【精编】2020高考数学(文科)二轮复习综合模拟卷(一)-教师用卷

【精编】2020高考数学（文科）二轮复习综合模拟卷（一）
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知i为虚数单位，复数2+4i
i
=()
A. 4−2i
B. 4+2i
C. −4−2i
D. −4+2i
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用复数的运算法则即可得出．
【解答】
解：复数2+4i
i =−i(2+4i)
−i⋅i
=4−2i，
故选A．
2.已知集合A={1,2，3}，B={x|(x+1)(x−2)<0,x∈Z}，则A∩B=()
A. {1}
B. {0,1}
C. {0,1，2，3}
D. {−1,0，1，2，3}
【答案】A
【解析】解：∵A={1,2，3}，B={x|−1<x<2,x∈Z}={0,1}，
∴A∩B={1}．
故选：A．
可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
3.已知角α+π
4的终边与单位圆x2+y2=1交于P(x0,1
3
)，则sin2α等于()
A. 1
9B. −7
9
C. −2
3
D. 1
3
【答案】B
【解析】解：角α+π
4的终边与单位圆x2+y2=1交于P(x0,1
3
)，∴sin(α+π
4
)=1
3
，
∴sin2α=−cos2(α+π
4)=−1+2sin2(α+π
4
)=−1+2×1
9
=−7
9
，
故选：B．
由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的余弦公式，求得sin2α的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
4.如图1是2015年−2018年国庆档日电影票房统计图，图2是2018年国庆档期单日
电影大盘票房统计图，下列对统计图理解错误的是()
A. 2016年国庆档七天单日票房持续走低
B. 2017年国庆档七天单日票房全部突破3亿
C. 2018年国庆档七天单日票房仅有四天票房在2.5亿以上
D. 2018年周庆档期第2日比第1日票房约下降12％
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了统计图，属于基础题．
根据图表得到相关数据是解题的关键，对各个选项逐一验证即可．
【解答】
解：A中，由图1易得2016年国庆7天的单日票房逐日递减，正确；
B中，由图1易得2017年国庆档10月6日，10月7日两天的单日票房未超过3亿，错误；
C中，由图2易得2018年国庆档10月1日，2日，3日，4日四天的单日票房都在2.5亿以上，正确；
D中，由图2易得2018年国庆档第2日比第1日票房下降约为36000.25−31662.48
36000.25
×100％≈12％，故D是正确的．
故选B．
5.“a<0”是“函数f(x)=ax2−2x−1在(0,+∞)上单调递减”的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的单调性，充分条件、必要条件判定，属于基础题．
利用二次函数的单调性即可得出结论．
【解答】
解：∵函数f(x)=ax2−2x−1在(0,+∞)上单调递减，
∴{a<0
−−2
2a
<0或a=0，
解得a≤0，
∴“a<0”是“函数f(x)=ax2−2x−1在(0,+∞)上单调递减”的充分不必要条件，故选A．
6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积
为()
A. 2
B. 5
2
C. 2+√2
D. 2√3+1
【答案】C
【解析】解：由题意，几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥P−ABCD，
几何体的表面积为：1×1+2×1
2×1×1+2×1
2
×1×
√2=2+√2．
故选：C．
画出几何体的直观图，检验三视图的数据求解几何体的表
面积即可．
本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．
7.已知a=log0.080.04，b=log0.30.2，c=0.30.04，则a，b，c的大小关系为()
A. c>b>a
B. b>a>c
C. b>c>a
D. a>b>c 【答案】B
【解析】解：a=log0.080.04，b=log0.30.2=log0.090.04，
根据对数函数的图象，所以b>a>log0.040.04=1，
c=0.30.04<1，
故选：B．
由a=log0.080.04，b=log0.30.2=log0.090.04，根据对数函数的图象，所以b>a> log0.040.04=1，c=0.30.04<1，得出结论．
考查对数函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，中档题．
8.将函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π
4
个单位长度后得到函数
g(x)=sin(2x+π
6
)的图象，则函数f(x)的一个单调减区间为()
A. [−π
12,5π
12
] B. [−π
6
,5π
6
] C. [−π
3
,5π
6
] D. [π
6
,2π
3
]
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
利用三角函数的平移变换的应用和正弦型函数的整体思想的应用求出结果．
【解答】
解：函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π
4
个单位长度后得到函数
g(x)=sin(2x+π
6
)的图象，
即：把函数g(x)=sin(2x+π
6)的图象，向左平移π
4
个单位，即得到f(x)的图象，
故：g(x)=sin(2x+π
2+π
6
)=sin(2x+2π
3
)，
令：π
2+2kπ≤2x+2π
3
≤2kπ+3π
2
(k∈Z)，
解得：−π
12+kπ≤x≤kπ+5π
12
(k∈Z)，
当k=0时，−π
12≤x≤5π
12
，
故选A．
9.已知四棱锥E−ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，ED=1，平面ECD⊥平
面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为()
A. √2
6B. 1
3
C. √2
3
D. 1
【答案】B
【解析】解：如图所示，
由题意可得：ED⊥平面ABCD时，△ADE的面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距离最大．
此时该四棱锥的体积=1
3×12×1=1
3
．
故选：B．
如图所示，由题意可得：ED⊥平面ABCD时，△ADE的
面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距离最大．即可得出此时该四棱锥的体积．本题考查了空间线面位置关系、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.若数列{a n}满足a1=1，a2=1，a n+2=a n+a n−1，则称数列{a n}为斐波那契数列，
斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例．作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那
契螺旋线，如图所示的7个正方形的边长分别为a 1，a 2，…，a 7，在长方形ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为( )
A. 1−
103π 156
B. 1−π
4
C. 1−
17π 26
D. 1−
68π 273
【答案】D 【解析】 【分析】
本题考查的是几何概型的求解及数列的递推关系式，属于中档题目． 根据几何概型概率公式计算，即可得到答案． 【解答】
解：由题意可得数列{a n }的前8项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21， 所以长方形ABCD 的面积为13×21=273，
6个扇形面积之和为π
4(12+22+32+52+82+132)=68π， 所以所求概率P =1−68π273， 故选D ． 11. 双曲线
x 2
a 2
−y 2
b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB(O 为坐标原点)的面积为b
c ，则双曲线的离心率为( )
A. √2
B. 2
C. √3
D. 3
【答案】B
【解析】解：双曲线
x 2a 2
−
y 2b 2
=1(a >0,b >0)的右焦点为F(c,0)，
设OA 的方程为bx −ay =0，OB 的方程为bx +ay =0，
过F 平行于OA 的直线FB 的方程为y =b
a (x −c)，平行于OB 的直线FA 的方程为y =−b
a (x −c)，
可得平行线OA 和BF 的距离为bc
√b 2+a 2=b ，
由{bx −ay =0bx +ay −bc =0
可得x =12c ，y =bc 2a ，即A(12c,bc
2a )，
则平行四边形OAFB的面积为S=b√1
4c2+b2c2
4a2
=bc，
化为b2=3a2，
则e=c
a =√1+b2
a2
=√1+3=2．
故选：B．
设出双曲线的右焦点F，直线OA，OB的方程，过F平行于渐近线的方程，求得平行线的距离，和A的坐标，运用平行四边形的面积公式，化简可得a，b的关系，进而得到所求离心率．
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查平行四边形的性质和面积求法，化简运算能力，属于中档题．
12.若x0既是函数f(x)=ae x−x−ka(a,k∈R)的一个零点也是一个极值点，则实数k
的取值范围为()
A. (−∞,1]
B. (−∞,0]
C. [0,+∞)
D. [1,+∞)
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查导数法研究函数的极值、最值以及函数的零点问题，属于中档题．
对f(x)求导，得到极值点x0=ln1
a ，再根据其为函数的零点，得到f(ln1
a
)=0，即1+lna−
ka=0，分离出k，转化求的值域问题，由此即可得到k的取值范围．
【解答】
解：因为f(x)=ae x−x−ka(a,k∈R)，所以f′(x)=ae x−1，因为函数有极值点，所以a>0，
令f′(x)=ae x−1=0，则x=ln1
a
，
当x<ln1
a ，f(x)单调递减，当x>ln1
a
，f(x)单调递增，
所以x=ln1
a 为函数f(x)的极小值点，则x0=ln1
a
，因为x0既是函数f(x)=ae x−x−
ka(a,k∈R)的一个零点也是一个极值点，
所以f(ln1
a
)=0，即1+lna−ka=0，
所以
令则，
令
，则a =1，
当0<a <1时，g′(a)>0，g(a)单调递增， 当a >1时，g′(a)<0，g(a)单调递减， 所以当a =1时，g(a)max =1，所以g(a)≤1， 所以实数k 的取值范围为(−∞,1]． 故选A ．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量e 1⃗⃗⃗ =(1,1)，e 2⃗⃗⃗ =(0,1)，若a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ 与b ⃗ =−(2e 1⃗⃗⃗ −3e 2⃗⃗⃗ )共线．则实
数λ=______． 【答案】−3
2
【解析】解：向量e 1⃗⃗⃗ =(1,1)，e 2⃗⃗⃗ =(0,1)， 则a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ =(1,1+λ)， b ⃗ =−(2e 1⃗⃗⃗ −3e 2⃗⃗⃗ )=(−2,1)， 所以1+2(1+λ)=0， 解得λ=−32． 故答案为：−32．
根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值． 本题考查了平面向量的共线定理和坐标运算问题，是基础题．
14. 若实数x ，y 满足约束条件{x +y ≤1
x −y +1≥0y ≥0，则z =x −2y 的最大值是______．
【答案】1
【解析】解：作出实数x ，y 满足约束条件{x +y ≤1
x −y +1≥0y ≥0
的平面区域，如图示： 由{y =0x +y −1=0，解得：A(1,0)， 由z =x −2y 得：y =1
2x −1
2z ， 显然，直线过A(1,0)时，z 最大，
z的最大值是1，
故答案为：1．
先画出满足条件的平面区域，通过解方程求出B点的坐标，根据z=x−2y变形为y=
1 2x−1
2
z，通过图象显然，直线过B时，z最大，求出即可．
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．
15.已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0),A为右顶点．过坐标原点O的直线交椭圆C于
P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N(2,0)，椭圆C的离心率为2
3
，则椭圆C的标准方程为______．
【答案】x2
36+y2
20
=1
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的方程，直线的斜率，点共线问题，中点坐标等，属于中档题．
设出P点坐标，表示出M的坐标，由Q，N，M三点共线，k MN=k NQ可计算出a，从而解决问题；
【解答】
解：设P(x,y)，由椭圆的对称性可得Q(−x,−y)
则由A(a,0)，线段AP的中点为M，得M(x+a
2,y
2 )；
由题意，Q，N，M三点共线，k MN=k NQ；
即y
2
−0
x+a 2−2
=0−(−y)
2−(−x)
；
可得x+a−4=2+x；
所以a=6，由椭圆C的离心率为2
3
，得c=4，b2=20；
故椭圆C的标准方程为：x2
36+y2
20
=1．
故答案为：x2
36+y2
20
=1．
16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知√3(acosC−ccosA)=b,B=60°，
则A的大小为______．
【答案】75°
【解析】解：∵√3(acosC−ccosA)=b,B=60°，
∴由正弦定理可得：√3(sinAcosC−sinCcosA)=sinB，可得：√3sin(A−C)=sinB=√3
2
，
∴sin(A−C)=1
，
2
∵A+C=120°，
又∵0°<A<120°，0°<C<120°，可得：−120°<A−C<120°，
∴A−C=30°，
∴解得：A=75°．
故答案为：75°．
由正弦定理，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值化简已知等式可得sin(A−C)=1
，可求范围−120°<A−C<120°，利用正弦函数的图象及特殊角的三角函数值2
可求A−C=30°，联立A+C=120°，即可解得A的值．
本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，正弦函数的图象及特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算了和转化思想，属于基础题．
三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）
17.已知数列{a n}的前n项和为S n，首项为a1，且4，a n，S n成等差数列．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若a n2=2b n，求数列{b n}的前n项和T n．
【答案】解：(1)数列{a n}的前n项和为S n，首项为a1，且4，a n，S n成等差数列．
所以2a n=S n+4①，当n=1时，解得a1=4．
当n≥2时2a n−1=S n−1+4②
=2(常数)
①−②得：a n=2a n−2a n−1，整理得a n
a n−1
所以数列{a n}是以4为首项，2为公比的等比数列．
所以a n=4×2n−1=2n+1．
(2)由于a n2=2b n，所以a n2=22n+2=2b n，整理得b n=2n+2，
=n2+3n．
所以T n=n(4+2n+2)
2
【解析】(1)直接利用等差中项求出数列的递推关系式，进一步求出数列的通项公式．
(2)利用(1)的结论进一步求出数列{b n}的通项公式，进一步求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前n项和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
18.如图所示的多面体ABCDEF满足：正方形ABCD与正三角形FBC所在的两个平面
互相垂直，FB//AE且FB=2EA．
(Ⅰ)证明：平面EFD⊥平面ABFE；
(Ⅱ)若AB=2，求多面体ABCDEF的体积．
【答案】解：(1)由题可知BC//AD，FB//AE，∠FBC=60∘，
∴∠EAD=∠FBC=60∘．
又FB=2EA，FB=BC=AD，
设EA=a，则AD=2a，在中，
由余弦定理得，ED=√a2+4a2−2a⋅2a⋅cos60∘=√3a，
∵DE2+AE2=AD2，∴ED⊥AE，
∵平面ABCD⊥平面FBC，平面ABCD∩平面FBC=BC，AB⊥BC，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面FBC．
∵BC//AD，EA//FB，FB∩BC=B，FB⊂平面FBC，BC⊂平面FBC，
∴平面EAD//平面FBC，∴AB⊥平面EAD;
∵ED⊂平面EAD，∴AB⊥ED，
∵EA∩AB=A，EA⊂平面ABFE，AB⊂平面ABFE，
∴ED⊥平面ABFE，
∵DE⊂平面DEF，
∴平面DEF⊥平面ABFE．
(2)如图，
连接BD 由(1)可知ED ⊥平面ABFE ， ∴V D−ABFE =1
3×
(2+1)×2
2
×√3=√3，
由(1)知AB ⊥平面FBC ，又CD//AB ，∴CD ⊥平面FBC ， ∴V D−FBC =1
3×(
√3
4
×22)×2=
2√3
3． ∴V ABCDEF =V D−ABFE +V D−FBC =5√3
3
． 所以多面体ABCDEF 的体积为
5√3
3
． 【解析】本题考查面面垂直和多面体的体积，属于中档题．
(1)先证ED ⊥AE ，再证AB ⊥ED ，从而ED ⊥平面ABFE ，又DE ⊂平面DEF ，平面DEF ⊥平面ABFE ．
(2)连接BD 由(1)可知ED ⊥平面ABFE ， V D−ABFE =1
3×(2+1)×2
2×√3=√3，由(1)知AB ⊥平面FBC ，又CD//AB ，
∴CD ⊥平面FBC ，V D−FBC =13×(
√3
4
×22)×2=2√33
．∴V ABCDEF =V D−ABFE +V D−FBC .即可求解．
19. 最近几年汽车金融公司发展迅猛，主要受益于监管层面对消费进人门槛的降低，互
联网信贷消费的推广普及，以及汽车销售市场规模的扩张．如图是2013−2017年汽车金融行业资产规模统计图(单位：亿元)．
(1)以年份值2013，2014，…为横坐标，汽车金融行业资产规模(单位：亿元)为纵坐标，求y 关于x 的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，预计2018年汽车金融行业资产规模(精确到亿元)． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ̂
=
∑(n i=1x i −x −)(y i −y −
)
∑(n i=1x i −x −
)
2=
∑x i n i=1y i −nx −y
−
∑x i 2n i=1−nx
−2，a ̂
=y −−b ̂x −(其中x −，y −
为样本平均值)．
参考数据：∑x i n i=1y i ≈4.620×107，2015∑y i n i=1≈4.619×107
．
【答案】解：(1)由已知得：x −
=
2013+2014+2015+2016+2017
5
=2015；
∑(5I=1x i −x −
)2=(−2)2+(−1)2+02+12+22=10； ∑x i 5i=1y i −5x −y −
≈(4.620−4.619)×107=104；
∴b ≈
1×10410=103；
∴a ̂
=y −
−bx −
≈4.619×1072015×5
−103×2015≈−2.010×106；
故所求的线性回归方程为：y =103x −2.010×106；
(2)当x =2018时，y ̂
=103×2018−2.010×106≈8000(亿元)； 预计2018年汽车金融行业资产规模约为8000(亿元)． 【解析】(1)由已知求得b ̂
与a ̂
的值，则线性回归方程可求；
(2)在(1)中求得的回归方程中，取x =2018求得y 值，则答案可求．
本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题，计算能力是这一类型题目考查的重点．
20. 已知椭圆C ：x 2
a 2+y
2
b 2
=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆经过点
P(√6,−1)，且△PF 1F 2的面积为2 (1)求椭圆C 的标准方程
(2)设斜率为1的直线l 与以原点为圆心，半径为√2的圆交于A ，B 两点与椭圆C 交于C ，D 两点，且|CD|=λ|AB|(λ∈R)，当λ取得最小值时，求直线l 的方程
【答案】解：(I)由△PF 1F 2的面积S =1
2⋅2c ⋅1=2，则c =2，由a 2−b 2=4， 将椭圆C 过点P(√6,−1)，则6
a 2+1
b 2=1，解得：a =2√2，b =2， ∴椭圆的标准方程：
x 28
+
y 24
=1；
(Ⅱ)设直线l 的方程为y =x +m ，则原点到直线l 的距离d =√2
由弦长公式|AB|=2√2−m 2
2
=√8−2m 2，
则{y =x +m x 2+2y 2=8，整理得：3x 2+4mx +2m 2−8=0， Δ=16m 2−12(2m 2−8)>0，解得：−2√3<m <2√3，
由直线和圆相交的条件可得d <r ，即√2<√2，则−2<m <2，
综上可得m的取值范围为(−2,2)，
设C(x1,y1)，D(x2,y2)，则x1+x2=−4m
3，x1x2=2m2−8
3
，
由弦长公式|CD|=√2√(x1+x2)2−4x1x2=4
3
√12−m2
由|CD|=λ|AB|，则λ=|CD|
|AB|=
4
3
√12−m2
√8−2m2
=2√2
3
√1+8
4−m
，
由−2<m<2，则0<4−m2≤4，
∴当m=0时，λ取得最小值为2√6
3
，此时直线l的方程为y=x．
【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．
(I)根据三角形的面积公式，求得c，由a2−b2=4，将P代入椭圆方程，即可求得a 和b的值，即可求得椭圆方程；
(Ⅱ)设直线l的方程，利用点到直线的距离公式及勾股定理求得|AB|，代入椭圆方程，由△>0和d<r，求得m的取值范围，利用韦达定理及弦长公式求得|CD|，根据m的取值范围，即可求得m的值，直线l的方程．
21.已知函数f(x)=x3−ax2+4
27
．
(1)若f(x)在(a−1,a+3)上存在极大值，求a的取值范围；
(2)若x轴是曲线y=f(x)的一条切线，证明：当x≥−1时，f(x)≥x−23
27
．
【答案】(1)解：f′(x)=3x2−2ax=x(3x−2a)，令f′(x)=0，得x1=0，x2=2a
3
．当a=0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，f(x)无极值，不合题意；
当a>0时，f(x)在x=2a
3
处取得极小值，在x=0处取得极大值，
则a−1<0<a+3，又a>0，所以0<a<1；
当a<0时，f(x)在x=2a
3
处取得极大值，在x=0处取得极小值，
则a−1<2a
3
<a+3，又a<0，所以−9<a<0．
综上，a的取值范围为(−9,0)∪(0,1)．
(2)证明：由题意得f(0)=0，或f(2a
3
)=0，
即4
27=0(不成立)，或−4
27
a3+4
27
=0，
解得a=1．
设函数g(x)=f(x)−(x−23
27
)=x3−x2−x+1，g′(x)=(3x+1)(x−1)，
当−1≤x <−13或x >1时，g′(x)>0；当−1
3<x <1时，g′(x)<0． 所以g(x)在x =1处取得极小值，且极小值为g(1)=0． 又g(−1)=0，所以当x ≥−1时，g(x)≥0， 故当x ≥−1时，f(x)≥x −23
27．
【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系判断函数的单调性，再根据极值存在条件可求；
(2)由题意得f(0)=0，或f(2a
3)=0，代入可求a ，然后构造函数g(x)=f(x)−(x −23
27)=x 3−x 2−x +1，结合导数与极值的关系可证明．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值存在条件的应用，体现了转化与分类讨论思想的应用．
22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =t −3
y =3t
(t 为参数).以坐标原点为
极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35=0．
(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求|AM|2+|AN|2最大值．
【答案】解：(1)由直线l 的参数方程为{
x =t −3
y =3t (t 为参数).转换为直角坐标方程为：3x −y +9=0．
所以：直线l 的普通方程为3x −y +9=0．
曲线C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35=0.转换为直角坐标方程为：x 2+y 2+12x +35=0．
故曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2+12x +35=0．
(2)直线l:3x −y +9=0与坐标轴的交点依次为(−3,0)，(0,9)， 不妨设M(−3,0)，N(0,9)，
曲线C 的直角坐标方程x 2+y 2+12x +35=0化为标准方程是(x +6)2+y 2=1， 由圆的参数方程，可设点A(−6+cosα,sinα)，
所以|AM|2+|AN|2=(−3+cosα)2+sin 2α+(−6+cosα)2+(sinα−9)2=−18(sinα+cosα)+128=−18√2sin(α+π
4)+128， 当sin(α+π
4)=−1，即α=
5π4
时，最大值为18√2+128．
【解析】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．
23. 已知函数f(x)=|x +1|+|ax −1|．
(Ⅰ)当a =1时，求不等式f(x)≤4的解集；
(Ⅱ)当x ≥1时，不等式f(x)≤3x +b 成立，证明：a +b ≥0． 【答案】(Ⅰ)解：当a =1时，f(x)=|x +1|+|x −1|={2x,x >1
2,−1≤x ≤1−2x,x <−1．
∵f(x)≤4，∴{2x ≤4x >1或−1≤x ≤1或{−2x ≤4
x <−1，
∴1<x ≤2或−1≤x ≤1或−2≤x <−1，∴−2≤x ≤2， ∴不等式的解集为{x|−2≤x ≤2}．
(Ⅱ)证明：当x ≥1时，不等式f(x)≤3x +b 成立， 则x +1+|ax −1|≤3x +b ， ∴|ax −1|≤2x +b −1，
∴−2x −b +1≤ax −1≤2x +b −1， ∴{(a +2)x ≥2−b
(a −2)x ≤b
， ∵x ≥1，∴{a +2≥0a +2≥2−b
a −2≤0a −2−
b ≤0，
∴{−2≤a ≤2
a +
b ≥0a −2≤b
，∴a +b ≥0． 【解析】(Ⅰ)将a =1代入f(x)中，然后将f(x)写出分段函数的形式，再根据f(x)≤4分别解不等式即可；
(Ⅱ)根据当x ≥1时，不等式f(x)≤3x +b 成立，可得|ax −1|≤2x +b −1，然后解不等式，进一步得到a +b ≥0．
本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。