江苏省盱眙县都梁中学高二数学2.1《直线与方程》教案十

设线段AC 的中点M 的坐标为(,)x y ，过点,,A M C 向x 轴作垂线，垂足分别为111,,A M C ，则111,,A M C 的横坐标分别为1,,6x -，由1111A M M C =得(1)6x x --=-，解得16522x -+==，同理得3(1)12y --==，所以线段AC 的中点M 的坐标为5(,1)2
，同理可得线段BD 的中点坐标也为5(,1)2
，因此四边形ABCD 的对角线AC 和BD 在点处互相平分，故这个四边形是平行四边形．
2．结论：一般地，对于平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，线段12PP 的中点是00(,)M x y ，则12012
022
x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩． 证明方法分析:（1）可仿照例题的方法而得；
（2）第一步:由12MP MP k k =证明12,,P M P 在同一直线上；
第二步:有距离公式证明12MP MP =，所以M 为12PP 的中点．
三、数学运用
1．例题：
例1．已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),(2,1),(4,7)A B C ---，求BC 边上的中线AM 的长
和AM 所在的直线方程．
解：如图，设点(,)x y ．∵点M 是线段BC 的中点， ∴24171,322
x y -+-+====，即M 的坐标为(1,3)．
由两点间的距离公式得
22AM ==．
因此，BC 边上的中线AM 的长为．
由两点式得中线AM 所在的直线方程为
315311
y x --=---，即40x y +-=．
例2．已知ABC ∆是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系， 证明：12
AM BC =． 证：如图，以Rt ABC ∆的直角边,AB AC 所在直线为坐标轴，建立适当的直角坐标系， 设,B C 两点的坐标分别为(,),(0,)b o c ，
∵M 是BC 的中点，∴点M 的坐标为00(,)22b c ++，即(,)22
b c ． 由两点间的距离公式得BC ==，
AM == 所以，12
AM BC =． 例3． 已知直线1:12
l y x =
-，（1）求点(3,4)P 关于l 对称的点Q ；（2）求l 关于点(2,3)对称的直线方程． 分析：由直线l 垂直平分线段，可设，有垂直关系及中点坐标公式可求出点；而关于点对称的直线必平行，因此可求出对称的直线方程．
解．（1）设Q 0(,)o x y ，由于PQ ⊥l ，且PQ 中点在l 上，有
00004234311222
y x y x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅-⎪⎩，解得0029585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴Q 298(,)55- （2）在l 上任取一点，如(0,1)M -，则M 关于点(2,3)对称的点为(4,7)N ．
∵所求直线过点N 且与l 平行，∴方程为17(4)2
y x -=-，即2100x y -+=． 例4．一条光线经过点(2,3)P 射在直线10x y ++=上，反射后，经过点(1,1)A ，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．
分析：入射光线和反射光线所在直线都经过反射点，反射直线所在直线经过点关于直线10x y ++=的对称点．
解：入射线所在的直线和反射线所在的直线关于直线10x y ++=对称，设P 点关于直线10x y ++=对称点的坐标为Q 00(,)x y ，因此PQ 的中点在直线10x y ++=上，且PQ 所
在直线与直线10x y ++=垂直，所以00003(1)12231022
y x x y -⎧⨯-=-⎪-⎪⎨++⎪++=⎪⎩，解得(4,3)Q --．
反射光线经过A Q 、两点，∴反射线所在直线的方程为4510x y -+=．
由10,4510,
x y x y ++=⎧⎨-+=⎩得反射点21(,)33R --． 入射光线经过P 、R 两点，∴入射线所在直线的方程为0145=+-y x ．
2．练习：
（1）课本第92页练习第1，2，3题．
（2）已知定点(2,2),(8,4),,A B x R ∈
四、回顾小结：
掌握中点坐标公式．
五、课外作业：
课本第97页 习题 第3、4、13、14、18、19题，课本第117页复习 题 第8、20题．。