2018年高三最新 湖北省八校2018届高三第二次联考数学

湖北省八校2018届高三第二次联考
数学试题（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．Z C ∈，若12z z i -=- 则43i
z
+的值是（ ）
A ．2i
B ．2i -
C ．2
D ．2-
2． 已知310
,tan cot 43
παπαα<<+=-，则tan α的值为（ ）
A ．3-
B ．13-
C ．3-或1
3
- D ． 43-
3．二面角l αβ--为0
60，A,B 是棱l 上的两点，AC,BD 分别在半平面,αβ内，
,,AC l BD l ⊥⊥且,2AB AC a BD a ===，则CD 的长为（ ）
A ．2a B
C ．a D
4. 在数列{}n a 中，*
n N ∈，都有211n n n n
a a k a a +++-=-（k 为常数）
，则称{}n a 为“等差比数列”下列是对“等差比数列”的判断：
①k 不可能为0 ②等差数列一定是等差比数列 ③等比数列一定是等差比数列 ④等差比数列中可以有无数项为0 其中正确的判断是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
5．已知,x y 满足约束条件，0
3440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨
⎪≥⎩
则22
2x y x ++的最小值是（ ） A ．25 B
1 C ．2425
D ．1
6. 某电视台连续播放6个广告，三个不同的商业广告，两个不同的奥运宣传广告，一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放，两个奥运宣传广告也不能连续播放，则不同的播放方式有（ ） A ．48种 B ．98种 C ．118种 D ．120种
7．一凸多面体各面都是三角形，各顶点引出的棱的条数均为4条，则这个多面体只能是（ ）
A ．四面体
B ．六面体
C ．七面体
D ．八面体 8．将函数()3
2
33f x x x x =++的图象按向量a 平移后得到函数()g x 的图象，若函数
()g x 满足()()111g x g x -++=，则向量a 的坐标是（ ）
A ．()1,1--
B ．32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()2,2
D ．32,2⎛⎫-- ⎪
⎝
⎭
9．设函数()()21
x f x x R x =∈+，区间[]()
,M a b a b =<其中集合(){},N y y f x x M ==∈,
则使M N =成立的实数对(),a b 有（ ）
A ．1个
B ．3个
C ．2个
D ．非以上答案的个数
10．经过椭圆22143
x y +=的右焦点任作弦AB ，过A 作椭圆右准线的垂线AM ，垂足为M ，则直线BM 必经过（ ）
A ．()2,0
B ．5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()3,0
D ．7,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中的横线上
11．过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()()22
3425x y -+-=交于,A B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是： ．
12． 已知函数()1()301x f x a a a +=->≠且反函数的图象恒过定点A ，则点A 在直线
10mx ny ++=上，若0,0m n >>则
12
m n
+的最小值为 ．
13．V ABC -的外接球的球心为O ，满足0OA OB OC ++=,
则三棱锥外接球的体积为 ．
14．设
)
()21
4
*n n N +∈的整数部分和小数部分分别为n n M m 与，则()n n n m M m +的值
为 ．
15．设函数()f x 的定义域，值域分别为A,B ，且A B 是单元集，下列命题中
①若{}A
B a =，则()f a a =；
②若B 不是单元集，则满足[]()()f f x f x =的x 值可能不存在； ③若()f x 具有奇偶性，则()f x 可能为偶函数；
④若()f x 不是常数函数，则()f x 不可能为周期函数； 正确命题的序号为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．高考数学试题中共有10道选择题每道选择题都有4个选项，其中有且仅有一个是正确的。

评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分”，某考生每道题都给出了一个答案，已确定有6道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生：
（Ⅰ）得50分的概率；
（Ⅱ）得多少分的可能性最大； （Ⅲ）所得分数ξ的数学期望．
17．如图，已知四棱锥S ABCD -中，SAD ∆是边长为a 的正三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形
ABCD 为菱形，060DAB ∠=，P 为AD 中点，Q 为SB 中点。

（1）求证：//PQ 平面SCD ；
（2）求二面角B PC Q --的大小．
18． 两家人共同拥有一块土地ABC ，形状是等腰直角三角形，0
90C ∠=， AC a =m ，如果两家人准备划分一条分割线PQ (直线段)，使两家所得土地面积相等，其中,P Q 分别在线段,AB AC 上．
（Ⅰ）如果准备在分割线上建造一堵墙，请问如何划分割线，才能使造墙费用最少；
（Ⅱ）如果准备在分割线上栽种同一种果树，请问如何划分割线，才能使果树的产量最大．
19．已知A,B 是抛物线()2
20x py p =>上的两个动点，O 为坐标原点，非零向量满足
OA OB OA OB +=-．
（1）求证：直线AB 经过一定点；
（2）当AB 的中点到直线20y x -=p 的值．
20．已知 ()()ln f x ax b x =+-，其中0,0a b >> （Ⅰ）求使)(x f 在[)0,+∞上是减函数的充要条件； （Ⅱ）求)(x f 在[)0,+∞上的最大值；
（Ⅲ）解不等式ln 1ln 21⎛- ⎝．
21. 已知数列 {}n a ，{}n b 满足112,21,1n n n n n a a a a b a +==+=-数列{}n b 的前n 项和为
n S ，2n n n T S S =-
（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求证：1n n T T +>； （Ⅲ）求证：当2n ≥时，2711
12
n n S +≥．
湖北省八校2018届高三第二次联考
数学试题（理科）参考答案与评分建议
一、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
A
B
A
D
D
C
D
B
B
B
二、 11. 30x y +-=， 12. 8， 13.
16
3
π ， 14. 1， 15. ②③ 三、16.（1）得分为50分，10道题必须全做对。

在其余的四道题中，有两道题答对的概率为
12
，有一道题答对的概率为1
3，还有一道答
对的概率为14
，所以得分为50分的概率为：P ＝11111
.223448⋅⋅⋅=
………（3分）
（2）依题意，该考生得分的范围为｛30，35，40，45，50｝.
得分为30分表示只做对了6道题，其余各题都做错，所以概率为：
1112361
.2234488
P =
⋅⋅⋅== 同样可以求得得分为35分的概率为：
12211231113112117.22342234223448
P C =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
得分为40分的概率为：317.48P = 得分为45分的概率为：47.48P = 得分为50分的概率为：51.48
P = 所以得35分或得40分的可能性最大。

…………（8分） （3）由（2）可知ξ的分布列为：
ξ
30 35 40 45 50
P
6
48 1748 1748
748 148
61717714553035404550.484848484812
E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………（12分） 17. 解：（1）证明取SC 的中点R ，连QR, DR.。

由题意知：PD ∥BC 且PD=1
2
BC; QR ∥BC 且QP=
1
2
BC, ∴QR ∥PD 且QR=PD 。

∴PQ ∥PR,又PQ ⊄面SCD,∴PQ ∥面
分
（2）法一：,SP AD SCD ABCD ⊥⊥面面
SP ABCD ∴⊥面
A
C
PB H QH QH ABCD QH SP ∴⊥取的中点，连，得面
,,112224
90,,2
2
HG PC G QG SP a
PBC PBC PB a BC a PC ⊥∠==∠==
=∴=
作于连由三垂线定理知：QGH 即为所求
而QH ＝在三角形中，
sin 4
2HG PH CBP a ∴=⋅∠=
=
tan 2
QH QGH HG
∴∠=
=
=
B P
C Q ∴--二面角
的大小为 …………12分 （2） 法二：以P 为坐标原点，PA 为x 轴，PB 为y 轴，PS 为z 轴建立空间直角坐标系，
则S
（a ），B
（,0）,C
（,0a -），Q
（a ）， 面PBC 的法向量为PS =
（）,设(,,)n x y z =为面PQC 的法向量，
由003(,3,200
4n PQ n n PC ax ay
⎧=⎪⋅
=⎪⇒⇒
=⎨⎨⋅=⎪⎪-+=⎪⎪⎩⎩
COS
3
,a n PS -<>=
==B PC Q ∴--二面角的大小为
ar c c 18.设AQ=x ，
AP=y 12sin 452
APQ
S
xy xy =
= 又21124APQ
ABC S
S a ==2xy
∴= PQ
x =
（1
）
22
22x y xy +≥=PQ ∴≥
此时x y =，又2xy x y =∴==。

即取米时，PQ 的长最短，因而造墙费用最少。

（6分）
（2）12,,2y a x a a ≤∴≥≤又x 21,2a x a xy y ∴≤≤==
由得 考察函数4222
22a u x y x x
=+=+得：
当12x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦函数递增，当,x a ⎤
∈⎥⎣⎦
函数递减 所以函数的最大值2max 94u a =，此时1
2
x a =
故当P 取在B 点，Q 取在AC 的中点处时，PQ 最长，因而果树的产量最大。

……（12分） 19.
OA OB OA OB +=-
OA OB ∴⊥
设A,B 两点的坐标为（11,x y ）、（22,x y ）则
2211222,2x py x py ==
（1）经过A 、B 两点的直线方程为211211()()()().x x y y y y x x --=--
由221212,22x x y y p p ==得：2
2
212111()()()().22x x x x y y x x p p
--=--
2
1
1211()2x x x x y y x x p +≠∴-=- 令0x =得：2
1
11()2x x y y x p
+-=- 122x x
y p
∴=-
12120OA OB x x y y ⊥∴+= 从而22
12122
04x x x x p
+= 120x x ≠（否则，,OA OB 有一个为零向量）
2124x x P ∴=- 代入（1）得 2y p =
AB ∴始终经过()0,2P 这个定点 …………………（6分）
（2）设AB 中点的坐标为（,x y ），则12122;2x x x y y y +=+=
22121212222()x x py py p y y ∴+=+=+
又
22
22212121212()2()8x x x x x x x x p +=+-=++ 2
2
484x p py ∴+=
即 2
12y x p p
=
+ (2)
AB 的中点到直线20y x -=的距离d
为：d =
将（2
）代入得：21
()x p p d -+==
=
因为d
的最小值为
255p =∴= ……………（12分） （若用导数求切线的斜率为2的切点坐标，参考给分。

）
20.（1）()1a a b ax f x ax b ax b --'=-=++
0,0,0x a b ≥>>
()0f x '∴≤时，0a b -≤，即a b ≤ 当a b ≤时，0,0,0.0,0a b x ax b a b ax >>≥∴+>--≤
即()0f x '≤
()f x ∴在[0,)+∞上是减函数的充要条件为b a ≥ ………（4分） （2）由（1）知，当b a ≥时()f x 为减函数，()f x 的最大值为(0)ln f b =；
当b a <时，
()a b ax
f x ax b
--'=
+
∴当0a b x a -≤<时()0f x '>，当a b
x a ->时()0f x '<
即在[0,)a b a -上()f x 是增函数，在[,)a b a -+∞上()f x 是减函数，a b
x a
-=时()f x 取最大值，最大值为max ()()ln a b a b
f x f a a a
--==- 即
max ln ()()ln ()b b a f x a b
a b a a ⎧≥⎪
=⎨--<⎪⎩
…（8分）
（3）在（1）中取1a b ==，即()ln(1)f x x x =+- 由（1）知()f x 在[0,)+∞上是减函数
ln(1ln 21x +
-，即(1)f
f ≤
1
≥0
x ≤<或x
≥ 故所求不等式的解集为15
[,)++∞ ……………（13分）
21.（1）由1n n b a =-得1n n a b =+，代入121n n n a a a +=+
12(1)1(1)(1)n n n b b b ++=+++ 整理得:110n n n n b b b b +++-=,从而有
111
1n n
b b +-=，111211b a =-=-= 1n b ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭
是首项为1，公差为1的等差数列， 1
,n
n b ∴=即1n b n = …………………（4分）
（2）1112n S n =+++2111
122n n n T S S n n n ∴=-=+++++
1111112322122
n T n n n n n +=+++++++++ 1111111
021********
n n T T n n n n n n +-=
+->+-=++++++ ()2122n n +<+∴1n n T T +> …（8分）
（3）2n ≥
11221122222n n n n n S S S S S S S S ---∴=-+-+⋅⋅⋅+-+
=1221122n n T T T T S --++⋅⋅⋅+++ 由（2）知12222n n T T T --≥≥⋅⋅⋅≥，11217,1,212
T S T =
== ∴12
211222n n n S T T T T S --=++⋅⋅⋅+++()2111n T T S ≥-++
()7111122n =-++ 71112
n += …………………（14分）。