课件6：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【解析】 如图，设球 O 的半径为 R， 则由 AH∶HB＝1∶2 得 HA＝13·2R＝23R， ∴OH＝R3. ∵截面面积为 π＝π·(HM)2， ∴HM＝1.
在 Rt△HMO 中，OM2＝OH2＋HM2，
∴R2＝19R2＋HM2＝19R2＋1，∴R＝3
4
2 .
∴S 球＝4πR2＝4π·34 22＝92π.
【提示】 相等．
2．棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？ 【提示】 是．
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和，也就是 展开图的 面积．
知识2：圆柱、圆锥、圆台的表面积
【问题导思】 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别如图中(1)、(2)、(3)所示．
1．上述几何体侧面展开图的面积与该几何体的表面积相等吗？ 【提示】 不相等． 2．如何计算上述几何体的表面积？ 【提示】 几何体的表面积等于侧面积与底面积之和．
【规律方法】 1．在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方 体对角面的截面图，然后通过已知条件求解． 2．球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结 构特征构造熟悉的正方体，长方体等，通过彼此关系建立关于球 的半径的等式求解．
【变式训练】 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面 α，H 为 垂足，α 截球 O 所得截面的面积为 π，则球 O 的表面积为________．
【规律方法】 1．要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条 件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解 相应的量． 2．空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往 往通过解三角形来完成．
【变式训练】 若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图示，求其表面积．
【解】 以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台， 其上底半径是 4 cm，下底半径是 16 cm， 母线 DC＝ 52＋（16－40）2＝13 (cm)． ∴该几何体的表面积为 π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2)．
【规律方法】 1．圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此 准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键． 2．棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影 与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．
S 表＝ π(r′2＋r2＋ r′l＋rl)
知识3：球的表面积
球的表面积公式 S 球＝ 4πR2
【互动探究】
类型一：求棱柱、棱锥、棱台的表面积
【例 1】 已知正四棱锥底面边长为 4，高与斜高夹角为 30°.求 它的侧面积和表面积． 【思路探究】 根据多面体的侧面积公式，可以先求出相应多 面体的底面边长和各侧面的斜高，进而由公式求解．
【互动探究】 在题设条件不变的情况下，求以 BC 所在直线为轴旋转一周所得几何 体的表面积． 【解】 以 BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的 组合体，如图所示： 其中圆锥的高为 16－4＝12(cm)，圆柱的母线长为 AD＝4 cm， 故该几何体的表面积为： 2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π(cm2)．
【解】 如图所示，设正四棱锥的高为 PO，斜高为 PE，底面边心 距为 OE，它们组成一个直角三角形 POE. ∵OE＝42＝2，∠OPE＝30°， ∴PE＝sinO3E0°＝21＝4.
2 ∴S 正四棱锥侧＝12ch′＝12×(4×4)×4＝32， S 表面积＝42＋32＝48. 即该正四棱锥的侧面积是 32，表面积是 48.
【课堂小结】
1．如果长方体的长、宽、高分别为 a，b，c，那么它的表面积 S 表＝2(ab ＋bc＋ac)；如果正方体的棱长为 a，那么它的表面积为 S 表＝6a2. 2．求棱锥的表面积，可以先求侧面积，再求底面积．求侧面积，要清 楚各侧面三角形的形状，并找出求其面积的条件．求底面积，要清楚 底面多边形的形状及求其面积的条件． 3．求棱台的侧面积时要注意利用公式及正棱台中的直角梯形，它 是架起求侧面积关系式中的未知量与满足题目条件中几何图形元 素间关系的桥梁．
4．已知正三棱锥的底面边长为 a，高为 66a，则其侧面积为( )
A.34a2
B.32a2
3 C.
4
3a2
3 D.
2
3a2
【解析】 正三棱锥如图：OD＝13× 23×a＝ 63a，
∴PD＝ PO2＋OD2＝12a，∴S 侧＝12×3a×12a＝34a2， 故选 A. 【答案】 A
本节内容结束 更多精彩内容请登录：
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
【自主导学】
课标解读
1.理解正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积及表面 积的定义． 2．了解球、圆柱、圆锥、圆台的表面积的计算 公式．(重点)
知识1：棱柱、棱锥、棱台的表面积
【问题导思】 1．正方体与长方体的展开图如下图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其 展开图的面积有何关系？
(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的 中点，过球心作正方体的对角面得截面， 如图②，2r2＝ 2a，r2＝ 22a，所以 S2＝4πr22 ＝2πa2. (3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得 截面，如图③， 所以有 2r3＝ 3a，r3＝ 23a，所以 S3＝4πr23＝3πa2. 综上可得 S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
【解】 由主视图知三棱柱的高 h＝1，底面三角形边长为 2， 故 S 侧＝3×2×1＝6，S 底＝2×22× 43＝2 3， S 表＝S 侧＋S 底＝6＋2 3. ∴几何体的表面积为 6＋2 3.
类型二：求圆柱、圆锥、圆台的表面积 【例 2】 如图所示，已知直角梯形 ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB ＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何 体的表面积．
A．2
B．4
C．6
D．8
【解析】 由已知得底面边长为 1，侧棱长为 6－2＝2.
∴S 侧＝1×2×4＝8. 【答案】 D
3．圆台的上、下底面半径分别是 3 和 4，母线长为 6，则其表面
积等于( )
A．72
B．42π
C．67π
D．72π
【解析】 S 圆台表＝S 圆台侧＋S 上底＋S 下底 ＝π(3＋4)·6＋π·32＋π·42＝67π. 【答案】 C
【当堂达标】
1．已知两个球的半径之比为 1∶2，则这两个球的表面积之比为( )
A．1∶2
B．1∶4
C．1∶6
D．1∶8
【解析】 ∵半径比为 1∶2，且 S＝4πR2， ∴表面积比为半径比的平方，故选 B.
【答案】 B
2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为 2，体对角线长为 6，
则这个棱柱的侧面积是( )
圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆台(上、下底面 圆柱(底面半径 圆锥(底面半径为
半径为 r′，r，母 为 r，母线长为 l) r，母线长为 l)
线长为 l)
底面积 S 底＝ πr2
S 底＝ πr2
S 底＝ π(r′2＋r2)
侧面积 S 侧＝ 2πrl
S 侧＝ πrl
S 侧＝ π(r′l＋rl)
表面积 S 表＝ 2πr(r＋l) S 表＝ πr(r＋l)
【错因分析】 挖去圆锥的几何体的表面积去掉了一个半径为 a 的圆 的面积，但同时增加了一个圆锥的侧面的面积，而上面的解法未考虑 到增加的部分． 【防范措施】 几何体的表面积是各个面的面积之和，因此求组合体 的表面积时切忌直接套用柱、锥、台的表面积公式，而应先分析该几 何体由几部分组成，几何体各个面间有无重叠，再结合相应几何体选 择公式求解． 【正解】 由题意，知 S1＝2π·2a· 3a＋2π·(2a)2＝(4 3＋8)πa2， S2＝S1＋πa·(2a)－πa2＝(4 3＋9)πa2. ∴S1∶S2＝(4 3＋8)∶(4 3＋9)．
【答案】
ห้องสมุดไป่ตู้9 2π
易错易误辨析 对几何体的表面积理解不全面致误 【典例】 如图所示，从底面半径为 2a，高为 3a 的圆柱中，挖去一个底面半径为 a 且与圆柱等高的圆 锥，求圆柱的表面积 S1 与挖去圆锥后的几何体的表面 积 S2 之比． 【错解】 由题意，知 S1＝2π·2a· 3a＋2π(2a)2＝(4 3＋8)πa2， S2＝S1－πa2＝(4 3＋7)πa2. ∴S1∶S2＝(4 3＋8)∶(4 3＋7)．
类型三：球的表面积问题 【例 3】 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体 各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面 积之比． 【思路探究】 本题是求三个球的表面积之比，解题的关键是得出半 径之比，可在各几何体内做出截面，找到球心，易求半径．
【解】 设正方体的棱长为 a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心， 经过四个切点及球心作截面，如图①， 所以有 2r1＝a，r1＝a2，所以 S1＝4πr21＝πa2.
在 Rt△HMO 中，OM2＝OH2＋HM2，
∴R2＝19R2＋HM2＝19R2＋1，∴R＝3
4
2 .
∴S 球＝4πR2＝4π·34 22＝92π.
【提示】 相等．
2．棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？ 【提示】 是．
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和，也就是 展开图的 面积．
知识2：圆柱、圆锥、圆台的表面积
【问题导思】 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别如图中(1)、(2)、(3)所示．
1．上述几何体侧面展开图的面积与该几何体的表面积相等吗？ 【提示】 不相等． 2．如何计算上述几何体的表面积？ 【提示】 几何体的表面积等于侧面积与底面积之和．
【规律方法】 1．在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方 体对角面的截面图，然后通过已知条件求解． 2．球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结 构特征构造熟悉的正方体，长方体等，通过彼此关系建立关于球 的半径的等式求解．
【变式训练】 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面 α，H 为 垂足，α 截球 O 所得截面的面积为 π，则球 O 的表面积为________．
【规律方法】 1．要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条 件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解 相应的量． 2．空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往 往通过解三角形来完成．
【变式训练】 若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图示，求其表面积．
【解】 以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台， 其上底半径是 4 cm，下底半径是 16 cm， 母线 DC＝ 52＋（16－40）2＝13 (cm)． ∴该几何体的表面积为 π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2)．
【规律方法】 1．圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此 准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键． 2．棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影 与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．
S 表＝ π(r′2＋r2＋ r′l＋rl)
知识3：球的表面积
球的表面积公式 S 球＝ 4πR2
【互动探究】
类型一：求棱柱、棱锥、棱台的表面积
【例 1】 已知正四棱锥底面边长为 4，高与斜高夹角为 30°.求 它的侧面积和表面积． 【思路探究】 根据多面体的侧面积公式，可以先求出相应多 面体的底面边长和各侧面的斜高，进而由公式求解．
【互动探究】 在题设条件不变的情况下，求以 BC 所在直线为轴旋转一周所得几何 体的表面积． 【解】 以 BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的 组合体，如图所示： 其中圆锥的高为 16－4＝12(cm)，圆柱的母线长为 AD＝4 cm， 故该几何体的表面积为： 2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π(cm2)．
【解】 如图所示，设正四棱锥的高为 PO，斜高为 PE，底面边心 距为 OE，它们组成一个直角三角形 POE. ∵OE＝42＝2，∠OPE＝30°， ∴PE＝sinO3E0°＝21＝4.
2 ∴S 正四棱锥侧＝12ch′＝12×(4×4)×4＝32， S 表面积＝42＋32＝48. 即该正四棱锥的侧面积是 32，表面积是 48.
【课堂小结】
1．如果长方体的长、宽、高分别为 a，b，c，那么它的表面积 S 表＝2(ab ＋bc＋ac)；如果正方体的棱长为 a，那么它的表面积为 S 表＝6a2. 2．求棱锥的表面积，可以先求侧面积，再求底面积．求侧面积，要清 楚各侧面三角形的形状，并找出求其面积的条件．求底面积，要清楚 底面多边形的形状及求其面积的条件． 3．求棱台的侧面积时要注意利用公式及正棱台中的直角梯形，它 是架起求侧面积关系式中的未知量与满足题目条件中几何图形元 素间关系的桥梁．
4．已知正三棱锥的底面边长为 a，高为 66a，则其侧面积为( )
A.34a2
B.32a2
3 C.
4
3a2
3 D.
2
3a2
【解析】 正三棱锥如图：OD＝13× 23×a＝ 63a，
∴PD＝ PO2＋OD2＝12a，∴S 侧＝12×3a×12a＝34a2， 故选 A. 【答案】 A
本节内容结束 更多精彩内容请登录：
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
【自主导学】
课标解读
1.理解正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积及表面 积的定义． 2．了解球、圆柱、圆锥、圆台的表面积的计算 公式．(重点)
知识1：棱柱、棱锥、棱台的表面积
【问题导思】 1．正方体与长方体的展开图如下图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其 展开图的面积有何关系？
(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的 中点，过球心作正方体的对角面得截面， 如图②，2r2＝ 2a，r2＝ 22a，所以 S2＝4πr22 ＝2πa2. (3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得 截面，如图③， 所以有 2r3＝ 3a，r3＝ 23a，所以 S3＝4πr23＝3πa2. 综上可得 S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
【解】 由主视图知三棱柱的高 h＝1，底面三角形边长为 2， 故 S 侧＝3×2×1＝6，S 底＝2×22× 43＝2 3， S 表＝S 侧＋S 底＝6＋2 3. ∴几何体的表面积为 6＋2 3.
类型二：求圆柱、圆锥、圆台的表面积 【例 2】 如图所示，已知直角梯形 ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB ＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何 体的表面积．
A．2
B．4
C．6
D．8
【解析】 由已知得底面边长为 1，侧棱长为 6－2＝2.
∴S 侧＝1×2×4＝8. 【答案】 D
3．圆台的上、下底面半径分别是 3 和 4，母线长为 6，则其表面
积等于( )
A．72
B．42π
C．67π
D．72π
【解析】 S 圆台表＝S 圆台侧＋S 上底＋S 下底 ＝π(3＋4)·6＋π·32＋π·42＝67π. 【答案】 C
【当堂达标】
1．已知两个球的半径之比为 1∶2，则这两个球的表面积之比为( )
A．1∶2
B．1∶4
C．1∶6
D．1∶8
【解析】 ∵半径比为 1∶2，且 S＝4πR2， ∴表面积比为半径比的平方，故选 B.
【答案】 B
2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为 2，体对角线长为 6，
则这个棱柱的侧面积是( )
圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆台(上、下底面 圆柱(底面半径 圆锥(底面半径为
半径为 r′，r，母 为 r，母线长为 l) r，母线长为 l)
线长为 l)
底面积 S 底＝ πr2
S 底＝ πr2
S 底＝ π(r′2＋r2)
侧面积 S 侧＝ 2πrl
S 侧＝ πrl
S 侧＝ π(r′l＋rl)
表面积 S 表＝ 2πr(r＋l) S 表＝ πr(r＋l)
【错因分析】 挖去圆锥的几何体的表面积去掉了一个半径为 a 的圆 的面积，但同时增加了一个圆锥的侧面的面积，而上面的解法未考虑 到增加的部分． 【防范措施】 几何体的表面积是各个面的面积之和，因此求组合体 的表面积时切忌直接套用柱、锥、台的表面积公式，而应先分析该几 何体由几部分组成，几何体各个面间有无重叠，再结合相应几何体选 择公式求解． 【正解】 由题意，知 S1＝2π·2a· 3a＋2π·(2a)2＝(4 3＋8)πa2， S2＝S1＋πa·(2a)－πa2＝(4 3＋9)πa2. ∴S1∶S2＝(4 3＋8)∶(4 3＋9)．
【答案】
ห้องสมุดไป่ตู้9 2π
易错易误辨析 对几何体的表面积理解不全面致误 【典例】 如图所示，从底面半径为 2a，高为 3a 的圆柱中，挖去一个底面半径为 a 且与圆柱等高的圆 锥，求圆柱的表面积 S1 与挖去圆锥后的几何体的表面 积 S2 之比． 【错解】 由题意，知 S1＝2π·2a· 3a＋2π(2a)2＝(4 3＋8)πa2， S2＝S1－πa2＝(4 3＋7)πa2. ∴S1∶S2＝(4 3＋8)∶(4 3＋7)．
类型三：球的表面积问题 【例 3】 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体 各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面 积之比． 【思路探究】 本题是求三个球的表面积之比，解题的关键是得出半 径之比，可在各几何体内做出截面，找到球心，易求半径．
【解】 设正方体的棱长为 a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心， 经过四个切点及球心作截面，如图①， 所以有 2r1＝a，r1＝a2，所以 S1＝4πr21＝πa2.