宁夏银川一中高三数学上学期第五次月考试题理

银川一中2017届高三年级第五月考数 学 试 卷（理）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}4-==x y x A ,{}0121≤-≤-=x x B ,则()U C A B ⋂= A ．),4(+∞ B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,42⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(]1,42．已知i 为虚数单位,若()2ii ,1ia b a b +=+∈+R ,则()2log a b +的值是 A ．0B ．1-C ．2-D ．123．设,,R b a ∈若,0||>-b a 则下列不等式中正确的是 A ．0>-a bB ．033<+b aC ．0>+a bD ．022<-b a4．已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为,n S 若40342017=S ，则=++201510093a a a A ．2B ．4C ．6D ．85．对于直线m ，n 和平面α，β，αβ⊥的一个充分条件是 A ．//m n ，n β⊥，m α⊂B ．.B m n ⊥，//m α，//n βC ．m n ⊥，m αβ⋂=，n α⊂D ．.D //m n ，m α⊥，n β⊥6．函数ax x f =)(满足4)2(=f ，那么函数)1(log )(+=x x g a 的图象大致为7．已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 A ．108cm 3B ．84cm3C ．92cm 3D ．100cm 38．已知1x ，2x （12x x <）是函数1()ln 1f x x x =--的两个零点，若()1,1a x ∈，()21,b x ∈，则A ．()0f a <，()0f b <B ．()0f a >，()0f b >C ．()0f a >，()0f b <D ．()0f a <，()0f b >9．设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是A ．函数的一条对称轴为π6x =B ．函数在区间π5π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增 C ．00,3πx ∃∈()，使()1=-0f xD ．a ∃∈R ，使得函数)(a x f y +=在其定义域内为偶函数 10．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若μλ+=，则λμ+= A ．43 B ．53 C ．158D ．211．三棱锥P ABC -中，15,6,AB BC AC PC ===⊥平面,2ABC PC =，则该三棱锥的外接球的表面积为 A ．253π B ．252π C ．833π D ．832π 12．定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在1x ，2x （12a x x b <<<），满足1()()()f b f a f x b a-'=-，2()()()f b f a f x b a-'=-，则称数1x ，2x 为[],a b 上的“对望数”，函数()f x 为[],a b 上的“对望函数”．已知函数321()3f x x x m =-+是[]0,m 上的“对望函数”，则实数m 的取值范围是 A ．3(1,)2 B ．3(,3)2C ．(1,2)(2,3) D ．33(1,)(,3)22第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．由2,1,===x xy x y 及x 轴所围成的平面图形的面积是 ． 14．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,0,0,01x y x y x 则y x z 2+=的最大值是 .FEBDACP15．已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为 . 16．数列{}n a 中，11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且对2n ∀≥，都有221nn n na a S S =-，则数列 {}n a 的通项公式n a = .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11()3*+=∈n n S a n N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设41log (1)n n b S +=-()*∈n N ，求12231111n n n T b b b b b b +=+++. 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a 、b 、c ，已知(cos ,cos ),(,2),a A B b a c b →→==-且. //a b →→（I ）求角A 的大小；（2）若AD 为BC 边上的中线，1cos 7B =， 1292AD =，求ABC ∆的面积． 19．（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，PA ⊥面ABCD ，3PA =，E ，F 分别为BC ，PA 的中点.（1）求证：//BF 面PDE ；（2）求二面角D PE A --的大小的正弦值； （3）求点C 到面PDE 的距离.20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且22AD CD == 42BC =2PA =．DMAPBADC（1）求证：AB PC ⊥；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ， 使得二面角M AC D --的大小为45，如果存在，求BM 与平面MAC 所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由． 21.（本小题满分12分）已知函数()()1ln f x x a x a R x=-+∈. （1）若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围; （2）已知()()()()()211321,,22g x x m x m h x f x g x x =+-+≤-=+,当1a =时, ()h x 有两个极值点12,x x ,且12x x <,求()()12h x h x -的最小值.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。

22. （本小题满分10分）选修4-4:极坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为63(33x t t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为=42cos()4sin 4πρθθ++．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）点P Q 、分别为直线l 与曲线C 上的动点，求PQ 的取值范围． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()f x x a =-．（1）当2a =时，解不等式()71f x x ≥--； （2）若f (x )≤2的解集为[-1，3]，11(0,0)2a m n m n+=>>，求证：4223m n +≥．银川一中2017届高三第五次月考数学(理科)参考答案一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BACCACDCDBDB13. ln2 ; 14. 2； 15. 16； 16. 1,12,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪+⎩三、解答题：17.解（1）当1n =时，11S a =，由11113134S a a +=⇒=， 当2n ≥时，11111113()01313n n n n n n n n S a S S a a S a ----⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩114n n a a -⇒= ∴{}n a 是以34为首项，14为公比的等比数列． 故1311()3()444n n n a -==()*∈n N ………………6分 (2)由（1）知111111()34n n n S a +++-== 14141log (1)log ()(1)4n n n b S n ++=-==-+11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++ …12分18.解(1)因为//a b →→，所以(2)cos cos ,(2sin sin )cos sin cos c b A b B C B A A B -=-=,2sin cos sin cos cos sin C A A B A B =+,2sin cos sin()C A A B =+ 2sin cos sin C A C =,因为C 为三角形内角，1sin 0,cos 2C A ≠=所以 所以A=3π……6分 （2）在ABC ∆中，1cos 7B =，得43sin B =．……7分 1223111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-+++则3114353sin sin()272714C A B =+=⨯+⨯=．……8分 由正弦定理得sin 7sin 5a A c C ==． ……9分 设7a x =，5c x =，在ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =， 即7,5a c ==， ……11分 故1sin 1032ABC S ac B ∆==． ……12分 19．解（1）如图所示，取PD 中点G ，连接GF ，GE ，因为E ，F 分别为BC,PA 中点，所以可证得FG//BE ，FG=BE,所以四边形BFGE 是平行四边形，所以BF//EG,又,EG PDE BF PDE ⊂⊄平面平面,所以BF//平面PDE ……4分（2）作DH AE H ⊥于，HI PE I ⊥作于，连接DI ，易证DH DH PAE ⊥平面,所以DH PE ⊥,又因为,PE HI HI DH H ⊥⋂=，所以PE DIH ⊥平面，所以PE DI ⊥所以DIH D PE A ∠--即为二面角的平面角，在210sin 7DH Rt DIH DIH DI ∆∠==中， ……8分 （3）∵P CDE C PDE V V --=，∴33112121337372CDE CDE PDE PDE S PA S PA S h h S ∆∆∆∆⨯⨯⨯=⨯⇒===⨯⨯. ……12分 20． 解（I ）如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由已知22AD CD ==，42BC =，可得ABC ∆是等腰直角三角形，即AB AC ⊥， 又PA ⊥平面ABCD ，则PA AB ⊥， 所以AB ⊥平面PAC ， 所以AB PC ⊥．……4分 （II ）存在．法一：（猜证法）观察图形特点，点M 可能是线段PD 的中点．下面证明当M 是线段PD 的中点时，二面角M AC D --的大小为45．……5分过点M 作MN AD ⊥于N ，则//MN PA ，则MN ⊥平面ABCD ．过点M 作MG AC ⊥于G ，连接NG ，则MGN ∠是二面角M AC D --的平面角．PBCDMN GA zxy因为M 是线段PD 的中点，则1MN =，2AN =，在四边形ABCD 求得1NG =，则45MGN ∠=．……8分 在三棱锥M ABC -中，可得13M ABC ABC V S MN -∆=⋅， 设点B 到平面MAC 的距离是h ，13B MACMAC V S h -∆=⋅， 则ABC MAC S MN S h ∆∆⋅=⋅，解得22h =．……10分 在Rt BMN ∆中，可得27BM =．设BM 与平面MAC 所成的角为θ，则26sin 9h BM θ==．……12分 法二：（作图法）过点M 作MN AD ⊥于N ，则//MN PA ，则MN ⊥平面ABCD ．过点M 作MG AC ⊥于G ，连接NG ，则MGN ∠是二面角M AC D --的平面角． 若45MGN ∠=，则NG MN =，又22AN NG MN ==，易求得1MN =．即M 是线段PD 的中点．……8分 （以下同解法一） 法三：（向量计算法）建立如图所示空间直角坐标系．则(0,0,0)A ，(22,22,0)C ，(0,22,0)D ，(0,0,2)P ，)0,22,22(-B ，(0,22,2)PD =-．设PM tPD =（01t ≤≤），则M 的坐标为(0,22,22)t t -．……6分 设(,,)n x y z =是平面AMC 的一个法向量，则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2222022(22)0x y ty t z ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，则可取2(1,1,)1tn t =--．……8分 又(0,0,1)m =是平面ACD 的一个法向量，所以22||||1|cos ,|cos 45||||22()1tm n t m n m n t t ⋅-<>===+- 解得12t =．即点M 是线段PD 的中点．……10分 此时平面AMC 的一个法向量可取(1,1,2)n =-，(22,32,1)BM =-．BM 与平面MAC 所成的角为θ，则26sin |cos ,|9n BM θ=<>=．……12分 21. 解：（1）由已知可得()'0f x ≥在[]1,+∞上恒成立,()222211'1,10a x ax f x x ax x x x++=++=∴++≥ 恒成立,21x a x --∴≥, 记()2112x x x x x ϕ--⎛⎫==-+≤- ⎪⎝⎭,当且仅当1x =时等号成立,2a ∴≥-. ……6分（2）()21ln 2h x a x x mx =++，当1a =时，由()()22111ln ,'2x mx h x x x mx h x x m x x ++=++=++=，由已知210x mx ++=有两互异实根12,x x ，由根与系数的关系得1212,,1x x m x x +=-=，()()221211122211ln ln 22h x h x x x mx x x mx ⎛⎫⎛⎫∴-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221212121ln ln 2x x m x x x x =-+-+-()()()()222211212121212211ln ln ln 22x x x x x x x x x x x x =--+-+-=--+1212121ln 2x x x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭. 令()()2222112121229,0,1,22x t t x x x x x x m x =∴∈+=++-≥,2222121212122155151,,,0,2222x x x x x x t t x x x x t +⎛⎫∴+≥∴=+≥+≥∴∈ ⎪⎝⎭,()()()()()2122111ln ,'222t h x h x t t t t tϕϕ-⎛⎫∴-=--=∴=- ⎪⎝⎭,()t ϕ∴单调递减,()min 13ln 224t ϕϕ⎛⎫∴==-⎪⎝⎭. ……12分 22．（本小题满分10分）解：（1）∵=4cos 4sin 4sin 4cos ρθθθθ-+=,2=4cos ρρθ∴ ………………3分又sin ,cos y x ρθρθ==，∴x 2+y 2=4x ，∴C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）l 的普通方程为230x ++=， ．．．．．．．．．．．．．7分∴圆C 的圆心到l 的距离为3d ==，∴PQ 的最小值为2d r -=-，∴PQ 的取值范围为2,)+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23．（本小题满分10分）解：（1）当2a =时，不等式为217x x -+-≥，∴1217x x x <⎧⎨-+-≥⎩或12217x x x ≤≤⎧⎨-+-≥⎩或2217x x x >⎧⎨-+-≥⎩，∴2x ≤-或5x ≥． ∴不等式的解集为(][),25,-∞-+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分（2）f(x)≤2即||2x a -≤，解得22a x a -≤≤+，而f(x)≤2解集是[-1，3]，．．．6分∴2123a a -=-⎧⎨+=⎩解得1a =，所以111(0,0)2m n m n +=>>， ．．．．．．．．．．．．．．7分∴1144(4)()3322n mm n m n m n m n+=++=++≥．（当且仅当21,4m n +==时取等号） ．．．．．．．．．10分。