章二次根式：二次根式的乘除pptx课件新版苏科版
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分数计算 .
知2－讲
知识点 2 二次根式乘法法则的逆用(积的算术平方根)
1. 二次根式乘法法则的逆用 两个非负因数(式)的积的算 术平方根等于乘积中各个因数(式)的算术平方根的积， 即： ab = a· b (a ≥ 0，b ≥ 0).
2. 应用
知2－讲
(1)逆用二次根式的乘法法则实际是两个非负因数
例 2 化简：
知2－练
(1) (－7)×(－14)；
(2) 362+482；
(3) 0.49x5y6(x ≥ 0，y ≥ 0)；
(4) (a2+b2)2－(a2－b2)2 (a ≥ 0，b ≥ 0). 解题秘方：紧扣“二次根式乘法法则的逆用公式” 进行化简.
被开方数是乘积的形式
知2－练
解：(1) (－7)×(－14) = 7×14 = 2×72 = 2× 72 =7 2.
相除，根指数不变，即： a = b
ab(a ≥ 0，b > 0).
知3－讲
2. 二次根式的除法法则的推广 (1)如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计
算，即：
a÷ b÷ c =
a÷b÷c =
a bc
(a
≥
0，b
>
0，
c > 0).
知3－讲
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除 以单项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为 商的根号外ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数(式)，被开方数之商作为商的被开方数，
方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再相除.
例 3 计算：
知3－练
(1) 72；(2) 6
1 12÷
16；
(3)
4(a－1)3b÷ －
a－1 b
(a > 1，b > 0).
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”进行计算 .
解：(1) 72 = 6
72 6
=
12 =2 3.
(2)
1 12÷
1 6
=
(3)几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律使 运算简便 .
特别提醒
知1－讲
1. 法则中的被开方数a、b既可以是数，也可以是式子，
但都必须是非负的 .
2. 不要把字母表示正数误认为含该字母的式子的值就
是正数 .
3. 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数
或因式时一定要开方 .
例 1 计算：
(2) 362+482 = (12×3)2+(12×4)2 = 122×(32+42) =
122× 25 =12×5=60. 被开方数转化为乘积的形式
(3) 0.49x5y6 = 0.72×(x2)2(y3)2·x =0.7x2y3 x.
(4) (a2+b2)2－(a2－b2)2 = (a2+b2+a2－b2)(a2+b2－a2+b2) =
(式)的积的算术平方根运算，它对两个以上因数(式)的
积的算术平方根同样适用 .
(2)运用此公式化简二次根式时，关键是将被开方
数分解因数(或因式)，把含有 a2形式的 a(a>0)移到根号
外面.
知2－讲
特别提醒 公式中的a，b既可以是一个数，也可以是一个式子 .
积中各个因数(式)必须都为非负的，若不是非负的，应将 其化成非负的再运用公式化简 .
3 2
÷
1 6
=
3 2
×6=3.
知3－练
(3)
4(a－1)3b ÷
－
a－1 b
=－
4(a－1)3b÷
a－1 b
=
－ 4(a－1)3b· a－b 1=－ 4(a－1)2b2=－2b(a－1) =－2ab+2b.
技巧点拨
知3－练
a(a ≥ 0，b>0)的运算方法： b
1. 当a是b的倍数或a、b为分数时，直接利用 a = b
12.2 二次根式的乘除
1 课时讲解 二次根式的乘法
二次根式乘法法则的逆用(积的算术平方根) 二次根式的除法 二次根式除法法则的逆用(商的算术平方根) 最简二次根式
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 二次根式的乘法
知1－讲
1. 二次根式的乘法法则 两个二次根式相乘，把被开方数 相乘，根指数不变，即： a · b = ab (a ≥ 0，b ≥ 0).
2a2·2b2 =2ab.
知2－练
特别提醒 逆用二次根式乘法法则的公式进行化简要注意以下
两点： 1. 注意被开方数的范围 . 2. 注意被开方数一定是乘积的形式， 不要出现“ a2+b2=
a2 + b2”这样的错误 .
知识点 3 二次根式的除法
知3－讲
1. 二次根式的除法法则 两个二次根式相除，把被开方数
知1－讲
2. 二次根式的乘法法则的推广 (1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式
乘单项式的法则进行运算，即根号外因数(式)之积作为 积的根号外因数(式)，被开方数之积作为积的被开方数， 即：a b·c d =ac bd (b ≥ 0，d ≥ 0).
知1－讲
(2)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变， 即： a · b · c = abc (a ≥ 0，b ≥ 0，c ≥ 0).
ab计算 .
2. 当 a， b中的被开方数含有完全平方的因数(式)时，常先
将完全平方的因数(式)“开方”出来，再进行除法运算.
3. 当根号前含有系数时，先把根号前的系数与系数对应相除，
根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得的结
果相乘 .
知4－讲
知识点 4 二次根式除法法则的逆用(商的算术平方根)
知1－练
(1) 28× 7； (2) xy· 1y(x ≥ 0，y>0)； (3)6 27×(－2 3)； 注意确定积的符号 . (4) 12× 2 12× 1 35.
解题秘方：紧扣“二次根式乘法法则”进行计算 .
解：(1) 28× 7 = 28×7 = 196 =14.
知1－练
(2)
xy·
1 y
即：a
b÷c
d =(a÷c)
b÷d
=
a c
b d
(b
≥
0，d
>
0，c
≠
0).
特别提醒
知3－讲
1. 法则中的被开方数a，b既可以是数，也可以是式子，但
都必须是非负的且 b不为0. 若b=0，则式子无意义 .
2. 进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以整除，
就直接运用二次根式的除法法则进行计算；若两个被开
=
xy·
1 y
=
x.
(3)6 27 ×( － 2 3 ) =6×( － 2)× 27×3 = － 12× 81 =
－12×9 =－108.
(4) 12× 2 12×
1
3 5
=
1 2
×
5 2
×
8 5
=
2.
知1－练
解法提醒 (1)(2)直接用法则计算 . (3)按推广中(1)计算 . (4)按推广中(2)计算，但注意要将带分数化为假
知2－讲
知识点 2 二次根式乘法法则的逆用(积的算术平方根)
1. 二次根式乘法法则的逆用 两个非负因数(式)的积的算 术平方根等于乘积中各个因数(式)的算术平方根的积， 即： ab = a· b (a ≥ 0，b ≥ 0).
2. 应用
知2－讲
(1)逆用二次根式的乘法法则实际是两个非负因数
例 2 化简：
知2－练
(1) (－7)×(－14)；
(2) 362+482；
(3) 0.49x5y6(x ≥ 0，y ≥ 0)；
(4) (a2+b2)2－(a2－b2)2 (a ≥ 0，b ≥ 0). 解题秘方：紧扣“二次根式乘法法则的逆用公式” 进行化简.
被开方数是乘积的形式
知2－练
解：(1) (－7)×(－14) = 7×14 = 2×72 = 2× 72 =7 2.
相除，根指数不变，即： a = b
ab(a ≥ 0，b > 0).
知3－讲
2. 二次根式的除法法则的推广 (1)如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计
算，即：
a÷ b÷ c =
a÷b÷c =
a bc
(a
≥
0，b
>
0，
c > 0).
知3－讲
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除 以单项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为 商的根号外ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数(式)，被开方数之商作为商的被开方数，
方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再相除.
例 3 计算：
知3－练
(1) 72；(2) 6
1 12÷
16；
(3)
4(a－1)3b÷ －
a－1 b
(a > 1，b > 0).
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”进行计算 .
解：(1) 72 = 6
72 6
=
12 =2 3.
(2)
1 12÷
1 6
=
(3)几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律使 运算简便 .
特别提醒
知1－讲
1. 法则中的被开方数a、b既可以是数，也可以是式子，
但都必须是非负的 .
2. 不要把字母表示正数误认为含该字母的式子的值就
是正数 .
3. 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数
或因式时一定要开方 .
例 1 计算：
(2) 362+482 = (12×3)2+(12×4)2 = 122×(32+42) =
122× 25 =12×5=60. 被开方数转化为乘积的形式
(3) 0.49x5y6 = 0.72×(x2)2(y3)2·x =0.7x2y3 x.
(4) (a2+b2)2－(a2－b2)2 = (a2+b2+a2－b2)(a2+b2－a2+b2) =
(式)的积的算术平方根运算，它对两个以上因数(式)的
积的算术平方根同样适用 .
(2)运用此公式化简二次根式时，关键是将被开方
数分解因数(或因式)，把含有 a2形式的 a(a>0)移到根号
外面.
知2－讲
特别提醒 公式中的a，b既可以是一个数，也可以是一个式子 .
积中各个因数(式)必须都为非负的，若不是非负的，应将 其化成非负的再运用公式化简 .
3 2
÷
1 6
=
3 2
×6=3.
知3－练
(3)
4(a－1)3b ÷
－
a－1 b
=－
4(a－1)3b÷
a－1 b
=
－ 4(a－1)3b· a－b 1=－ 4(a－1)2b2=－2b(a－1) =－2ab+2b.
技巧点拨
知3－练
a(a ≥ 0，b>0)的运算方法： b
1. 当a是b的倍数或a、b为分数时，直接利用 a = b
12.2 二次根式的乘除
1 课时讲解 二次根式的乘法
二次根式乘法法则的逆用(积的算术平方根) 二次根式的除法 二次根式除法法则的逆用(商的算术平方根) 最简二次根式
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 二次根式的乘法
知1－讲
1. 二次根式的乘法法则 两个二次根式相乘，把被开方数 相乘，根指数不变，即： a · b = ab (a ≥ 0，b ≥ 0).
2a2·2b2 =2ab.
知2－练
特别提醒 逆用二次根式乘法法则的公式进行化简要注意以下
两点： 1. 注意被开方数的范围 . 2. 注意被开方数一定是乘积的形式， 不要出现“ a2+b2=
a2 + b2”这样的错误 .
知识点 3 二次根式的除法
知3－讲
1. 二次根式的除法法则 两个二次根式相除，把被开方数
知1－讲
2. 二次根式的乘法法则的推广 (1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式
乘单项式的法则进行运算，即根号外因数(式)之积作为 积的根号外因数(式)，被开方数之积作为积的被开方数， 即：a b·c d =ac bd (b ≥ 0，d ≥ 0).
知1－讲
(2)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变， 即： a · b · c = abc (a ≥ 0，b ≥ 0，c ≥ 0).
ab计算 .
2. 当 a， b中的被开方数含有完全平方的因数(式)时，常先
将完全平方的因数(式)“开方”出来，再进行除法运算.
3. 当根号前含有系数时，先把根号前的系数与系数对应相除，
根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得的结
果相乘 .
知4－讲
知识点 4 二次根式除法法则的逆用(商的算术平方根)
知1－练
(1) 28× 7； (2) xy· 1y(x ≥ 0，y>0)； (3)6 27×(－2 3)； 注意确定积的符号 . (4) 12× 2 12× 1 35.
解题秘方：紧扣“二次根式乘法法则”进行计算 .
解：(1) 28× 7 = 28×7 = 196 =14.
知1－练
(2)
xy·
1 y
即：a
b÷c
d =(a÷c)
b÷d
=
a c
b d
(b
≥
0，d
>
0，c
≠
0).
特别提醒
知3－讲
1. 法则中的被开方数a，b既可以是数，也可以是式子，但
都必须是非负的且 b不为0. 若b=0，则式子无意义 .
2. 进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以整除，
就直接运用二次根式的除法法则进行计算；若两个被开
=
xy·
1 y
=
x.
(3)6 27 ×( － 2 3 ) =6×( － 2)× 27×3 = － 12× 81 =
－12×9 =－108.
(4) 12× 2 12×
1
3 5
=
1 2
×
5 2
×
8 5
=
2.
知1－练
解法提醒 (1)(2)直接用法则计算 . (3)按推广中(1)计算 . (4)按推广中(2)计算，但注意要将带分数化为假