函数的奇偶性

函数的奇偶性 （第一课时）2010.11
教学目的
使学生理解函数的奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的奇偶性．
教学过程
一、引入新课
(教师用小黑板出示两题，指定两学生在黑板上各演算一题．)
（1）已知：函数F(x)=-x 4+x 2-2 求：f(x)
(2) 已知：函数G(x)=
x +3x 1 生甲：F(-x)=-x 4+x 2-2
生乙：G(-x)=-
x -3x 1 师：从上面两题的结果，我们可以得到什么启示呢？
(启发一下)当自变量互为相反数时，两函数值之间有何关系？ 生：f(－x)=f(x)，g(－x)=－g(x)．
师：对！我们还必须注意到：刚才所说的两个等式f(－
x)=f(x)，g(－x)=－g(x)是对函数定义域内任意一个x(不是某些x)而言的．这里函数f(x)与g(x)的定义域分别是R 、{x|x∈R 且x≠0}(即为非零实数)．这是函数关系中一个很重要的性质．由它就可从自变量取正值时函数的变化情况推断出函数在整个定义域内的变化情况．具有这一性质的函数，当然不止这两个．因此，有必要对这类函数作进一步的讨论．
[对学生来说，函数的奇偶性，是一个比较陌生的概念，不像单调性那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，安排了两个板演题，引导他们发现这一性质，以便自然地给出概念．这也是对学生观察、分析、归纳能力的一种培养．选取函数
g(x)，是为了使学生认识到奇(偶)函数的定义域不局限于R，也不局限于一个区间，以防止学生在认识上产生片面性．]
二、给出定义
师：这就是今天这一节课的内容．
[彩色粉笔板书课题：“函数的奇偶性”．接着，挂上事先写好的关于奇(偶)函数的定义的小黑板，并请口齿清楚、声音宏亮的一位同学朗读一遍，教师轻轻一同随读．]
师：前面的函数f(x)与g(x)，就奇偶性来说，分别是什么函数？
生：f(x)是偶函数，g(x)是奇函数．
师：对！显然，反过来，如果函数f(x)是奇函数，那么对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x)；如果函数f(x)是偶函数，那么对于函数f(x)定义域内任意一个x都有f(－
x)=f(x)．
[在这里提一下：“显然，反过来……”这一段话，既是加深学生对奇偶性概念的理解，也是使学生明确：作为定义，它具有纯粹性、完备性两个方面的意义．]
师：如何来判断一个函数f(x)是不是奇(偶)函数，即函数f(x)奇偶性的基本特征是什么？
生：基本特征：等式f(－x)=－f(x)或f(－x)=f(x)是否成立？
师：很好！基本特征是判断一个函数是不是奇(偶)函数的主要依据，但必须注意，等式是不是对定义域M中所有x都成立．如果对于M内所有的x，f(－x)=－f(x)[或
f(-x)=f(x)都成立，那么f(x)就是奇（偶）函数，如果在M ,满足f(-x)≠-f(x)或f(-x)≠f(-x),那么f(x)就不是内有某个x
奇（偶）函数。

三、举例巩固
师：(出示小黑板．)
判断下列函数是否具有奇偶性：
（1）f(x)=2x 34+3x 32-2 (2)f(x)=x-x
1 (3) f(x)=x 2+x-4 (4) f(x)=x 3(x 0≥)
生：(1)f(x)是偶函数；(2)f(x)是奇函数；(3)f(x)既不是奇
函数，也不是偶函数；(4)f(x)是奇函数．
师：对吗？
生：(4)中f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
师：对！(面对众生)但对于(3)，f(2)=2，f(－2)=－2，有f(－
2)=－f(2)，为什么不是奇函数呢？
生：因为仅当x=±2时，有f(－x)=－f(x)，并非对于定义域
内任意一个x 都有f(－x)=－f(x)．如f(1)=－2，f(－1)=－4，因
此不是奇函数，当然也不是偶函数．
师：很有道理！事实上，我们判断一个函数f(x)既不是奇函
数又不是偶函数，只要在定义域内能找到一个x 使f(-x)≠)
(x f ±就可以了。

师：但对于（4）f(-x)=-x 3=-f(x),为什么又不是奇函数呢？
生：因为对于函数f(x)=x 3(x 0≥)，f(1)=1,但-1不在定义域
内，f(-1)不存在。

谈不上有f(－1)=－f(1)，即并不是对于函数定义域内所有x
的值，都有f(－x)=－f(x)
成立，故f(x)=x )0(3≥x 不
师：讲得好！我们在判断函数f(x)的奇偶性时，要考虑对定
义域内的任意一个x 值，f(x)与f(－x)的值是否同时存在．实际
上，就是考虑函数f(x)的定义域是否对称于原点．可见定义域对
称于原点(原点可以不在内)是奇(偶)函数必须具备的条件．
[新概念给出后，举几个典型例子，特别是似是而非的例子让
学生判别，对理解概念的含义是十分必要的．这里四个小题，主要
是让学生初步了解判断函数奇偶性的方法．对于学生在解答问题时
出现的错误，可让学生自己相互订正，并说明道理，这往往比由教
师指出更有效．]
师：判断下列函数的奇偶性：
(5)f(x)=x [])10,1012-∈+x （ (6)f(x)=x x +3
生：都既不是奇函数，也不是偶函数．
师：对！再判断下列函数的奇偶性：
(7) f(x)=0．
生：它是偶函数．
师：为什么？
生：因为对于定义域R 内任意一个x ，都有f(－x)=f(x)．
师：大家还有什么不同看法吗？
生：它还是奇函数．
师：为什么？
生：因对任意x∈R ，都有f(－x)=0、－f(x)=0，即f(－x)=
－f(x)，按定义知f(x)=0是奇函数．
师：对！f(x)=0既是奇函数又是偶函数．那么还能不能举出
既是奇函数又是偶函数的函数呢？
生甲：有！x=0就是．
生乙：不对！x=0不满足关于函数(单值)的定义，即它不是函
数．当然不会既是奇函数又是偶函数了．这样的函数不会再有．
师：前半段话言之有理，最后一句话深思过吗？
生：(继续)倘如f(x)在定义域M 内既是奇函数又是偶函数，
必须对M 内任意一个x ，都有f(－x)=－f(x)且f(－x)=f(x)，即
应有－f(x)=f(x)，即f(x)=0．因此，除f(x)=0以外，再也没有
其他既是奇函数又是偶函数的函数了．
师：回答有一定道理，但美中不足的是：在最后导出“f(x)=0”
时，漏写了“x∈M ”，应写为“f(x)=0(x∈i ”．由于漏写了
“x∈M ”，就导致了结论的错误．请想一想：对于函数
f(x)=0(x∈[－1，1])，它的奇偶性是怎样的呢？它与f(x)=0[实
质是f(x)=0(x∈R )的简写]是同一函数吗？
生：f(x)=0(x∈[－1，1])也既是奇函数又是偶函数．因它与
f(x)=0(x∈R )的定义域不同，故不是同一函数．
师：完全正确！既是奇函数又是偶函数的函数不止这两个。

如
f(x)= 33x x -+
f(x)=0[x∈(－a ，a)，其中a ＞0]等都是．因此，既是奇函数
又是偶函数的函数有无数个．不过它们的表达式都为(或化
为)f(x)=0的形式，所不同的只是它们的定义域．
[第(7)题是让学生进一步掌握函数奇偶性的判定方法，同时也
是对函数概念的一次复习．因为对于y=a[实质是y=a(x∈R )]是函
数，而x=a 却不是函数(不满足单值函数定义)]
师：（8）判断函数f(x)=21(323
)1++-+）
（x x
生甲：既不是奇函数，也不是偶函数．
师：为什么？
生乙：所给函数式可以简化为f(x)=x 3+3x,易知它是奇函数
师：对！是否有f(－x)=±f(x)成立，对一个较复杂的表达式
来说，并不是一目了然的，对此应先将原表达式化简后再作判断，
万万不能粗心大意．
[这是学生较易犯的所谓“粗心”的毛病，必须提醒学生注
意．]
师：（9）判断函数f(x)=(x-1)x
-+1x 1的奇偶性。

[学生各自演算： f(x)=(x-1)x -+1x 1=-x
x x -+-1)1()1(2=-21x -
生甲：是偶函数．
生乙：是偶函数．
师：请同学们计算f(－1))和f(1)的值．
[教师不是急于指出错误所在，而是引导学生自己发现错误．]
生：f(－1)=0，f(1)不存在．因为当函数 f(x)=(x-1)x
-+1x 1
化为f(x)=- 2
-时，函数f(x)的定义域扩大了（增加了x=1）,
1x
对函数y=-2
1x
-来说是偶函数；对函数f(x)来说，则不是偶函数，也不是奇函数．
师：对！说得好．所以我们在判定一个函数的奇偶性时，首先应看它的定义域，即对于定义域内任意一个x，它的相反数－x是否也在定义域内．给出的函数，如果未标明定义域，那么怎样确定它的定义域呢？
生：求出使这个函数有意义的实数的集合就是此函数的定义域．
师：对！如二次函数y=ax2,实际上是y=ax2（x）
∈的简写，
R
它是偶函数。

但如果x表示圆半径，y表示圆面积，则函数
π就不是偶函数，也不是奇函数．
y=)0
x
(
x2>
[如果一个函数解析式比较复杂，且未指出其定义域，那么在判断函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域，再决定是否需要将解析式化简，并用函数奇偶性的定义加以判断，以免导致错误．]
五、小结
师：请同学回答：判断一个函数的奇偶性，要注意些什么？
生：首先观察函数f(x)的定义域M，如果M不对称于原点，就可断定f(x)既不是奇函数又不是偶函数；如果M对称于原点，一般就通过计算f(－x)后运用定义来判断；若函数式较为复杂，则要设法恒等变形将其化简为易知其奇偶性的形式来判断；若化简后的函数式为f(x)=0，则可断言f(x)既是奇函数又是偶函数．
六、课内练习
1．判断下列函数的奇偶性：
（1） f(x)=x
212x +-
（2） f(x)=x-x 1 （3） f(x)=2x
（4） f(x)=x x
2．一次函数f(x)=ax ＋b 在什么情况下是奇函数？
七、布置课外作业(出示小黑板．)
．判断函数 f(x)=[)(]⎩⎨⎧--∈+1,0,11,1,1x x x x 的
函数奇偶性练习 （ 第二课时）
例1．判断下列函数的奇偶性：
（1）)1lg()(2x x x f -+=
（2）⎪⎩⎪⎨⎧>++-=<-+=)0(32)0(0)0(32)(22x x x x x x x x f
（3）1
1)1()(-+-=x x x x f 例2．已知函数f （x ）满足f （x +y ）+f （x －y ）=2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证明f （x ）是偶函数。

例3．是否存在常数m 、n 使函数f （x ）=（m 2－1）x 2+（m －1）x +n +2为奇函数？ 例4．已知)21121
()(+-=x x x f （1）判断f （x ）的奇偶性；
（2）证明f （x ）>0。

备用题：
1．已知函数f （x ）的周期为4，且等式f （2+x ）=f （2－x ），对一切x ∈R 成立，求证：f （x ）为偶函数。

2．设f （x ）是（－∞，+∞）上的奇函数，f （x +2）=－f （x ），当0≤x ≤1时，f （x ）=x ，求f （3π）。

【基础训练】
1．判断下列函数的奇偶性
（1）f （x ）=5x +3
（ ） （2）f （x ）=x －2+x 4 （ ）
（3）f （x ）=4sin x
（ ） （4）2211)(x x x f -++=（ ） 2．下列四个命题：
（1）f （x ）=1是偶函数；
（2）g （x ）=x 3，x ∈（－1，1]是奇函数；
（3）若f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则H （x ）=f （x ）·g （x ）一定是奇函数；
（4）函数y =f （|x |）的图象关于y 轴对称，其中正确的命题个数是
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．已知f （x ）=ax 3+b sin x +1，且f （5）=7，则f （－5）的值是
（ ）
A ．－5
B ．－7
C ．5
D ．7
4．设f （x ）是（－∞，+∞）上的奇函数，f （x +2）=－f （x ），当0≤x ≤1时，f （x ）=x ，则f （7.5）等于（ ）
A ．1.5
B ．－0.5
C ．0.5
D ．－1.5
5．已知f （x ）（x ∈R ）是奇函数，当x ∈（0，+∞）时，x x f +=21lg
)(，则f （0）=__________，f （－2）___________，当a <0时f （a ）=___________。

6．设f （x ）是R 上的奇函数，且当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=x （1+3x ）+1，则f （x ）表达式为__________。

拓展练习（第三课时）
1．函数f （x ）=log 2（1+4x ）－x 的奇偶性是
（ ） A ．奇函数非偶函数
B ．偶函数非奇函数
C ．奇函数且偶函数
D ．非奇函数又非偶函数
2．同时满足（1）有反函数；（2）为奇函数；（3）定义域集合于等于值域集合，三个条
件的函数是（ ）
A ．2)(x
x e e x f -+= B ．x x x f +-=11lg )( C ．3)(x x f -= D ．21)(x x f =
3．若y =f （x ）（x ∈R ）是奇函数，则下列各点中，一定在曲线y =f （x ）上的是 （ ）
A ．（a ，f （－a ））
B ．（－sin a ，－f （－sin a ））
C ．（－lg a ，－f （lg a 1））
D ．（－a ，－f （a ））
4．已知函数y =f （x ）在（0，2）上是增函数，函数f （x +2）是偶函数，则
（ ）
A ．)2
7()25()1(f f f << B ．)25()1()27(f f f << C ．)1()25()27(f f f <<
D ．)27()1()25(f f f << 5．已知f （x ）=x 4+ax 3+bx －8，且f （－2）=10，则f （2）=_____________。

6．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，x >0时，f （x ）=x 2－2x +3，则f （x ）=________________。

7．若函数122)(+-x x a
x f 是奇函数，那么实数a =___________________。

8．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +1）=)(1x f -
，且f （x ）为奇函数，当0<x <21时，f （x ）=4x ，则)4
11(-f =______________。

9．判断函数)1,0(1)1()(3≠>+-=
a a a a x x f x x 的奇偶性，并加以证明。

10．定义在（－∞，+∞）上的任意函数f （x ）都可以表示成一个奇函数g （x ）和一个偶函数h （x ）的和，如果f （x ）=l g （10x +1），x ∈（－∞，+∞），求g （x ）与h （x ）。

11．设函数f （x ）的最小正周期为2002，并且f （1001+x ）=f （1001－x ）对一切x ∈R 均成立，试判断f （x ）的奇偶性。