高考数学大一轮复习 不等式选讲 2 第2讲 不等式的证明课件 文

选修(xuǎnxiū)45 不等式选讲
第 2 讲 不等式的证明
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1．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等 号成立． 定理 2：如果 a、b 为正数，则a＋2 b≥ ab，当且仅当 a＝b 时， 等号成立．
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反证法证明不等式(师生共研) 设 0<a，b，c<1，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不可 能同时大于14.
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【证明】 设(1－a)b>14，(1－b)c>14，(1－c)a>14， 三式相乘得(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a>614，① 又因为 0<a，b，c<1， 所以 0<(1－a)a≤（1－2a）＋a2＝14. 同理：(1－b)b≤14，(1－c)c≤14， 以上三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤614，与①矛盾． 所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不可能同时大于14.
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(2)证明：由(1)知 9x＋y＝1，又 x>0，y>0， 所以1x＋1y(9x＋y)＝10＋xy＋9yx≥10＋2 xy×9yx＝16， 当且仅当xy＝9yx，即 x＝112，y＝14时取等号， 所以1x＋1y≥16，即 x＋y≥16xy.
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若 a>b>1，证明：a＋1a>b＋1b. 证明：a＋1a－b＋1b＝a－b＋b－ aba＝（a－b）a（b ab－1）. 由 a>b>1 得 ab>1，a－b>0， 所以（a－b）a（b ab－1）>0. 即 a＋1a－b＋1b>0， 所以 a＋1a>b＋1b.
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法二(分析法)：(1)因为 a>0，b>0，a3＋b3＝2. 要证(a＋b)(a5＋b5)≥4， 只需证(a＋b)(a5＋b5)≥(a3＋b3)2， 再证 a6＋ab5＋a5b＋b6≥a6＋2a3b3＋b6， 再证 a4＋b4≥2a2b2， 因为(a2－b2)2≥0，即 a4＋b4≥2a2b2 成立． 故原不等式成立．
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在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的
放缩变换有：
(1)变换分式的分子和分母，如k12＜k（k1－1），k12＞k（k1＋1），
1＜ k
2 k＋
k－1，
1＞ k
2 k＋
k＋1.上面不等式中Fra bibliotekk∈N*，k＞
1. (2)利用函数的单调性．
(3)真分数性质“若 0＜a＜b，m＞0，则ab＜ab＋ ＋mm”． [注意] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一
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利用反证法证明问题的一般步骤 (1)否定原结论． (2)从假设出发，导出矛盾． (3)证明原命题正确．
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已知 a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a，b，c>0. 证明：①设 a<0，因为 abc>0， 所以 bc<0. 又由 a＋b＋c>0，则 b＋c>－a>0， 所以 ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc<0，与题设矛盾． ②若 a＝0，则与 abc>0 矛盾， 所以必有 a>0. 同理可证：b>0，c>0. 综上可证 a，b，c>0.
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已知 a>0，b>0，c>0，且 a，b，c 不全相等，求证：bac＋abc ＋acb>a＋b＋c. 证明：因为 a，b，c∈(0，＋∞)，所以bac＋abc≥2 bac·abc＝2c. 同理abc＋acb≥2a，acb＋bac≥2b.因为 a，b，c 不全相等， 所以上述三个不等式中至少有一个等号不成立，三式相加，得 2bac＋abc＋acb>2(a＋b＋c)，即bac＋abc＋acb>a＋b＋c.
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内容 总结 (nèiróng)
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放缩法证明不等式(师生共研) 若 a，b∈R，求证：1＋|a＋|a＋b|b|≤1＋|a||a|＋1＋|b||b|.
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【证明】 当|a＋b|＝0 时，不等式显然成立． 当|a＋b|≠0 时， 由 0＜|a＋b|≤|a|＋|b|⇒|a＋1 b|≥|a|＋1 |b|， 所以1＋|a＋|a＋b|b|＝|a＋1 b1|＋1≤1＋|a1|＋1 |b| ＝1＋|a||＋a|＋|b||b|＝1＋|a|a|＋ | |b|＋1＋|a|b|＋ | |b|≤1＋|a||a| ＋1＋|b||b|.
个度．
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设 n 是正整数，求证：12≤n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n<1.
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证明： 由 2n≥n＋k>n(k＝1，2，…，n)，得21n≤n＋1 k<n1. 当 k＝1 时，21n≤n＋1 1<n1； 当 k＝2 时，21n≤n＋1 2<n1； … 当 k＝n 时，21n≤n＋1 n<n1， 所以12＝2nn≤n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n<nn＝1. 所以原不等式成立．
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定理 3：如果 a、b、c 为正数，则a＋3b＋c≥3 abc，当且仅当 a ＝b＝c 时，等号成立． 定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，…， an 为 n 个正数，则a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an，当且仅当 a1＝ a2＝…＝an 时，等号成立． 2．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、 放缩法、数学归纳法等．
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(2)要证 a＋b≤2 成立，只需证(a＋b)3≤8， 再证 a3＋3a2b＋3ab2＋b3≤8， 再证 ab(a＋b)≤2， 再证 ab(a＋b)≤a3＋b3， 再证 ab(a＋b)≤(a＋b)(a2－ab＋b2)， 即证 ab≤a2－ab＋b2 显然成立． 故原不等式成立．
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用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是 “执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法 往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应 用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分 析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一 辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．
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用综合法、分析法证明不等式(师生共研)
(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知 a>0，b>0，a3＋b3 ＝2.证明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2.
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【证明】 法一(综合法)：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4) ＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 ＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3（a＋4 b）2·(a＋b) ＝2＋3（a＋4 b）3， 所以(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2.
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1．(2019·湖北八校联考)已知不等式|x|＋|x－3|<x＋6 的解集为 (m，n)． (1)求 m，n 的值； (2)若 x>0，y>0，nx＋y＋m＝0，求证：x＋y≥16xy. 解：(1)由|x|＋|x－3|<x＋6， 得xx≥＋3x，－3<x＋6或03<<xx<＋36，或x－≤x0＋，3－x<x＋6， 解得－1<x<9，所以 m＝－1，n＝9.
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(2)证明：要证1a－b－abcc>1，只需证|1－abc|>|ab－c|， 只需证 1＋a2b2c2>a2b2＋c2，只需证 1－a2b2>c2(1－a2b2)， 只需证(1－a2b2)(1－c2)>0， 由 a，b，c∈A，得－1<ab<1，c2<1，所以(1－a2b2)(1－c2)>0 恒 成立． 综上，1a－b－abcc>1.
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2．(2019·长春市质量检测(一))设不等式||x＋1|－|x－1||<2 的解 集为 A. (1)求集合 A； (2)若 a，b，c∈A，求证：1a－b－abcc>1.
2，x≥1， 解：(1)由已知，令 f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝2x，－1<x<1，
－2，x≤－1， 由|f(x)|<2 得－1<x<1，即 A＝{x|－1<x<1}．