人教版八年级数学上册1.2角平分线的性质课件

P2
要求它到三条公路的距离相等, 可选
择的地址有几处? 画出它的位置.
l1
P1
P4
P3
l3
l2
5.如图，在四边形ABCD中， ∠B=∠C=90°，M是BC的中点，
DM平分∠ ADC。求证：AM平分∠DAB
证明：过M作ME⊥AD于E.
D
∵DM平分∠ADC，∴∠B=∠C=90°
∴MC=ME
E
∵M为BC的中点，∴CM=BM
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
A
D
P
O
E
B
证明：作射线 OP，∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
在Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
O
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
（全等三角形的对应角相等）.
∴∠AOP=∠BOP
A
D
S
D
C
方法总结
根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离
相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在
这条角平分线上根据要求取点.
例2 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
A
N
B
P
M
C
证明：过点P作PD，PE，PF分
别垂直于AB，BC，CA，垂足
拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确
定该超市的位置P.
A
M
小区C
P
O
N
B
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于
点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判
断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD 平分∠BAC．理由如下：
书面作业：完成相关书本作业
数学活动：
想一想利用角平分线的判定定理可以解决哪些问题。
再见
A
A
D
C
O
P
O
E
B
B
D
C
2、如图，△ABC的周长为16cm,点O为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD⊥BC，
OD=1.5cm,则△ABC的面积是
12
cm2。
3、如图所示，点P是△ABC内一点，PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，
∠C
PF⊥AB于点F，PD＝PE，则点P在________的平分线上．
分别为D，E，F.
A
D
N
P
F
M
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
B
C
E
∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角
平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上.
这说明三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等.
12.3.2 角平分线的性质
八年级上册
学习目标
➢ 1、理解角平分线判定定理;
➢ 2、掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解
题；
➢ 3、学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
预习反馈
1、如图，在∠AOB内，PE⊥OB，PD⊥OA，PD=3cm, 当PE= 3 cm时，OC为
∠AOB的平分线。
∵D 到PE的距离与到PF的距离相等，
(
A
∴点D在∠EPF的平分线上．
3 4
P
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
B
E
1 2
D F
C
3.如图，已知△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F 作FG⊥AE 于G，FH⊥AD
A
D M
C
解：（1）过点O作OE ⊥AB, ON ⊥BC
∵AP平分∠BAC
B
∴OE=OM.同理ON=OE.∴ON=OE=OM
∵ OM＝4
∴ O到△ABC三边的距离和为12
O
P
D M
C
（2）连接OC
= + +
=
1
1
1
⋅ + ⋅ + ⋅
G
于H，FM⊥BC于M.
∵点F 在∠BCE的平分线上，
C
FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
M
又∵点F在∠CBD的平分线上，
FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，∴FG＝FH.
∴点F 在∠DAE的平分线上.
A
E
F
B
H
D
4、如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相
交叉的公路, 现要建一个货物中转站,
4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，
CD=2，则点D到AB的距离是 （ B ）
A．1
B．2
C．3
D．4
复习巩固
角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何语言描述：
∵ OC 平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE.
不必再证全等
应用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
A
D
C
P
E
B
例题解析
例1 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，
离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰
20000）？
O
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
P
E
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某
一点)的根据之一.
B
归纳
判定定理：
角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等. O
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
2
2
2
=
1
1
( + + ) = × 4 × 32 = 64
2
2
A
归纳总结
角的平分线的性质
C
P
图形
已知
条件
结论
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
角的平分线的判定
C
P
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
OP平分∠AOB
随堂检测
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，
P 到OA的距离
A
D
C
角平分线上的点
P
O
E
B
P 到OB 的距离
思考
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么
到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
请你写出已知、求证，并证明出来.
课堂探究
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
归纳总结
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点
到三边的距离相等.
A
D
N
P
B
F
M
C
E
变式训练
如图，在直角△ABC中，∠C＝900，AP平分
∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O
B
作OM⊥AC,若OM＝4.
(1)求点O到△ABC三边的距离和；
P
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
∴MB=ME
∵∠B=90°,∴MB⊥AB
∵ME⊥AD,ME=MB
∴AM平分∠DAB
C
M
A
B
课堂小结
内 容
角平分线
的判定定理
作 用
结 论
角的内部到角两边距离相等的点在这
个角的平分线上
判断一个点是否在角的平分线上
三角形的角平分线相交于内部一点
角的平分线的辅助线作法：见角平分线就作两边垂线段。
布置作业