2015-2016年福建省泉州市泉港一中高一(下)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年福建省泉州市泉港一中高一（下）期末数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列结论一定成立的是（）A．a＞bc B．＜C．a﹣c＞b﹣c D．a2＞b2
2．（5分）经过两点A（2，1），B（1，m2）的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是（）
A．m＜1B．m＞﹣1C．﹣1＜m＜1D．m＞1或m＜﹣1 3．（5分）等比数列{a n}中，若a3＝﹣9，a7＝﹣1，则a5的值为（）A．3或﹣3B．3C．﹣3D．﹣5
4．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+y＝8，则（1+x）（1+y）的最大值为（）A．16B．25C．9D．36
5．（5分）若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）
A．α内所有的直线都与a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内所有的直线都与a相交
D．直线a与平面α有公共点
6．（5分）实数x、y满足不等式组，则w＝的取值范围（）A．[﹣1，]B．[﹣，]C．[，+∞）D．[﹣，1）
7．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝10，b＝8，B＝30°，那么△ABC的解的情况是（）
A．无解B．一解C．两解D．一解或两解8．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．
9．（5分）《莱因德纸草书》（Rhindpapyrus）是世界上最古老的数学著作之一．该书中有一道这样的题目：100个面包分给5个人，每人一份，若按照每个人分得的面包个数从少到
多排列，可得到一个等差数列，其中较多的三份和的等于较少的两份和，则最多的一份面包个数为（）
A．35B．32C．30D．27
10．（5分）若关于x的不等式x2﹣4x≥m对x∈（0，1]恒成立，则（）A．m≥﹣3B．m≤﹣3C．﹣3≤m＜0D．m≥﹣4 11．（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y＝0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）
A．10B．20C．30D．40
12．（5分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q （x2，y2）之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；
②到原点的“折线距离”小于等于2的点构成的区域面积为8；
③到M（0，﹣2），N（0，2）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是y＝0；
④直线y＝x+1上的点到N（0，2）的“折线距离”的最小值为1．
其中真命题有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）以两点A（﹣3，﹣1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是．14．（5分）如图，三棱锥C﹣ADB中，CA＝CD＝AB＝BD＝2，AD＝2，BC＝1，则二面角C﹣AD﹣B的平面角为．
15．（5分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是．
16．（5分）设数列{a n}为等比数列，则下面四个数列：①{a n3}；②{pa n}（p为非零常数）；
③{a n•a n+1}；④{a n+a n+1}．其中是等比数列的序号为．（填上所有正确的序号）三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）若不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|1＜x＜2}．
（1）试求a、b的值；
（2）求不等式≥0的解集．
18．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，且AD＝4DC．
（Ⅰ）求BD的长；
（Ⅱ）求sin∠CBD的值．
19．（12分）已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和S n．
20．（12分）如图所示，ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，E、F是AC、PC的中点
（1）求证：AC⊥DF；
（2）若P A＝2，AB＝1，求三棱锥C﹣PED的体积．
21．（12分）已知直线l：mx+ny﹣1＝0（m，n∈R*）与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且直线l与圆x2+y2＝4相交所得弦长为2．
（Ⅰ）求出m与n的关系式；
（Ⅱ）若直线l与直线2x+y+5＝0平行，求直线l的方程；
（Ⅲ）若点P是可行域内的一个点，是否存在实数m，n使得|OA|+|OB|的最小值为2，且直线l经过点P？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，λS n＝a n a n+1+1，其中λ为常数．（1）证明：数列{a2n﹣1}是等差数列；
（2）是否存在实数λ，使得{a n}为等差数列，并说明理由；
（3）若{a n}为等差数列，令b n＝（﹣1）n﹣1，求数列b n的前n项和T n．
2015-2016学年福建省泉州市泉港一中高一（下）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列结论一定成立的是（）A．a＞bc B．＜C．a﹣c＞b﹣c D．a2＞b2
【考点】71：不等关系与不等式．
【解答】解：若a＝1，b＝c＝﹣1，故A不成立，B不成立，D不成立；
∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，故C成立．
故选：C．
2．（5分）经过两点A（2，1），B（1，m2）的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是（）
A．m＜1B．m＞﹣1C．﹣1＜m＜1D．m＞1或m＜﹣1【考点】I2：直线的倾斜角．
【解答】解：∵直线l的倾斜角为锐角，
故直线的斜率k＞0，
根据斜率的计算公式，可得AB的斜率为k＝＝1﹣m2，
易得k＞0，即1﹣m2＞0，解得：﹣1＜m＜1，
故选：C．
3．（5分）等比数列{a n}中，若a3＝﹣9，a7＝﹣1，则a5的值为（）A．3或﹣3B．3C．﹣3D．﹣5
【考点】88：等比数列的通项公式．
【解答】解：等比数列{a n}中，a3＝﹣9，a7＝﹣1，由等比数列的定义和性质可得a52＝a3•a7＝9，
解得a5＝﹣3，或a5＝3（不合题意，舍去），因为若a5＝3，则a42＝a3•a5＝﹣27，a4不存在．
故选：C．
4．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+y＝8，则（1+x）（1+y）的最大值为（）A．16B．25C．9D．36
【考点】7F：基本不等式及其应用．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+y＝8，
∴（1+x）（1+y）＝1+（x+y）+xy＝9+xy≤9+＝9+16＝25，
当且仅当x＝y＝5时，取等号，
∴（1+x）（1+y）的最大值为25．
故选：B．
5．（5分）若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）
A．α内所有的直线都与a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内所有的直线都与a相交
D．直线a与平面α有公共点
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．
【解答】解：因为直线a与平面α不平行，所以直线a在平面内，或者直线a于α相交，所以直线a与平面α至少有一个交点；
故选：D．
6．（5分）实数x、y满足不等式组，则w＝的取值范围（）A．[﹣1，]B．[﹣，]C．[，+∞）D．[﹣，1）
【考点】7C：简单线性规划．
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，
w＝表示区域内的点P（x，y）与点Q（﹣1，1）连线的斜率，
当P在点A（2，2）时，w最大，是，当P在点O（0，0）时，w最小，是﹣1，
故选：A．
7．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝10，b＝8，B＝30°，那么△ABC的解的情况是（）
A．无解B．一解C．两解D．一解或两解
【考点】HP：正弦定理．
【解答】解：∵a sin B＝10×＝5，
∴5＜8＜10，即a sin B＜b＜a，
∴△ABC有两解
故选：C．
8．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．
【考点】MI：直线与平面所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．
【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，
则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，
直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1＝＝＝，
故选：D．
9．（5分）《莱因德纸草书》（Rhindpapyrus）是世界上最古老的数学著作之一．该书中有一道这样的题目：100个面包分给5个人，每人一份，若按照每个人分得的面包个数从少到
多排列，可得到一个等差数列，其中较多的三份和的等于较少的两份和，则最多的一份面包个数为（）
A．35B．32C．30D．27
【考点】84：等差数列的通项公式．
【解答】解：由题意可得递增的等差数列{a n}共5项，设公差为d，
由题意可得总和S＝a1+a2+a3+a4+a5＝100，
又（a3+a4+a5）＝（a1+a2），
∴a1+a2＝2a1+d＝25，且a3+a4+a5＝3a1+9d＝75，
联立解得a1＝10，d＝5，
∴最多的一份为a5＝a1+4d＝30
故选：C．
10．（5分）若关于x的不等式x2﹣4x≥m对x∈（0，1]恒成立，则（）A．m≥﹣3B．m≤﹣3C．﹣3≤m＜0D．m≥﹣4
【考点】3R：函数恒成立问题．
【解答】解：∵x2﹣4x≥m对任意x∈[0，1]恒成立
令f（x）＝x2﹣4x，x∈[0，1]
∵f（x）的对称轴为x＝2
∴f（x）在[0，1]上单调递减
∴当x＝1时取到最小值为﹣3
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]
故选：B．
11．（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y＝0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）
A．10B．20C．30D．40
【考点】J8：直线与圆相交的性质．
【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝52，
由题意得最长的弦|AC|＝2×5＝10，
根据勾股定理得最短的弦|BD|＝2＝4，且AC⊥BD，
四边形ABCD的面积S＝|AC|•|BD|＝×10×4＝20．
故选：B．
12．（5分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q （x2，y2）之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；
②到原点的“折线距离”小于等于2的点构成的区域面积为8；
③到M（0，﹣2），N（0，2）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是y＝0；
④直线y＝x+1上的点到N（0，2）的“折线距离”的最小值为1．
其中真命题有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】F4：进行简单的合情推理．
【解答】解：对于①到原点的“折线距离”等于1的点的集合{（x，y）||x|+|y|＝1}，是一个正方形故①错误；
对于②根据题意，到坐标原点O的“折线距离”小于等于2的点P（x，y）满足等式d（P，0）＝|x﹣0|+|y﹣0|≤2，即|x|+|y|≤2，
对应的图形是以原点为中心，各个顶点在坐标轴上且对角线长为4的正方形及其内部，如图所示
∴所求图形的面积为S＝×42＝8；故②正确
对于③到M（0，﹣2），N（0，2）两点的“折线距离”相等点的集合是{（x，y）||x|+|y+2|＝|x|+|y﹣2|}，
即|y+2|＝|y﹣2|，解得y＝0，故到M（0，﹣2），N（0，2）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是y＝0，故③正确
对于④设直线与两轴的交点分别为A（﹣1，0），B（0，1），设C（x，y）为直线上任意一点，作CD⊥x轴于N，于是有|CD|＝|BD|，
所以d＝|ND|+|CD|＝|ND|+|BD|，
过B作x轴的垂线交直线y＝x+1上于点E，
则当C在线段AE上时，d＝|ND|+|CD|＝|ND|+|BD|＝|BN|，
当M在直线y＝x+1上且在线段AG外时，d＝|ND|+|CD|＝|ND|+|BD|＞|BN|，
所以，d（N，C）的最小值为|BN|＝1，故④正确；
故真命题有：②③④．
故选：C．
二．填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）以两点A（﹣3，﹣1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（x﹣1）2+（y ﹣2）2＝25．
【解答】解：设圆心为C，由A（﹣3，﹣1）和B（5，5）
得到C（，）即C（1，2），
又圆的半径r＝|AC|＝＝5，
所以圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25．
故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25
14．（5分）如图，三棱锥C﹣ADB中，CA＝CD＝AB＝BD＝2，AD＝2，BC＝1，则二面角C﹣AD﹣B的平面角为60°．
【考点】MJ：二面角的平面角及求法．
【解答】解：取AD的中点O，连接BO，CO，则
∵CA＝CD＝AB＝BD＝2，AD＝2，
∴CO⊥AD，BO⊥AB，BO＝CO＝1
∴∠BOC为二面角C﹣AD﹣B的平面角
∵BC＝1，
∴∠BOC＝60°，
故答案为：60°．
15．（5分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是27万元．
【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，
则该企业可获得利润为z＝5x+3y，
且，
联立，
解得x＝3 y＝4，
由图可知，最优解为P（3，4），
∴z的最大值为z＝5×3+3×4＝27（万元）．
故答案为：27万元．
16．（5分）设数列{a n}为等比数列，则下面四个数列：①{a n3}；②{pa n}（p为非零常数）；
③{a n•a n+1}；④{a n+a n+1}．其中是等比数列的序号为①②③．（填上所有正确的序
号）
【考点】87：等比数列的性质．
【解答】解：{a n}为等比数列，
∴＝q（q≠0）（n＞1），
①（）3＝q3，
∴{a n3}是公比为q3的等比数列；
②p＝pq，
∴{pa n}（p为非零常数）是以pq为公比的等比数列；
③＝q2，
∴{a n•a n+1}是以q2为公比的等比数列；
④若原数列公比q＝﹣1，则a n+a n+1＝0，不是等比数列，故错误；＝q，
∴{a n+a n+1}是以公比为q为公比的等比数列．
故答案为①②③．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）若不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|1＜x＜2}．
（1）试求a、b的值；
（2）求不等式≥0的解集．
【考点】73：一元二次不等式及其应用．
【解答】解：（1）∵不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|1＜x＜2}．
∴a＜0，且1和2是方程ax2+bx﹣1＝0的两根，
由韦达定理可得，于是得；…（5分）
（2）由（1）得不等式≥0得，
即为≥0，
∴（﹣x+1）（x﹣1）≥0且，
因此（x﹣2）（x﹣）≤0且，
解得＜x≤2；
即原不等式的解集是．…（10分）
18．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，且AD＝4DC．
（Ⅰ）求BD的长；
（Ⅱ）求sin∠CBD的值．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【解答】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
所以cos C＝，sin C＝，AC＝5，…（3分）
又因为AD＝4DC，所以AD＝4，DC＝1．…（4分）
在△BCD中，由余弦定理，
得BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD cos C，…（7分）
＝32+12﹣2×＝，
所以．…（9分）
（Ⅱ）在△BCD中，由正弦定理，得，
所以，…（12分）
所以sin∠CBD＝．…（13分）
19．（12分）已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和S n．
【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．
【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，由已知条件可得，解得：，
故数列{a n}的通项公式为a n＝2﹣n；
（II）设数列{}的前n项和为S n，即S n＝a1++…+①，故S1＝1，
＝++…+②，
当n＞1时，①﹣②得：
＝a1++…+﹣
＝1﹣（++…+）﹣
＝1﹣（1﹣）﹣＝，
所以S n＝，
综上，数列{}的前n项和S n＝．
20．（12分）如图所示，ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，E、F是AC、PC的中点（1）求证：AC⊥DF；
（2）若P A＝2，AB＝1，求三棱锥C﹣PED的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【解答】证明：（1）连接ED、EF，
∵ABCD是正方形，E是AC的中点，
∴ED⊥AC…（1分）
又∵E、F分别是AC、PC的中点
∴EF∥P A…（2分）
又∵P A⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，…（3分）
∵AC⊂平面ABCD，
∴EF⊥AC…（4分）
又∵ED∩EF＝E，ED，EF⊂平面DEF
∴AC⊥平面DEF…（5分）
又∵DF⊂平面DEF
故AC⊥DF…（7分）
解：（2）∵P A⊥平面ABCD，
∴是P A三棱锥P﹣CED的高，且P A＝2
∵ABCD是正方形，E是AC的中点，
∴△CED是等腰直角三角形…（9分）
又∵AB＝1，
故，
…（12分）
故…（14分）
21．（12分）已知直线l：mx+ny﹣1＝0（m，n∈R*）与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且直线l与圆x2+y2＝4相交所得弦长为2．
（Ⅰ）求出m与n的关系式；
（Ⅱ）若直线l与直线2x+y+5＝0平行，求直线l的方程；
（Ⅲ）若点P是可行域内的一个点，是否存在实数m，n使得|OA|+|OB|的最小值为2，且直线l经过点P？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
【考点】7C：简单线性规划；II：直线的一般式方程与直线的平行关系；IT：点到直线的距离公式．
【解答】解：（I）由圆x2+y2＝4的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r＝2，
∵直线l与圆x2+y2＝4相交所得弦CD＝2，
∴圆心到直线l的距离d═＝，
∴圆心到直线l：mx+ny﹣1＝0的距离d═＝，
整理得：m2+n2＝，
（II）直线l：mx+ny﹣1＝0的斜率为﹣，直线2x+y+5＝0的斜率为﹣2，∴﹣＝﹣2，m ＝2n
结合（I）得m＝，n＝，
故所求的直线的方程为2x+y﹣＝0，
（III）令直线l解析式中y＝0，解得：x＝，
∴A（，0），即OA＝，
令x＝0，解得：y＝，∴B（0，），即OB＝，
则OA+OB＝≥2，当且仅当m＝n＝时，OA+OB取最小值．此时直线l的方程为：
x+y﹣＝0，如图，作出可行域的图形，是一个三角形ABC及其内部，而△ABC及其内部
都在直线x+y﹣＝0的同侧，与直线x+y﹣＝0没有公共点，
所以不存在满足条件的直线l，即不存在实数m，n使得|OA|+|OB|的最小值为2，且直线l经过点P．
22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，λS n＝a n a n+1+1，其中λ为常数．（1）证明：数列{a2n﹣1}是等差数列；
（2）是否存在实数λ，使得{a n}为等差数列，并说明理由；
（3）若{a n}为等差数列，令b n＝（﹣1）n﹣1，求数列b n的前n项和T n．
【考点】83：等差数列的性质；8E：数列的求和．
【解答】（1）证明：∵a1＝1，a n≠0，λS n＝a n a n+1+1，其中λ为常数．
当n≥2时，λS n﹣1＝a n﹣1a n+1，∴λa n＝a n（a n+1﹣a n﹣1），
∴a n+1﹣a n﹣1＝λ，用2n代替n可得：a2n+1﹣a2n﹣1＝λ为常数，
∴数列{a2n﹣1}是等差数列，首项为1，公差为λ；
（2）解：由λS n＝a n a n+1+1，取n＝1，可得λ＝a2+1，
则a2＝λ﹣1，∴a2﹣a1＝λ﹣2．
假设存在实数λ，使得{a n}为等差数列，则λ﹣2＝，解得λ＝4．
因此当λ＝4时，（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）＝4，即a n+1﹣a n＝2，
∴{a n}为等差数列，首项为1，公差为2．
（3）∵{a n}为等差数列，由（2）可知：a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
∴b n＝（﹣1）n﹣1＝（﹣1）n﹣1＝，∴当n＝2k时，
数列b n的前n项和T n＝﹣+﹣…+﹣＝1﹣＝．
当n＝2k﹣1时，
数列b n的前n项和T n＝T2k﹣b n+1＝1﹣+＝1+＝．
∴T n＝．。