第一章--.ppt

称为 Argz 的主值 , 记作 θ 0 = arg z . Argz = arg z + 2kπ k = 0, ± 1, ± 2,L 如何确定辐角？ 已知复数 z = x + iy , 如何确定辐角？
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2 y π π (其中 − < arctan < ) 2 x 2 例2 求下列复数的幅角
z ≠ 0 辐角的主值 y x > 0, arctan , x π x = 0, y > 0, 2, y arg z = arctan + π, x < 0, y ≥ 0, x y x < 0, y < 0, arctan - π, x −π , x = 0, y < 0.
证明式(1)成立 例 证明式 成立 共轭复数的几何性质
o
z2
z1
x
z1
y
一对共轭复数 z 和 z 在 复平面内的位置是关于 实轴对称的 .
o
⋅ z = x + iy
x
⋅ z = x − iy
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复数辐角的定义 当 z ≠ 0 时，则把正实轴与向量 OP 的夹角称为
z 的辐角(arg ument ), 记作 Arg z = θ . 注意 1 任何一个复数z ≠ 0有无穷多个辐角 , 有无穷多个辐角 如果 θ1 是其中一个辐角, 那么 z 的全部辐角为 Arg z = θ 1 + 2 k π ( k 为任意整数 ) 辐角不确定，没有辐角. 注意 2 当 z = 0 时, 辐角不确定，没有辐角. 辐角主值的定义 在 z ( ≠ 0) 的辐角中, 把满足 − π < θ 0 ≤ π 的 θ 0
y
o
θ
r
Pz = x + iy
x
z = z1 + z 2
x
z 2 = x2 + iy2
o
z1 = x1 + iy1
x
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和与差的模的性质
因为 z1 − z 2 表示点 z1 和 z 2 之间的距离 , 故 y z2 z1 − z2 z1 - z2 ≥ z1 − z2 .(1)
z1 + z2 ≤ z1 + z2 ;
定义: 定义:设复数 z1 = x1 + y1i 复数 z 2 = x 2 + y 2 i 则 z1 = z 2 ⇔ x1 = x 2 且 y1 = y 2
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共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数, 个复数称为共轭复数, z 的共轭复数记为 z . 共轭复数
即：若 z = x + iy , 则 z = x − iy .
（5） 复数的指数表示法 ） 利用Euler公式 e iθ = cosθ + i sin θ , 公式 利用
可以表示为： 则复数 z = r (cos θ + i sin θ )可以表示为：
z = re iθ
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将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 例 2 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
特别 zz = x 2 + y 2
（3）两个复数的商 ） z1 x1 x2 + y1 y2 x2 y1 − x1 y2 z1 ⋅ z2 i = = 2 2 + 2 2 z2 x 2 + y2 x2 + y2 z2 ⋅ z2 全体复数并引进上述运算后就称为复数域， 全体复数并引进上述运算后就称为复数域， 常用C表示。 常用 表示。 表示 推导运算（ ） 推导运算（3）
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二、 复数的表示方法
（1）定义表示形式 ）
用 x + iy 表示复数 z , 即 z = x + iy .
给 定 复 数 z = x + iy ， 则 确 定 了 实 部 x 和 虚 y,则 部 y ； 反 过 来 ， 给 定 实 部 x 和 虚 部 y,则 完 全 确 定 z,这 了 复 数 z,这 样 ， 复 数 z与 一 对 有 序 实 数 （ x, y) 构成了一一对应关系。 因此， 因此， x + iy 与（ x , y ) 不加区别 .
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（3）复数的向量表示法 ）
复数z = x + iy也可用复平面上的向量 OP 表示
长度、 向量具有两个重要的属 性：长度、方向. 该向量的长度称为 z 的模或绝对值 ,
记为 z = r =
显然成立： 显然成立：
x +y .
2 2
y y
x ≤ z,
y ≤ z,
z ≤ x + y.
注意： 注意：复数与向量的一一对 应使复数的加减运算与向量 的加减运算保持一致
7
复数的概念及表示法 一 复数的概念及表示法
i = −1
2
形如 z = x + yi 或 z = x + iy 的数称为复数 . 为实数， 其中 x , y 为实数，分别称为 z 的实部和虚部 , 记作 x = Re( z ), y = Im( z ). 当 x = 0, y ≠ 0 时 , z = iy 称为纯虚数 ; 当 y = 0 时 , z = x + 0i , 我们把它看作实数 x . 复数相等 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部 分别相等（ 分别相等（求解复方程的基础）
z = (1 + sin1) 2 + cos 2 1 = 2(1 + sin1)
2
+ i cos
π
显然 r = z = 1,
cos1 π 1 arg z = arctg = − π π 1 1 + sin1 4 2 = 2 1 + cos( − 1) = 4 cos 2 ( − )
2 4 2
z=0⇔ z =0
非实数的复数不能比较大小， 注：非实数的复数不能比较大小，但模可以比较 非实数的复数不能比较大小 大小 。
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（4） 复数的三角表示法 ）
x = r cosθ 利用直角坐标与极坐标的关系 y = r sin θ 复数可以表示成
z = x + iy = r (cos θ + i sin θ )
单值函数 复变函数论 多值函数 几何理论
•20世纪，发展为数学分支,在解析性质、映射性质、 20世纪，发展为数学分支,在解析性质、映射性质、 20世纪 多值性质、随机性质、 多值性质、随机性质、函数空间及多复变函数等方 面有重要成果。 面有重要成果。
4
我们的主要任务是学习单值解析函数的基本 我们的主要任务是学习单值解析函数的基本 性质、运算,包括微分、积分等。 性质、运算,包括微分、积分等。
空气动 力学
流体 力学 复变函数论
电学
热学
•复变函数论在空气动力学、流体力学、电学、热学、 复变函数论在空气动力学、流体力学、电学、热学、 复变函数论在空气动力学 理论物理等领域有重要应用（ 内容）。 理论物理等领域有重要应用（“*”内容）。
5
第一章 复数与复变函数
6
§1-3 复数及其运算
主要介绍关于复数的基本概念， 主要介绍关于复数的基本概念，包括复数 的定义、表示方法、运算法则、 的定义、表示方法、运算法则、基本不等式的 应用
(4) z1 ± z2 = z1 ± z2 ; z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2 ;
( 5 ) z = z; 2 2 (6) z ⋅ z = [ Re( z )] + [ Im( z )] =| z |2 ; (7) z + z = 2 Re( z ), z − z = 2i Im( z ).
z1 z1 = ; z2 z2
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1 3i 例1 设z=− − , 求 Re( z ), Im( z ) 与z ⋅ z . i 1− i
解
1 3i i 3i (1 + i ) 3 1 z=− − =− − = − i, i 1− i i ⋅ i (1 − i )(1 + i ) 2 2
3 1 Re( z ) = , Im( z ) = − , 2 2 2 2 5 2 2 3 1 z ⋅ z = [Re( z )] + [Im( z )] = + − = . 2 2 2
(1) z = - 12 - 2i;
(2) z = -3 + 4i
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两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部 分别相等
定义: 定义:设复数 z1 = x1 + y1i 复 z 2 = x 2 + y 2 i 则 z1 = z 2 ⇔ x1 = x 2 且 y1 = y 2
即
z1 = z 2 ≠ 0 ⇔ z1 = z 2 且 arg( z1 ) = arg( z 2 )
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两个复数z1 = x1 + iy , z2 = x2 + iy2的四则运算 1 （1）两个复数的和与差 ） z1 ± z2 = ( x1 ± x2 ) + i ( y1 ± y2 )
（2）两个复数的积 ） z1 ⋅ z2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x2 y1 + x1 y2 )
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（2）复数的平面表示法 ）
我们知道， 我们知道， ( x , y )可以用平面直角坐标系 中平面 如图） 上的点表示 (如图）
y y
z = x + iy
⋅ ( x, y)
o
x
x
如图） . 复数 z = x + iy 可以用平面上的点 ( x , y ) 表示 (如图）
这种用来表示复数的平 面叫复平面 . 通常把横 轴叫实轴或 x 轴 , 纵轴叫虚轴或 y 轴 .
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乘幂与方根
设复数 z1 和 z2 的三角形式分别为 , z1 = r1 (cosθ1 + i sinθ1） z2 = r2 (cosθ 2 + i sin θ 2） ,
22
( 2) z = sin
π
5
5 π π π = cos 3π , sin = cos − 10 5 2 5 π π π = sin 3π , cos = sin − 10 5 2 5 3 πi 3π 3π 10 + i sin . = e 故 z = cos 10 10 (3) z = 1 + sin1 + icos1
教
师：李叶舟
1
“复变函数论”是研究自变量为复数的函数的基 复变函数论” 复变函数论 本理论及应用的数学分支. 本理论及应用的数学分支.
M.Kline指出 19世纪最 指出： 世界著名数学家 M.Kline指出：19世纪最 独特的创造是复变函数理论 复变函数理论。 独特的创造是复变函数理论。象微积分的直接 扩展统治了18世纪那样，该数学分支几乎统治 扩展统治了18世纪那样， 18世纪那样 19世纪 它曾被称为这个世纪的数学享受， 世纪。 了19世纪。它曾被称为这个世纪的数学享受， 也曾作为抽象科学中最和谐的理论。 抽象科学中最和谐的理论 也曾作为抽象科学中最和谐的理论。
流体力学 u ( x, y ) + iv( x, y )
3
•19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特 19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、 19世纪 拉斯分别用积分和级数研究复变函数 黎曼研究复 分别用积分和级数研究复变函数， 拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复 变函数的映射性质
2
历史背景
16
17
18
19
20世纪
•16世纪，解代数方程时引入复数(笛卡尔，韦塞尔，阿尔冈) 16世纪， 笛卡尔，韦塞尔，阿尔冈) 16世纪 •17世纪，实变初等函数推广到复变数情形 17世纪 17世纪， •18世纪，逐步阐明复数的几何、物理意义。（达朗贝尔，欧拉） 18世纪 18世纪，逐步阐明复数的几何、物理意义。 达朗贝尔，欧拉）
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复数运算的性质
(1) z1 + z2 = z2 + z1 ; z1 ⋅ z2 = z2 ⋅ z1 ; ( 2) ( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 )
z1 ⋅ ( z2 ⋅ z3 ) = ( z1 ⋅ z2 ) ⋅ z3 ( 3) z1 ⋅ ( z2 + z3 ) = z1 ⋅ z2 + z1 ⋅ z3
(1) z = − 12 − 2i;
( 2) z = sin
π
+ i cos ; 5 5
π
(3) z = 1 + sin1 + icos1
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将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 例 2 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
(1) z = − 12 − 2i;
解
( 2) z = sin
π
+ i cos ; 5 5
π
(1) r = z = 12 + 4 = 4, 因 z 在第三象限 ,
5 3 −2 θ = arctan −π = − π, − π = arctan 6 3 − 12
故
5 − πi 5 5 z = 4 cos − π + i sin − π = 4e 6 . 6 6